Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

СІТКОВИХ-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧ ЛАЗЕРНОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО СИНТЕЗУ

1. Найбільш повні математичні моделі розглянутих задач засновані на використанні рівнянь магнітної гідродинаміки з урахуванням реальних властивостей плазми (група '' рівнянь стану ") і великого числа різних фізичних процесів: поглинання зовнішнього лазерного випромінювання, електронна теплопровідність, електрон-іонна столкновітель- ная релаксація, власне випромінювання плазми, перенесення енергії швидкими електронами і іонами, спонтанні магнітні поля і рентгенівське випромінювання, термоядерний горіння і т.д. Уточнення математичного опису групи '' рівнянь стану ", а також різних процесів в плазмі становить предмет інтенсивно ведуться фізичних досліджень.

У цій главі використовується спрощена математична модель, яка відтворює основні риси розглянутих задач, і основна увага приділяється вивченню багатовимірних ефектів, які супроводжують стиснення і нагрівання мікромішеней. З різноманітних фізичних процесів враховуються перші три з перерахованих вище (тобто поглинання зовнішнього лазерного випромінювання, електронна теплопровідність і електрон-іонна зіткнень релаксація). Електронна і іонна компоненти плазми розглядаються як ідеальний газ.

У двовимірному нестационарном випадку з урахуванням зроблених припущень система рівнянь газової динаміки у фіксованій в просторі ортогональній системі координат s = х х , г = х 2 , = х 3 може бути записана у вигляді

Тут до = const - показник адіабати; c et c f = const - питомі теплоємності електронної та іонної компонент при постійному обсязі; геометричні параметри А = НН 2 Н видання> Si 3 = Н у Н S 2 3 = Н 2 Н 3 залежать від вибору системи координат і характеризують елементарний обсяг Adsdrd ^ і його поверхню; Н у , Н Н ь - коефіцієнти Ляме. Для використовуваної далі сферичної системи координат з радіальної координатою г, азимутним і меридіональним кутами s, у (див. (1.12) з гл. V) маємо Hi = г, Н 2 = 1, # 3 = г sin s.

Для величин Q s , Q Ty Q ei прийнято наступне опис (див .: [245]): 238

Тут р з - критична щільність. Щільності потоку енергії падаючого р + і відбитого від поверхні р (/, s, г) = р з лазерного випромінювання q ~ визначаються з одновимірних рівнянь переносу (вздовж напрямку г)

з граничними умовами

В окремому випадку повного поглинання на шарі з критичної щільністю маємо

де r r (r, s) - поточний радіус зовнішнього кордону мішені, q ^ t , s) - щільність потоку падаючого лазерного випромінювання на кордоні мішені.

Рішення рівнянь (1) відшукується в області t> 0 У 0 <$ ?, 0. <

^ Г г (^ s ) П Р І початкових умовах:

На зовнішній межі мішені (кордон з вакуумом) слід дотримуватися умов

У центрі мішені = 0) і на поверхнях s = 0, s * в якості граничних умов використовуються відповідні умови симетрії. У разі, коли їхня мета є оболонкою з вакуумної порожниною, внутрішня межа мішені до моменту '' схлопування "є кордоном з вакуумом і умови на ній аналогічні (8).

У деяких з розглянутих нижче завдань ( '' конічні "мішені, розд. 3) система рівнянь (1) доповнювалася рівнянням для масової концентрації? однією з компонент двухкомпонентной суміші ідеальних газів

при цьому теплофізичні властивості плазми (питомі теплоємності при постійному обсязі для електронної і іонної компонент з е , С /, коефіцієнт поглинання К, коефіцієнт електронної теплопровідності до е і т.д.) визначалися звичайним для багатокомпонентної суміші чином, тобто як функції щільності, температури і масової концентрації.

У деяких розрахунках замість одного з рівнянь енергії (для електронної компоненти) використовувалася повна енергія Е = е е + e t + 2 + v 2 ) / 2

і відповідна дивергентная форма цього рівняння

Співвідношення (1) - (10) виписані для фіксованої в просторі системи координат, тобто прийнятий дещо нетрадиційний для даного класу задач ейлерів підхід. Вибір змінних Ейлера краще при значних зсувних деформаціях матеріалу, можливих в багатовимірних задачах. Він дозволяє в ряді випадків більш детально описати поглинання зовнішнього лазерного випромінювання в малоплотной '' короні "розлітається частини матеріалу мішені, де в традиційному лагранжевого підході досить складно забезпечити необхідний просторовий крок різницевої сітки (так само як і поблизу центру мішені) і ін. Разом з тим в змінних Ейлера в ряді випадків важко забезпечити необхідну деталь разностной сітки в області з великою щільністю матеріалу, особливо в задачах для дуже тонких оболонок. При використанні змінних Лагранжа в подібних завданнях, коли в областях з високою щільністю автоматично групується велика кількість вузлів різницевої сітки, рішення в цих областях відтворюється більш детально.

У зв'язку з цим при чисельному рішенні деяких одновимірних задач, де переваги лагранжева підходу більш очевидні, і в основному з методичними цілями проводилися також розрахунки з використанням змінних Лагранжа і консервативного варіанту сеточно-характеристичного методу (4.2.11). В цьому випадку при використанні масової лагран- жевой координати т так, що dm = pr v dr , маємо

Qet , рівняння стану, початкові і граничні умови визначаються співвідношеннями (2), (3), (7), (8). Коефіцієнт v = 0,1,2 відповідно для плоскої, циліндричної і сферичної геометрії.

2. Системи рівнянь (1), (11) за відсутності члена, пов'язаного з електронною теплопровідністю в правій частині рівняння енергії для електронної компоненти (Gr), мають гіперболічний тип, і для них можуть бути використані ті чи інші різницеві схеми з числа розглянутих в гл. Ill, IV (наприклад, явні консервативні схеми (4.2.11), (4.4.6)) з додаванням відповідної апроксимації Q T . Присутність зазначеного члена з електронної теплопровідністю, взагалі кажучи, що робить ці системи рівнянь параболічними, викликає необхідність їх неявній апроксимації, оскільки явна апроксимація, на відміну від умов типу (4.2.12), (4.4.5), призводить до більш жорсткого обмеження на крок інтегрування т типу г < h 2 1 (2 шах до е ), характерному для рівняння теплопровідності, і робить розрахунки скрутними. З аналогічної причини неявній апроксимації вимагає зіткнень член в правій частині рівнянь (1), (11), тобто Q e { , явна апроксимація якого в деяких випадках (наприклад, на передньому фронті теплової хвилі, що розповсюджується по холодному газу) призводить до не менш жорстким обмеженням на р

У цьому розділі для вирішення описаних вище крайових задач використовується саме такий підхід до побудови загального обчислювального алгоритму, пов'язаний з розщепленням вихідних рівнянь по '' фізичним процесам ". При цьому для апроксимації гіперболічної частини систем рівнянь (1), (11) використовувався консервативний варіант сеточно-характеристичного методу, тобто явні різницеві схеми, аналогічні (4.4.6), (4.2.11) відповідно для двовимірних і одновимірних нестаціонарних задач, а члени, пов'язані з електронною теплопровідністю і електрон-іонної зіткнень релаксацією, апроксимувались по неявній схемі.

При реалізації на ЕОМ зручніше спочатку апроксимувати ліву частину систем (1) за схемою (4.4.6) (або (11) за аналогічною схемою (4.2.11)) в одновимірному нестационарном випадку при використанні змінних Лагранжа), що дозволяє обчислити остаточні значення щільності

Р «У = Рт / • компонент вектора швидкості м" + / = і т1 , і " + / = v ml і перед-

ньо значення електронної Т ет1 і іонної T iml температур. Зокрема, в разі двох просторових змінних (система (1)), вибираючи в якості шуканого вектора u = | р, рм, pv , ре е , ре Л , маємо

У цих співвідношеннях про ; - = г / Л, - (/ = 1,2), всі функції від р, і, і, Т е , T t в вузлових точках разностной сітки (t nf s m , r / ), (/ ", s m ± j, г,),

(/ ", R / ± i) обчислюються відповідно до (2), (3), (6), а в напівцілий

точках з індексами m ± 1/2, / і m, I ± 1/2 усереднюються за їх значенням в найближчих вузлових точках. Геометричні параметри S i3 , S 23 , Д, Д 1 , як зазначалося, характеризують поверхню і обсяг елементарних осередків з центрами в вузлах різницевої сітки (S 13 = H l H 3 , S 23 = Я 2 Я 3 , Д = Д 1 = Я 2 Я 2 Я 3 ). Щоб врахувати "координатну" особливість (точніше, невизначеність), що виникає при розрахунках в сферичної системі координат вузлових точок на осі симетрії (s = 0, s = л) і в центрі мішені (г = 0), вирази для S 13 , S 23 , Д, Д 1 для цих точок відповідним чином видозмінювалися.

покриває фіксовану в просторі область інтегрування -hi+ H x , 0= Const. Шукані параметри в граничних вузлових точках / * / = (/ - 1) Л 2 , / = 1,. . . , L, s x = = (Л / - 2) Л, =

= S. + / Ij, а також в центрі мішені обчислюються з використанням умов симетрії течії щодо '' ліній " s = 0, s = s # і точки г = 0. Параметри в інших граничних вузлових точках гl = (L - 1) Л 2 - R , 5 m = (m - 2) Л ,, m = 2, ... - 1 визначаються лінійною екстраполяцією

(або просто знесенням) за їх значенням в найближчих внутрішніх вузлових точках. До того моменту, як обурення, що виникають на зовнішньому кордоні мішені г = г т (0, s) (розташованої усередині області інтегрування г г (0> s ) < R)> досягнутий зовнішнього кордону області інтегрування г - R, параметри в цих точках залишаються незбурених, тобто тими ж, що були задані в початкових умовах (в яких в області вакууму задавався деякий, слабо впливає на рішення фон р = р * ^ р 0 , Т е{ = Г * <0i і = v= 0). Потім на цьому кордоні досить швидко встановлюється надзвукове протягом (розліт за область інтегрування), так що вплив залишає область інтегрування маси з малою щільністю (і зазначеної процедури екстраполяції) на інше протягом несуттєво. Це вплив полягає в тому, що при t <t k в області г > R (з малої щільністю) відбувається часткове поглинання падаючого випромінювання, яке в даному підході не враховується.

На наступному етапі проводиться облік електронної теплопровідності і обміну енергією між електронною та іонною компонентами (обчислення остаточних значень Т Г ^ 1 , за такою неявній схемі:

отримаємо типову для нелінійного рівняння теплопровідності крайову разностную завдання щодо ГЦ **, яка вирішувалася ітераціями з використанням одновимірних прогонів на променях т = const. У деяких розрахунках на заключному етапі замість (14) використовувалися інші неявні економічні схеми, з використанням прогонки як по променям т = const, так і в поперечному напрямку. Схема рішення системи одновимірних рівнянь (11) при використанні змінних Лагранжа аналогічна розглянутої вище і відрізняється лише вибором вектора і =/ р, і, Е у € / (і трохи іншим видом матриці з = (Л / 2) Я " 1 ! А112. В разі використання (10) замість рівняння енергії для електронної компоненти в (1) також трохи видозмінюється вид матриці * в (13). Там, де використовувалося рівняння (9) для масової концентрації?, його апроксимація проводилася по явною схемою, як і вся гіперболічна частина системи (1), з урахуванням характеристичних напрямків цього рівняння, тобто з урахуванням знаків і , v.

 
<<   ЗМІСТ   >>