Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow ІНТЕЛЕКТУАЛЬНІ СИСТЕМИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЮВАНЬ

Відповідно до визначення інтерпретації (моделі) ср вона є відображенням, зіставляти символам алфавіту Т об'єкти предметної області Z), і переводить формули, в тому числі пропозіціональние символи, в істинні або помилкові твердження про властивості об'єктів предметної області. Оскільки в математичній логіці мають значення тільки істинність або хибність тверджень про властивості предметної області, то відображення (p: T- ^ D зручніше розглядати як відображення (р: - "{0, I}, що переводить

безліч всіх формул логіки висловлювань на безліч {О, I} значень істинності, де 0 - це символ значення істинності «брехня», а I - символ значення істинності «істина».

Зрозуміло, що для завдання конкретної моделі ср: J - "{0, 1} досить визначити ср на пропозіціональних символах і задати спосіб обчислення значень істинності ср (д -> />) і ф (- | Д), якщо задані значення істинності для ф (д) і ср (А). Таблиці істинності для зв'язок -> і задають спосіб обчислення значень істинності.

Визначення. Інтерпретацією (моделлю) логіки висловлювань називається таке відображення ср: -> {0, 1} безлічі всіх формул логіки висловлювань на безліч {0, 1} значень істинності, за яким кожному пропозіціональному символу відповідає певне значення істинності 1 (істина) або 0 (брехня ), а кожній формулі виду д-якого виду -> а зіставляється 1 або 0 в залежності від значень істинності для формул а і Ь відповідно до таблицями істинності :

Замість а і -.д в шапці таблиці істинності для зв'язки -i варто було б писати ф (д) і (р (-1Д) відповідно. Аналогічно, в таблиці істинності дтя зв'язки - »слід було б писати ф (д), ф (/ >) і ф (д - »/>), а не д, b і д -> /> відповідно. Проте, для стислості запису збережемо в цих таблицях і у всіх інших таблицях істинності використану скорочену форму запису.

З визначень зв'язок л, v і = слід, що їх таблиці істинності мають вигляд:

Визначення. Формула Л логіки висловлювань називається тавтологією , чи тотожно-істинною формулою , якщо для будь-якої моделі (р виконується (р (А) = 1.

Іншими словами, формула Л є тавтологією, якщо для будь-якого набору значень істинності складових формулу Л пропозіціональних символів ця формула згідно з таблицями істинності завжди приймає значення істинності 1 (істина).

Згадана раніше теорема Е. Посту формулюється так.

Теорема Е. Посту. Для того щоб формула логіки висловлювань була теоремою ,, необхідно і достатньо , щоб вона була тавтологією.

Ця теорема, по суті, ствердно відповідає на питання, чи є логіка висловлювань можливо розв'язати формальної теорією. Ця ж теорема дозволяє встановити несуперечливість і повноту логіки висловлювань. Так що справедлива наступна теорема.

Теорема. Логіка висловлювань є вирішуваною , несуперечливої і повної формальної теорією.

Цей результат представляє особливий інтерес, тому що він вказує на адекватність логіки висловлювань класичним логічних міркувань. Він стверджує, що мислення і його вираз за допомогою мови формалізуються, по крайней мере, частково (бо не враховується внутрішня структура тверджень), і представимо в стислій формі за допомогою чисто символьних схем і уявлень.

 
<<   ЗМІСТ   >>