Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow ІНТЕЛЕКТУАЛЬНІ СИСТЕМИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ВЛАСТИВОСТІ ФОРМАЛЬНИХ ТЕОРІЙ. ПОНЯТТЯ МЕТАТЕОРІЇ

Формальні теорії служать засобом представлення знань і міркувань змістовних наукових теорій і використовуються для вирішення математичними методами проблем, що виникають в цих теоріях. Сенс математичного підходу до вирішення конкретних проблем звичайних наукових теорій, як зазначалося вище, полягає у визначенні підходящої формальної теорії, в якій вихідна проблема, пройшовши етап формалізації, вирішується внутрішніми обмеженими засобами цієї теорії. Формальні теорії дозволяють зробити вихідну проблему більш «прозорою», т. Е. «Побачити» внутрішню структуру і взаємозв'язки елементів досліджуваного об'єкта. Обмеженість коштів формальної теорії, взагалі кажучи, полегшує пошук рішення формалізованої проблеми. Інтерпретація результатів рішення дозволяє повернутися до вихідної предметної області, т. Е. Дізнатися змістовний сенс знайденого рішення вихідної проблеми. Таким чином, формальна теорія є засобом вивчення об'єктів деякої предметної області.

Але об'єктом вивчення може бути сама формальна теорія. Саме так відбувається, коли для деякої формальної теорії М встановлюється, чи володіє вона властивостями повноти, несуперечності, можливості розв'язання, залежні чи її аксіоми. Для вирішення цих проблем може бути побудована інша формальна теорія М ', яка називається метатеоріей теорії М. Теореми метатеоріі М' називаються метатеореми. Теореми Геделя про неповноту, наведені вище, є по суті метатеореми. Алфавіт метатеоріі М ' і її граматика утворюють метамова. Запис теорем Геделя про неповноту і їх докази здійснюється на звичайному російською мовою, який в даному випадку грає роль метамови. Майже все сказане вище про формальні системах, по суті, є метатеоріей для будь-якої формальної теорії.

Як приклади метатеорії наведемо відомі в математичній логіці теореми обмеження Геделя, Тарського і Черча, які справили величезне враження одночасно і на математиків, і на філософів.

Теорема Геделя. Існують формальні системи, в яких є формули F такі, що ні F, ні її заперечення -> F не є доказовим.

Ця теорема констатує, що існують неповні формальні теорії. Наприклад, формальна арифметика, так як властивість її несуперечності виразність формулою формальної арифметики, яку не можна ні довести, ні спростувати, не виходячи за межі цієї теорії.

Теорема Тарського. Існують формальні системи, в яких у будь-якій їх інтерпретації знайдуться вираження, справжні, але недоведені.

Більш коротко іноді ця теорема формулюється так: поняття істинності неформалізованих.

Теорема Черча. Існують формальні системи, для яких відсутній алгоритм, що дозволяє встановити, чи є формула теоремою або НЕ-теоремою.

Іншими словами, ця теорема стверджує, що існують нерозв'язні формальні теорії, наприклад, числення предикатів першого порядку.

Поняття алгоритму, використане в теоремі Черча, належить до числа основних первинних понять математики, що не допускають визначення в термінах більш простих понять. Точніше кажучи, поняття алгоритму, як і інше основне поняття математики «безліч», є невизначені.

 
<<   ЗМІСТ   >>