Повна версія

Головна arrow Інформатика arrow Комп'ютерне моделювання систем електропривода в Simulink

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МАШИНА ЗМІННОГО СТРУМУ (АСИНХРОННА)

Математичні опис узагальненої асинхронної машини

Токи і напруги фаз статора (ротора теж) асинхронного двигуна можна представити у вигляді просторового вектора [4], що призводить до скорочення числа і спрощення структури рівнянь, що описують робочі процеси асинхронного двигуна.

У загальному випадку на трифазної обмотці статора діє трифазна система напруг:

Сумарний вектор напруги можна представити у вигляді:

Якщо вісь А координатної системи А, В. С поєднати з речової віссю комплексної площини, розташованої перпендикулярно валу машини, то просторовий (узагальнений) вектор напруги на обмотках статора асинхронного двигуна визначається рівнянням:

де Ua, U b , Uc - миттєві значення фазних напруг (1.10); а - оператор повороту.

Підставами в формулу для просторового вектора (1.11) вираження (1.10) і (1.12):

При перетворенні отриманого виразу використані наступні співвідношення:

Після перетворення (1.13) отримаємо:

Наведемо отримане комплексне вираз до стандартної тригонометричної формі, замінивши sincot = cos (n / 2-cot) і coscot = sin (к / 2-cot):

Переведемо отримане вираз з тригонометричної форми в показову:

що вказує на виникнення постійної по амплітуді U ", просторової хвилі напруги, що обертається в позитивному напрямку з частотою зі. Початкове положення просторового вектора при t = 0 відповідає розі (-я / 2), що дозволяє отримати його проекції при обертанні на осі А, В, С, що змінюються відповідно до формулами (1.10).

Просторовий вектор напруги

Мал. 1.38. Просторовий вектор напруги

На рис. 1.38 представлена геометрична інтерпретація просторового вектора напруги - це вектор на комплексній площині з модулем (довжиною) U m , що обертається з кутовою швидкістю з в позитивному напрямку. Проекції вектора U s на фазні осі А , В, С визначають миттєві напруги в фазах. Аналогічно просторовими векторами можна уявити все напруги, струми і потокосцсплснія, що входять в рівняння, що описують роботу асинхронного двигуна.

При побудові реальних систем електроприводу змінного струму, як асинхронних, так і синхронних, практично завжди в систему управління включають перетворювачі фаз 3/2 і 2/3 [2].

Перший (3/2) перетворює фазні напруги трифазного системи в напруги двухфазной системи в координатах а, / ?. Відзначимо, що як Триосний координатна система А, В , С, так і двовісна а, / 3 є нерухомими системами. Просторовий вектор зображує результат спільної дії трифазного системи струмів будь еквівалентної т - фазної і, зокрема, двухфазной системи. Перехід до двофазної системі в математичному відношенні еквівалентний розгляду просторового вектора в новій прямокутної системі координат а, / ?. Фізичний сенс такого перетворення координат полягає в заміні реальної трифазної машини еквівалентної двофазної моделлю, яка характеризується тим же значенням просторового вектора. Така заміна змінних широко використовується при математичному дослідженні електричних машин з метою спрощення систем диференціальних рівнянь електричної рівноваги статорних і роторних ланцюгів.

Перетворення координат

Мал. 1.39. Перетворення координат: а) умовне графічне позначення перетворювача: б) координати

Перетворювач (3/2) здійснює перетворення трифазних напруг U A , Ub. Uc (1.10) в двофазні напруги U a . Up відповідно до виразами (1.11) і (1.12):

Після перетворення (1.18) отримаємо

При цьому слід мати на увазі, що фазна вісь а прямокутної (двофазної) системи поєднана з фазною віссю А трифазної системи (рис. 1.39, б).

На рис. 1.40 показана модель перетворювача (3/2) в Simulink (Matlab) [2].

Модель перетворювача (3/2) (Figl 40)

Мал. 1.40. Модель перетворювача (3/2) (Figl 40)

Амплітуда напруги прийнята U ", = 1 В, частота зі = 314 рад / ССК (f = 50 Гц). Не важко відзначити, що просторовий вектор напруги в координатах а, р описується виразом (1.15), отриманими для трифазної системи напруг U = U, u (% v (Ot - jeowt). З (1.15) випливає, що в двофазної системі напруги обчислюються , як U a = U m s'YCcQt і U р = -U m coso) t . Результати розрахунку напруг U a і

Up на моделі дозволяють зробити висновок, що просторовий вектор для трифазної і еквівалентної двофазної систем однаковий і має

вираз Us = U т е> ш ~ ПП

На рис. 1.41 показаний результат перетворення трифазного напруги в двофазне.

Результати перетворення 3-хфазной системи напруг (U  = 1 В, / = 50 Гц) на моделі, показаної на рис. 1.40

Мал. 1.41. Результати перетворення 3-хфазной системи напруг (U m = 1 В, / = 50 Гц) на моделі, показаної на рис. 1.40

При розробці перетворювача (2/3) слід мати на увазі, що фазний вектор трифазної системи Ua, U В Мс представляє проекцію просторового вектора Us на осі А. В, С. Вирази для фазних напруг Ua, U B , U з представляють дійсну частину проекції

просторового вектора Us на фазні осі А, В, С.

Відповідно до цього, маємо [2J:

Графічна інтерпретація роботи перетворювача (2/3)

Мал. 1.42. Графічна інтерпретація роботи перетворювача (2/3): а) умовне графічне зображення перетворювача (2/3), б) перетворення координат

На рис. 1.42 показаний процес графічного формування миттєвого стану векторів фазних напруг U aJU B , Uc для довільного положення просторового вектора Us .

Отримані вирази (1.20) використані при розробці моделі перетворювача фаз (2/3) в Simalink [2J, показаної на рис. 1.43.

На рис. 1.44 показані результати моделювання еквівалентного зворотного перетворення двухфазной системи в трифазну.

Так само прийняті: амплітудне напруга U ", = 1 В і частота 50 Гц. На виході отримана трифазна система напруг з прямим чергуванням фаз.

Результати моделювання роботи перетворювача фаз (2/3)

Мал. 1.44. Результати моделювання роботи перетворювача фаз (2/3)

Обертається система координат в загальному випадку може переміщатися відносно нерухомої з довільною швидкістю 0 ) до . Миттєве положення такої системи координат відносно нерухомої визначається кутом у між речовими осями систем координат. Положення просторового вектора напруги під обертається системі координат можна визначити шляхом його повороту на кут у протилежний напрямку обертання. Тому між виразами просторового вектора Us в нерухомій і Usk під обертається системах координат мають місце такі співвідношення [2]:

Математична основа перетворення координат пояснюється на рис. 1.45.

У нерухомій системі координат (a, ft) просторовий вектор напруги може бути представлений в алгебраїчній і показовою

формі Us = U a + jUр = иу '.

перетворення координат

Мал. 1.45. перетворення координат

Аналогічно в системі обертових координат (*, той же самий вектор може бути представлений у вигляді:

З виразу (1.22) отримуємо рівняння переходу від нерухомої системи координат до обертається:

Аналогічно отримуємо рівняння переходу від обертової системи координат до нерухомої з урахуванням (1.21):

тоді

На рис. 1.46 представлена модель перетворювача нерухомої системи координат у обертову, реалізовану за рівнянням (1.23).

Модель перетворювача з нерухомої системи координат у обертову, схема Subsystem (Fig 146)

Мал. 1.46. Модель перетворювача з нерухомої системи координат у обертову, схема Subsystem (Fig 146)

На рис. 1.47 представлені результати моделювання. На екрані осцилоскопа представлені синусоїдальні напруги Ua і Ub в нерухомій системі і постійні напруги Ux = 0, Uy = -1 під обертається, що підтверджують припущення, зроблене нижче.

результати моделювання

Мал. 1.47. результати моделювання

На вхід моделі подані проекції просторового вектора напруги на осі (а, (1) у вигляді синусоїдальних напруг частоти 314рад / сек і поточний кут повороту координатної осі від блоку

Integrator. Кут y = co k t , де co k представляє частоту обертання системи координат. Частота обертання в рад / сек задається константою на вході інтегратора. Слід зауважити, що в цьому випадку на вхід моделі подаються синусоїдальні функції часу з частотою 314 рад / сек в нерухомій системі координат і задається обертання координат з частотою 314 рад / сек. Отже, на виходах Ux, Uy повинні вийти нерухомі вектори, що характеризуються постійними величинами на виходах Ux і Uy. Перетворювач координат реалізований в блоці Subsystem , зміст якого представлено на рис. 1.46.

Якщо частоту обертання координат з до задати відмінною від частоти вхідної напруги, то на виході перетворювача з'являються синусоїдальні напруги різницевої частоти со-зі до . Отже, просторовий вектор обертається під обертається системі координат з частотою со-зі до .

Аналогічна модель будується і для перетворення змінних в обертається системі координат в нерухому відповідно до рівняннями (1.24) [2].

На рис. 1.48 представлена модель перетворювача обертається системи координат в нерухому, реалізовану за рівнянням (1.24). На вхід моделі подані проекції просторового вектора напруги на обертові осі (х, у) і поточний кут повороту системи координат. На виході моделі отримані складові просторового вектора (Ua, Ub) в нерухомій системі координат. Перетворювач координат реалізований в блоці Subsystem, зміст якого представлено на рис. 1.48.

Модель перетворювача обертових координат в нерухомі, схема блоку Subsystem (Figl 48)

Мал. 1.48. Модель перетворювача обертових координат в нерухомі, схема блоку Subsystem (Figl 48)

На рис. 1.49 представлені результати моделювання. Напруги U а . Uh видно на екрані осцилоскопа. Слід зауважити, що в цьому випадку на вхід інтегратора подається сигнал частоти обертання координат 314 1 / с, і на виході виходять синусоїдальні напруги частотою 50 Гц.

Результат моделювання процесу перетворення обертових координат в нерухомі

Мал. 1.49. Результат моделювання процесу перетворення обертових координат в нерухомі

Між виразами просторового вектора Us в нерухомій і U sk під обертається системах координат мають місце співвідношення (1.21).

Друге рівняння (1.21) використовується зазвичай для заміни змінних при переході до нової системи координат, а перше - для вираження в новій системі координат, що обурюють функцій, описаних змінними колишньої системи.

Наприклад, рівняння електричної рівноваги ланцюга статора, записане через узагальнені вектори напруг, струмів і потокосцсп- лений в нерухомій системі координат, має вигляд:

де Us = U m e m) t ; щ - кутова частота мережі живлення.

Те ж рівняння в системі координат, що обертається зі швидкістю ротора (про Г у коли з до = (про г і у = co r t, згідно другого рівняння (1.21):

матиме вигляд:

Розпишемо похідну складної функції

і підставимо в вираз (1.26):

Скоротивши ліву і праву частину отриманого виразу на е * 0 **,

остаточно отримаємо рівняння електричної рівноваги під обертається системі координат

де {/ «згідно першого виразу (1.21) слід визначити як

У наведеному рівнянні (1.27) індекс до вказує на заміну змінних в зв'язку з переходом до нової системи координат. Надалі, якщо перехід до нової системи координат пояснюється супроводжуючим текстом, індекс А: для спрощення запису буде опущений. При цьому просторовий вектор буде визначено як вираз (1.28).

В теорії електромагнітних перехідних процесів електричних машин застосовуються зазвичай три координатні системи, що є окремими випадками координатної системи, що обертається з довільною швидкістю зі до : система координат d, q, нерухома відносно ротора і обертається разом з ротором к = а> г ); система координат а, р нерухома відносно статора (зі до = 0); система координат х, у обертається в просторі з довільною швидкістю (про до . Заміна змінних в рівняннях електричного рівноваги машини проводиться з метою виключення періодично змінюються коефіцієнтів в рівняннях потокосцсплсній. Досягнення поставленої мети можливе тільки в тому випадку, якщо нова система координат нерухома щодо ланцюгів, що володіють електричної або магнітної іссіммстріей.

Тому систему координат d. q, використовують переважно для дослідження режимів синхронних машин, а систему а, р - для дослідження режимів асинхронних машин. Систему координат у доцільно використовувати тільки для дослідження симетричних режимів асинхронних машин, якщо її застосування призводить до спрощення описів впливів, що обурюють. Наприклад, просторовий вектор живить двигун напруги в системі координат а, р має вигляд:

а при переході до системи координат х, у, що обертається зі швидкістю зі до = з 0 , це напруга згідно (1.21), перетвориться до виду Us = U m .

Розглянемо опис процесів в абсолютних одиницях. Узагальнена асинхронна машина показана на рис. 1.50.

/.50. Узагальнена асинхронна машина

Мал. /.50. Узагальнена асинхронна машина

Машина містить трифазну обмотку на статорі і трифазну обмотку на роторі. Обмотки статора і ротора підключені до симетричним трифазним джерел напруги. Рівняння рівноваги ЕРС на обмотках статора і ротора базуються на другому законі Кирхгофа [2J.

У рівняннях (1.29) фігурують миттєві напруги, струми і потокозчеплення статора і ротора, а також активні опори обмоток. Зазвичай обмотки виконуються симетричними, і тому r a = r b = r c = r s - активний опір обмотки статора, R "= R h = R ( . = R r - активний опір роторної обмотки.

Другим використовуваним законом є закон Ампера, який пов'язує потокосцепления обмоток з струмами, що протікають по обмотках:

Рівняння для визначення потокозчеплення показують, що по- токосцсплсніс кожної обмотки залежить від струмів у всіх обмотках; ці залежності проявляються через взаємоіндукції. У рівняннях (1.30) L A a. L bb , Lee. L (UI , Lbb, L cc є власними індуктивностями відповідних обмоток, вага інші - взаімоіндуктівностямі між відповідними обмотками.

Третім законом, що лежить в основі аналізу, є другий закон Ньютона - закон рівноваги моментів на валу машини:

де J (кгм 2 ) - момент інерції на валу машини, що враховує інерційність як самої машини, так і наведеної до валу інерційності робочого механізму і редуктора; сот, (рад / с) - кутова швидкість вала машини; Мс (Нм) - момент опору робочого механізму, приведений до валу, в загальному випадку він може бути функцією швидкості і кута повороту.

Нарешті, четвертим і останнім законом, що лежить в основі аналізу машини, є закон, сформульований Ленцем, як правило лівої руки. Цей закон пов'язує векторні величини моменту, пото- косцепленія і струму:

Помстимося, що, незважаючи на повне і строгий математичний опис, використання рівнянь (1.29) - (1.32) для дослідження машини зустрічає серйозні труднощі.

Перелічимо основні:

  • - в рівняннях (1.31 і 1.32) фігурують векторні величини, а в рівняннях (1.29 і 1.30) скалярні;
  • - кількість взаємопов'язаних рівнянь дорівнює 16, а кількість коефіцієнтів - 44;
  • - коефіцієнти взаємоіндукції між обмотками статора і ротора в рівняннях (1.30) є функцією кута повороту ротора щодо статора, тобто рівняння (1.30) є рівняннями зі змінними коефіцієнтами;
  • - рівняння (1.32) є нелінійним, так як в ньому перемножуються змінні.

На шляху спрощення математичного опису асинхронної машини, та й взагалі всіх машин змінного струму, вдалим виявився метод просторового вектора [4], який дозволив істотно спростити і скоротити вищенаведену систему рівнянь; метод дозволяє зв'язати рівняння (1.29-1.32) в єдину систему з векторними змінними стану. Суть методу полягає в тому, що миттєві значення симетричних трифазних змінних стану (напруги, струми, потокосцепления) можна математично перетворити так, щоб вони були представлені одним просторовим вектором.

Для перетворення рівнянь (1.29) в миттєвих значеннях до рівнянь в просторових векторах помножимо їх на вирази: перші рівняння для фаз А і а на 2/3, другі для фаз В і b - на 2/3 а,

треті для фаз С і з - на 2/3 а, і складемо окремо для статора і ротора. Тоді отримаємо:

де L s , L r - власні індуктивності статора і ротора; L m (9) - взаємна індуктивність між статором і ротором.

Таким чином, замість дванадцяти рівнянь (1.29, 1.30) отримано лише чотири рівняння (1.33).

Змінні коефіцієнти взаємної індукції в рівняннях для потокозчеплення (1.33) є результатом того, що рівняння рівноваги ЕРС для статора записані в нерухомій системі координат, пов'язаної зі статором, а рівняння рівноваги ЕРС для ротора записані в обертовій системі координат, пов'язаної з ротором. Метод просторового вектора дозволяє записати ці рівняння в єдиній системі координат, що обертається з довільною швидкістю зі до . У цьому випадку рівняння (1.33) перетворюються до вигляду:

де <у ш - частота обертання ротора; р - число пар полюсів у машині.

У рівняннях (1.34) всі коефіцієнти є величинами постійними, мають чіткий фізичний зміст і можуть бути визначені за паспортними даними двигуна, або експериментально.

Момент в рівнянні (1.32) є векторним твором будь-якої пари векторів. З рівняння (1.34) випливає, що таких пар може

бути шість (isJr); (V s , Vr); (is, Vs); (is, Vr); (ir, Vs); (ir, Vs). Часто в розгляд вводиться потокосцепление взаємної індукції 'Fm = Lf ti (is + //?) • У цьому випадку з'являється ще чотири можливості подання електромагнітного моменту машини через наступні пари: (isSFm); (iR, V m ); (Vs, V m ), (Т / ?, Т, "). Після вибору тієї чи іншої пари рівняння моменту набуває визначеність, а кількість рівнянь в системі (1.34) скорочується до двох.

Крім того, в рівняннях (1.31) і (1.32) векторні величини моменту і швидкості можуть бути замінені їх модульними значеннями. Це є наслідком того, що просторові вектори струмів і пото- косцепленій розташовані в площині, перпендикулярній осі обертання, а вектори моменту і кутової швидкості збігаються з віссю. Як приклад покажемо запис рівнянь моменту через деякі пари змінних стану машини (1.35).

Наведемо опис в відносних одиницях.

На цьому етапі рівняння (1.31), (1.34) і (1.35) наводяться до безрозмірним (відносним) величинам [2J. В якості основних базових величин вибираються амплітудні номінальні значення фазної напруги і струму, а також номінальне значення кутовий частоти:

на цій основі визначаються базові значення всіх змінних і коефіцієнтів, що входять в рівняння, а також базового часу:

Узагальнена система рівнянь для опису асинхронної машини набирає вигляду:

У цих рівняннях всі змінні відносні, отримані як результат ділення реальних значень на базові, все коефіцієнти також безрозмірні, отримані аналогічно.

Змінні і параметри в відносних одиницях:

-і - / - Ф

і = -, г = -, у / = - - відносні електромагнітні перемен-

Ub 4%

ні стану;

зі до . зі

а до = - 1 - - відносна частота обертання системи коорди- Ч Ч

нат і відносна частота обертання ротора;

М

т = - - відносний момент на валу машини;

М ь

/ ?. R "co.L K co.L K axL - Jco 1 .

r, c R = -, л: = V x = -b-XL - tL - відноси

R h R b R h R h R h M b

тільні (безрозмірні) параметри.

Розрахунок параметрів асинхронної машини наведено нижче.

У рівняннях (1.38) час прийнято безрозмірним t = - = co h t , і

{ ь

одиницею виміру часу є нс секунда, а. слід

Ч

помітити, що введення відносних величин істотно скорочує час моделювання і дозволяє усунути багато проблем при моделюванні.

висновки:

  • - суттєве спрощення системи рівнянь пропонує застосування просторового вектора;
  • - застосування системи координат (наприклад, що обертається з довільною швидкістю) дозволяє позбутися від змінних коефіцієнтів при описі процесів в асинхронному двигуні;
  • - використання безрозмірною форми запису системи рівнянь спрощує структуру рівнянь і скорочує витрати часу на моделювання.
 
<<   ЗМІСТ   >>