АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД В ГЕОМЕТРІЇ

Геометрія є класичним прикладом аксіоматичної теорії. Принципи побудови саме цієї теорії лягли в основу поняття «формальна система». Система аксіом геометрії, що міститься в «Засадах» Евкліда, була уточнена Д. Гильбертом в 1899 р Запропонована ним система аксіом геометрії Евкліда містить 20 аксіом, які розбиті на п'ять груп.

Первинними (невизначених) поняттями в гільбертовому системі аксіом евклідової геометрії є об'єкти: точка, пряма і площина і відносини між ними, що виражаються словами: «належить», «між», «конгруентна». За Гильберту, природа основних об'єктів і відносин між ними може бути якою завгодно, лише б ці об'єкти і відносини задовольняли зазначеним аксіом. Так само і у формальній системі: первинні позначення не визначаються, а задаються як кінцеве безліч символів, зване алфавітом мови формальної системи.

В геометрії поряд з первинними (невизначених) поняттями є визначаються поняття (відрізок, промінь, кут і ін.). Їх визначення даються за допомогою первинних понять або за допомогою раніше визначених понять. Точно також і в формальної системі: з символів алфавіту за певними правилами утворюються допустимі послідовності символів, звані формулами , а іноді словами мови формальної системи. Правила освіти формул (слів) називають синтаксичними правилами. Вони утворюють граматику мови формальної системи.

Перерахуємо п'ять груп аксіом геометрії Евкліда.

I група (8 аксіом) - аксіоми приналежності (з'єднання), що описують ставлення «належить», наприклад:

I ,. Для будь-яких двох точок існує пряма, яка проходить через кожну з цих двох точок.

1 ₇ . Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають ще, принаймні, одну спільну точку.

II група (4 аксіоми) - аксіоми порядку, що описують ставлення «між», наприклад:

Н ₂ . Для будь-яких двох точок А і В на прямій ЛВ існує, принаймні, одна точка С, така, що точка В лежить між точками Лі С.

III група (5 аксіом) - аксіоми конгруентності, що описують ставлення «конгруентна» (еквівалентний), наприклад:

Ш ₂ . Якщо А'В '= АВ і А "В" = АВ , то А'В' = А "В".

IV група (2 аксіоми) - аксіоми безперервності Архімеда і Кантора, наприклад:

IV ₂ (аксіома Кантора). Для будь-якої послідовності вкладених відрізків, довжини яких прямують до нуля, існує точка, що належить усім відрізкам.

V група (1 аксіома) - аксіома Евкліда про паралельних прямих: через точку, що не належить заданій прямій на площині, можна провести тільки одну пряму в цій площині, паралельну заданої прямої.

В геометрії аксіоми приймаються в якості вихідних тверджень, істинність яких не доводиться і не спростовується. Вони грають роль посилок в міркуваннях, що проводяться з використанням логічних законів: закон силогізму, метод від супротивного, метод математичної індукції і т.д. Виходячи з аксіом, доводяться інші твердження (теореми) евклідової геометрії. Доведені теореми разом з аксіомами використовуються далі для обгрунтування нових теорем. Таким чином, будується теорія, яку називають евклідової геометрією.

У формальних системах так само. Як уже зазначалося, допустимі послідовності символів називають формулами. Деяку групу формул називають аксіомами , які використовуються для утворення інших формул, які називаються, як в геометрії, теоремами. Правила освіти теорем з аксіом і з раніше отриманих теорем грають у формальній системі ту ж роль, яку логічні закони грають в геометрії. У формальній системі правила освіти формул називаються правилами виведення.

Дуже важливими властивостями будь-якої теорії, в тому числі і геометрії, є повнота і несуперечність теорії. Геометрія Евкліда є повною і несуперечливої теорією. Повнота евклідової геометрії означає, що будь-яке твердження про геометричні об'єктах, або протилежне йому твердження, є доказовим в ній. Несуперечливість геометрії Евкліда означає, що в ній ніколи не можна довести два суперечать один одному затвердження.

Завершуючи опис аксіоматичного методу в геометрії, зауважимо, що в ході побудови геометрії Евкліда були реалізовані наступні чотири принципи:

• 1. Введення первинних (невизначених) понять і відносин.
• 2. Визначення нових понять і відносин через первинні або раніше певні поняття і відносини.
• 3. Введення аксіом (вихідних тверджень).
• 4. Використання логічних законів для доведення теорем виходячи з аксіом або раніше доведених теорем.

Ці чотири принципи повністю характеризують сутність аксіоматичного методу, покладеного в основу поняття «формальна система».