Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

РІЗНИЦЕВОЇ СХЕМИ З ПОЗИТИВНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ ДЛЯ РІВНЯНЬ ПАРАБОЛІЧНИХ ТИПУ

У багатьох випадках в рівняннях, крім гіперболічної частини, містяться члени з другими просторовими похідними (дифузія, в'язкість, теплопровідність в рівняннях механіки суцільних середовищ і ін.). Найбільш поширеним підходом до вирішення таких в цілому параболічних рівнянь є "розщеплення по фізичним процесам", в якому гіперболічна і параболічна частини оператора аппроксимируются окремо, відповідно до найбільш раціональними для кожної з цих частин прийомами (для гіперболічної частини, наприклад, відповідно до попередніх побудовами). Хоча в параболічних рівняннях гладкість шуканих рішень зазвичай вище, ніж в гіперболічних, і відповідно вимоги до монотонності різницевих схем трохи нижче, проте і тут в нелінійному випадку можливі рішення з великими градієнтами (теплові нелінійні хвилі, прикордонні шари і тл.), Коли монотонність використовуваної різницевої схеми стає вкрай необхідною.

В даному розділі запропонований раніше в роботі [57] для гіперболічних рівнянь апарат аналізу різницевих схем в просторі їх коефіцієнтів застосовується до побудови та дослідження позитивних (монотонних) і близьких до них схем для параболічних рівнянь [65].

1. Розглянемо найпростіше рівняння теплопровідності

Введемо в області інтегрування разностную сітку, наприклад рівномірний 156

Мал. 4.23

ву по Г, х: х т = mh , t n = лт, / я = 0 , ± 1, ... , П = 0 , 1 ..... і позначимо,

як прийнято, Vm = v (t n , х т ).

Виберемо довільний сітковий шаблон, що включає деяку сукупність вузлових точок (t n * v , х т + д), р = 0 , ± 1, ..., v = 1, 0, -1, ... (рис. 4.23) , і запишемо все допускаються цим шаблоном лінійні різницеві схеми у вигляді

де - невизначені коефіцієнти.

Надалі обмежимося найбільш поширеним випадком симетричних різницевих схем, тобто будемо вважати, що сітковий шаблон симетричний відносно прямої х = х т і

оскільки для рівняння (1) немає виділеного просторового напрямку. Дане обмеження не є принциповим, і побудови, аналогічні розглянутим нижче, можуть бути виконані також в разі несиметричних схем.

Використовуючи розкладання щодо будь-якої точки (для

рівнянь з постійними коефіцієнтами, як відомо, байдуже який, наприклад, щодо (t n , х т )) в ряд Тейлора і використовуючи (1) і його наслідки, отримуємо в якості умов апроксимації різницевим виразом (2) диференціального рівняння (1) наступні лінійні щодо невизначених коефіцієнтів (а? д = <* д при р = 0, 5д = 2с * д при р =? 0) рівняння:

c, a = Е c vslloc ^ = b s , c, = fc ^}, a = {a "|, (4)

і> о.р

Тут, аналогічно розд. 1 для рівнянь гіперболічного типу, введено в розгляд лінійне простір коефіцієнтів різницевих схем о = fa? j, вектори с, мають ту ж розмірність, що і а (яка визначається числом вузлових точок в шаблоні). Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що при виконанні S співвідношень (4) разностное вираз (2) апроксимує (1) з порядком 0 (t s , r * ~ l h 2 ,. ..,

Л 25 , h 2 / т ), і, для того щоб мала місце '' природна "для рівняння (1) апроксимація з порядком О (г, Л 2 ), необхідно виконання (4) при s = 0 і 1, т. е.

Використовуючи (5), можна виключити два будь-яких коефіцієнта, наприклад

і ввести простір а = I ос? I (без вузлових точок ц -0, у-ОІД-1, v = 0) з розмірністю на два менше, ніж ос. Будь-яка точка в просторі

а є певною разностной схемою з порядком апроксимації Про (г, Л 2 ), а умови більш високого порядку будуть мати вигляд, аналогічний (4). Зокрема, для другого порядку апроксимації маємо

Відзначимо, що в літературі замість (8) часто використовують '' вкорочене "умова (7):

Відмінність різницевих схем (7), (8) від схем (7), (9) полягає в тому, що при використанні (8) старші члени помилки апроксимації мають порядок 0 (т, ТЛ 2 , Л 4 , Л 6 / г) , тобто. OQi 2 ) прит Іо (Л 4 ) прит ~ Л 2 , а при використанні (9) - відповідно Про4 / г, г, ти 2 , Л 4 , Л 6 / г), тобто OQr) незалежно від зв'язку сіткових параметрів г ~ І чи г ~ І 2 .

Введення лінійних просторів коефіцієнтів різницевих схем а чи

а дозволяє формулювати і вирішувати ряд завдань, пов'язаних з класифікацією різницевих схем, проводити їх порівняння не тільки за якісними ознаками (стійкості, монотонності і т.п.), але і кількісно, спираючись на природну гіпотезу про те, що близьким в просторі а точкам (в деякій, наприклад евклідової, метриці) відповідають близькі за своїми властивостями (точності, стійкості і т.п.) різницеві схеми. Деякі завдання такого роду розглядаються в п. 2-5.

2. Важливий для практики клас різницевих схем складають схеми з позитивною аппроксимацией, вперше введені в роботі [55] для систем рівнянь гіперболічного типу (монотонні або мажорантності схеми - за іншою термінологією), для яких

Щоб для довільних сіткових шаблонів знайти все різницеві схеми такого роду, тобто знайти спільне рішення (5), (10), необхідно визначити в просторі коефіцієнтів a = | а? | координати вершин замкнутого багатогранника, що задається співвідношеннями (5), (10), і скористатися теоремою уявлення. Можливим вершин опуклого багатогранного безлічі (5), (10) відповідають вектори а ь =

= 10, .... 0, 0,. . . , 0, 0,. . . , 01, в яких тільки дві компоненти можуть приймати ненульові значення, які визначаються з рішення лінійної системи (5):

Для виконання умови 5 ^ > 0 необхідно і достатньо, щоб <0, тобто в разі різницевих схем з симетричними коефіцієнтами вершин багатогранника (5), (10) відповідають різницеві схеми, побудовані на симетричних відносно прямої х = х т сіткових шаблонах, причому таких, що дві вузлові точки {наприклад {t n + v ' t Х / л * ^) і {t n * Vl , x m - * i,)) розташовані вище параболи

а дві інші {t n * v ', x w + / la ) і {t n * v ' t х ш _ ^ 2 ) {одна, якщо вона на прямий х = х т ) - нижче цієї параболи (рис. 4.23) . Тут ц = {х - х т ) / І, v = (/ - t n ) / r слід розглядати як безперервні аргументи, про - параметр. Відзначимо, що для явних різницевих схем при про = о, = = 2 (1 - де (/! ,, у.) - '' крайній "вузол сіткового шаблону, все

вузлові точки шаблону виявляться нижче параболи (11), тобто явні схеми можуть бути тільки умовно монотонними.

Загальне рішення (5), (10) будується з використанням теореми уявлення звичайним в лінійної алгебри чином:

тобто у вигляді лінійної комбінації з невід'ємними коефіцієнтами r bi в сумі рівними одиниці приватних рішень відповідних вершин замкнутого багатогранника (5), (10).

Як приклад розглянемо типовий для (1) девятіточечний сітковий шаблон, представлений на рис. 4.23, і '' невід'ємні "різницеві схеми з симетричними коефіцієнтами = а? на цьому

шаблоні. Невизначеними коефіцієнтами на цьому шаблоні будуть 5} = 2а}, So = <* о »а? = 2c * i, So 1 = <* про 1 , af 1 = 2а! -1 (інші коефіцієнти визначаються умовами симетрії (3)). Виключаючи з використанням (6) коефіцієнти а <> і 5 ?, отримуємо трипараметричної сімейство різницевих схем з вільними параметрами?}, А © 1 , af 1 , так

що в тривимірному просторі коефіцієнтів а = 1 а , Sq 1 , aj -1 1 будь-яка точка - є деяка схема з порядком апроксимації 0 (7, Л 2 ). Раз

Мал. 4.24

Мал. 4.25

Рис. 4.27

Мал. 4.26 Рис. 4.27

ностние схеми з позитивною аппроксимацией, коефіцієнти яких задовольняють умовам (10), розташовані всередині і на поверхні замкнутих багатогранників з вершинами А до , до = 1,2 ,. .., показаними на рис. 4.24-4.27 для значень про = 1/8, 3/8, 3/4, 2 відповідно. Конфігурація цих областей, як видно, залежить від значень а, і їх перебудова (зникнення деяких вершин, поява нових) відбувається при значеннях о = 1/4 і 1/2, коли парабола (11) послідовно проходить через вузлові точки (/ "" *, х т ± i) і ( t n , х т + j) відповідно.

При 0 <о = Хт / Л 2 <1/4 вершинами замкнутого багатогранника (5), (10) є точки з координатами

(відома явна різницева схема, стійка і монотонна при про <1/2, котооой відповідає точка Про на ОІВ. 4.24-4.27 '!.

(найбільш часто вживається в розрахунках неявна схема, якої відповідає точка Ау на рис. 4.24-4.27, стійка і монотонна при всіх значеннях а),

(схема Дюфорта - Франкелла, якій відповідає точка Л 2 на рис. 4.24, 4.25, абсолютно стійка, але умовно апроксимуюча і монотонна лише в при про <1/2). Решта три вершини на рис. 4.24 мають координати: а 1 , = 4а / (1 + 4а), а © 1 = 1 / (1 + 4а), АГ * = 0 (точка А 6 на рис. 4.24- 4.27); а} = а 0 -1 = 0, af 1 = 2а / (1 - 2а) (точка А ь на рис. 4.24): а / = О, про © 1 = 1 -4а, af 1 = 4а (точка А 9 на рис. 4.24).

При 1/4 <a <1/2 вершини А 8 , А 9 зникають і замість них з'являються нові вершини з координатами дс = (4a - 1) / 4а, aj 1 = 0, а, " 1 = 1 / 4а (точка а а на рис. 4.25-4.27) і а = aj 1 = 0, af 1 = (1 - 2a) / 2а (точка а 7 на рис. 4.25).

При про> 1/2 вершини О, А 2 , А п зникають, а з'являється вершина (точка Аз на рис. 4.26,4.27) з координатами

(стійка і монотонна при a > 1/2 неявна схема, див .: [З]). Ця схема в поєднанні з (13) при про <1/2 аналогічна відомої для рівнянь гіперболічного типу схемою. Б. Карлсона (описаної, наприклад, в робо ті [7]).

Для розглянутого девятіточечного шаблону (рис. 4.23) з використанням звичайного критерію стійкості різницевих схем | <7 (оГ, «/?) | <1

на рішеннях виду 0 %, = q n exp (imy) в просторі a «{a}, ato 1 » 5Г 1 ! можна виділити область (трикутну піраміду) стійких схем

Неважко переконатися, що багатогранник (5), (10) міститься всередині (17), так як (10) є достатньою умовою стійкості різницевих схем (2).

3. Використовуючи умови (7), (8) або (7), (9) в просторі коефіцієнтів 3, можна виділити гіперплоскость різницевих схем з порядком апроксимації на рішеннях (1): 0 2 , т / г 2 , Л 4 , А 6 / т) або 0 (/ г 4 / т, т 2 , гл 2 , Л 4 , Л б / г).

Зокрема, для наведеного на рис. 4.23 сіткового шаблону перетин площин (7), (8) і (7), (9) з многогранниками різницевих схем з позитивною аппроксимацией показані на рис. 4.24-4.25 штрихуванням. Точкою В х на площині (7), (9) відзначена відома, абсолютно стійка і монотонна при a <1 схема Кренк-Нікольсона:

Видно, що площину (7), (9) при про> 1, а площину (7), (8) навіть при менших значеннях а не має перетинів з многогранником схем з позитивною аппроксимацией (рис. 4.27). Тому становить інтерес знайти відповідь на наступні питання: чи існують для будь-яких інших сіткових шаблонів різницеві схеми другого порядку точності на рішеннях (1), монотонні при довільних значеннях о, а якщо ні, то які для довільних сіткових шаблонів все монотонні схеми другого ( або більш високого) порядку точності на рішеннях (1) і умови (значення а), при яких вони втрачають монотонність (серед коефіцієнтів з'являються негативні).

При вирішенні цього завдання в якості умови другого порядку апроксимації по t для визначеності скористаємося '' укороченим "умовою (7), (9) і обмежимося не більше ніж тришаровими різницевими схемами, що включають значеніяuJ, Vii Ha тимчасових шарах t = t n +1, t = t n , t = t n ~ l , оскільки різницеві схеми Сеше великим числом шарів по Г, мабуть, практичного інтересу не представляють.

Використовуючи умови апроксимації (4) приз = 0, 1,2 (тобто (5), (7), (9)), а також умови невід'ємності коефіцієнтів <* ?, тобто (10), для вершин відповідного замкнутого багатогранного безлічі а ь = (0, ... ..., 0, «Л ;, 0, ..., 0, 0, ..., 0, 0 ,. .., 01 маємо після нескладних перетворень систему лінійних рівнянь (/ = 1, 2, 3)

і для виконання (20) потрібно, щоб все Д / мали однаковий знак. Це можливо тільки в тому випадку, коли одне з = 1, а решта два Vf <0. Приватними рішеннями (19), (20), тобто вершинами відповідного замкнутого багатогранника в просторі коефіцієнтів, є різницеві схеми, побудовані на сіткових шаблонах, що включають розраховується точку (t n * *, x m ), дві симетричні відносно прямої х = х т точки на шарі t = t n +, дві симетричні точки на шарі t лежать вище параболи

і дві точки (одна, якщо вона розташована на прямій х = х т ) на шарі t <n, що лежать нижче цієї параболи. Загальне рішення задачі(19), (20) описується співвідношеннями (12).

Очевидно, що при про> о »= pl / (l - ^ *), де (д *,? *) - '' крайній" вузол сіткового шаблону на шарі г < t ", все вузлові точки сіткового шаблону з V ( < 0 виявляться нижче параболи (21) і безліч позитивних різницевих схем другого (і більш високого) порядку точності на рішеннях (1) стане порожнім. зокрема, для показаного на рис. 4.23 сіткового шаблону а * = 1 досягається при д. = 1, v. = 0, що відповідає ситуації, зображеної на рис. 4.24-4.27.

Для цього сіткового шаблону безліччю монотонних різницевих схем з порядком апроксимації 0 (Л 4 / т, т 2 , ТЛ 2 , Л 4 , Л 6 / т) є проекція чотирикутника BB ^ B ^ B S при а < 1/2 і трикутника В ] В 3 В 5 при 1/2 < а <1 на координатні площини {а? 1 , 57 Ч, 15}, 5 ^ 1 1, / 5}, 5j | в залежності від того, який коефіцієнт (5 {, 57 1 або 5 ^ ^ відповідально) виключається за допомогою умови другого порядку точності (7), (9).

Слід ще раз відзначити, що проведений вище аналіз відноситься до різницевих схем з порядком апроксимації 0 (Л 4 / т, т 2 , ТЛ 2 , Л 4 , І 6 / г) на рішеннях (1). Для повних умов (4) при s = 0, 1, 2, тобто для різницевих схем з порядком апроксимації ^ (т 2 , гл 2 , Л 4 , Л 6 / г) на рішеннях (1), як видно з рис. 4.24 (нижня заштрихованная площину), при певних значеннях про можуть існувати і явні монотонні схеми (відрізок СС 2 ). Однак вони практично не цікаві, оскільки відсутні не тільки при великих а, але і при значеннях а, близьких до нуля (наприклад, для шаблону з рис. 4.23 - при о < 1/6-й при про> 1 / VT2 ).

4. Як показано в п. 2,3, при а> о, = М • / (1 -? •) в різницевих схемах більш ніж першого порядку точності по t серед коефіцієнтів а? в (2) з'являються негативні, що призводить до виникнення осциляцій разностного походження на негладких рішеннях. Оскільки сильне розширення сіткового шаблону по ряду причин небажано (труднощі побудови розрахункової схеми поблизу кордонів і т.п.), величина а 0 не може бути зроблена істотно більшою одиниці, а розрахунки бажано проводити при т ~ Л, тобто про = ЛТ / Л 2 ~ 1 / Л > 1. Тому становлять інтерес наступні дві поєднані завдання.

По-перше, серед монотонних різницевих схем з порядком апроксимації 0 (т , А 2 ) знайти ті, які в просторі коефіцієнтів а = = {5? | при великих про розташовані найближче до гіперплощини схем з більш високим порядком точності.

Для цього необхідно вирішити типову в лінійному програмуванні завдання (5), (10):

Тут вектор і скаляр видання 2 визначаються, як і раніше, співвідношеннями (4). Вирішення цього завдання (відповідний вектор а = de t ) дає монотонну різницеву схему з порядком апроксимації О (г, А 2 ), найбільш точну серед монотонних схем з таким порядком апроксимації, оскільки, як неважко переконатися, величина г 2 прямо пропорційна коефіцієнту при старшому члені (v rrrr) В першому диференціальному наближенні таких різницевих схем. Для конкретного сіткового шаблону рішення такого завдання не представляє труднощів.

По-друге, навпаки, серед різницевих схем з більш високим порядком апроксимації (наприклад, з порядком 0 (А 4 / т, т 2 , ТЛ 2 , Л 4 , Л 6 / т), розташованих на гиперплоскости (7), (9 )) знайти ті, які в деякому сенсі найбільш близькі в просторі коефіцієнтів до багатограннику монотонних схем (до точки а = ). Наприклад, вирішити задачу мінімізації величини

коли гіперплоскость (7), (9) і замкнутий багатогранне безліч

(5), (10) не перетинаються. В цьому випадку в певній мірі мінімізу- ється величина негативних коефіцієнтів в немонотонність різницевих схемах високого порядку точності, і цілком природно припустити, що такі схеми будуть давати менші осциляції на негладких рішеннях. Рішенням задачі (23) буде вектор § = § 2 в просторі коефіцієнтів, який визначається співвідношеннями

де ( «1, з 2 ) і (з 2 , з 2 ) -відповідність скалярні твори, а х - рішення першого завдання мінімізації (22), з 2 і Ь 2 визначаються співвідношеннями (7), (9).

Аналогічно може бути знайдена оптимальна в зазначеному вище сенсі різницева схема з порядком апроксимації Про2 , ТЛ 2 , Л 4 , Л 2 / г) (з використанням з 2 з (8)) і оптимальні за величиною немонотонності різницеві схеми більш високого порядку точності.

Для наведеного на рис. 4.23 девятіточечного шаблону найбільш точною при про> 1 серед монотонних схем з порядком апроксимації 0 (т, Л 2 ) є різницева схема (16), а '' найменш осциллирующей "схемою з порядком апроксимації 0 (Л 4 / т, 7 3 , ТЛ 2 , Л 4 , Л 6 / т) на рішеннях (1) - різницева схема, якої в просторі коефіцієнтів відповідає точка в 2 і для якої

  • 5. різницевої схеми першого порядку точності (16) безпосередньо можна скористатися лише при про> 1/2, коли вона стійка і, більш того, монотонна, а схемою другого порядку точності (24) - при про> 1. При про <1 для розглянутого сіткового шаблону є монотонна схема другого порядку точності (18), яка, однак, при про> 1 втрачає монотонність і призводить до осциляцій на негладких рішеннях. Тому в разі X = Х (/, х, і) представляють інтерес комбіновані (або '' гібридні ") різницеві схеми з вибором коефіцієнтів 5J, So af 1 в залежності від локального значення а = Хт / Л 2 , зокрема:
    • а) монотонна при будь-яких а комбінація різницевих схем (18) і (16):

б) монотонна при про <1 комбінація схеми (18) і найменш осциллирующей схеми (24), що має за будь-яких про другий порядок апроксимації:

в) монотонна при будь-яких про комбінація явної схеми першого порядку точності (13) і неявної схеми (16) (аналог схеми Карлсона для рівнянь гіперболічного типу):

Умови, при яких в цих схемах здійснюється перехід від однієї комбінації коефіцієнтів <*, cfc 1 , АГ 1 до іншого, можуть бути обрані залежними не тільки від локальних значень про, але і від поведінки шуканого рішення, як це робиться в гібридних різницевих схемах для рівнянь гіперболічного типу.

6. Для узагальнення розглянутих в п. 2-5 різницевих схем на випадок квазілінійного рівняння теплопровідності

можна скористатися, наприклад, відомим інтегроінтерполяціонним методом [68], що забезпечує, зокрема, консервативність різницевих схем. З використанням цього методу для девятіточечного сіткового шаблону, показаного на рис. 4.23, трипараметричної сімейство консервативних різницевих схем з порядком апроксимації 0 (т, І 2 ) може бути представлено у вигляді (для простоти виписаний випадок / = 0)

Тут коефіцієнти b x , b 2 , c t , з 2 в напівцілий точках повинні бути відповідним чином усереднити за їх значенням в вузлах сіткового шаблону, а конкретний вибір 5 {, 5jj " 1 , af 1 визначає ту чи іншу разностную схему (точку в просторі коефіцієнтів а).

Різницева схема (29) при різному виборі а , cfr 1 , dij 1 була використана для чисельного рішення рівняння (28) при / = 0, X = v k% До = 5/2

Рис. 4.29

Мал. 4.28 Рис. 4.29

і при крайових умовах

Завдання (28), (31) до моменту часу t = 1 / с є автомодельної (біжучий з постійною швидкістю з хвиля), і її рішення має вигляд f 1 141

На рис. 4.28, 4.29 представлені результати розрахунків завдання (28), (30) в момент часу t = 1, проведених відповідно при

Штриховий лінією 1 нанесені дані, отримані під час розрахунків по одній з різницевих схем при І = 1/80, коли все випробувані різницеві схеми дають близьке один до одного рішення. Точки 2 - 7 - дані при Л = 0,1, отримані з використанням різних різницевих схем: темні точки 2 схема Кренк - Нікольсона (18); темні трикутники 6 - відома неявна схема (14); світлі прямокутники 7 - схема Дюфорта - Фран- Келлі (15); хрестики 3 - комбінована схема (29) з вибором о?!, So'SaiT 1 відповідно до (26) ((18) при а <1 і (24) при а> 1); світлі трикутники 4 - комбінація схеми (18) при про <1 і (16) пріа> 1 (схема (29), (25)); світлі точки 5 - комбінація явної схеми (13) при 1/2 і схеми (16) при про> 1/2 (схема (29), (27)).

Фактично всі розрахунки проводилися за схемою (29) з відповідним вибором параметрів а {,, af *, причому для комбінованих схем -

в залежності від локального значення про = X (і) т / Л 2 .

Видно, що розрахунки з малим т (рис. 4.28) при використанні різних різницевих схем дають близькі і досить точні рішення навіть при порівняно грубої просторової сітці, що обумовлено наявністю другого порядку апроксимації по h у всіх цих схемах. Однак при великих т (великі о, рис. 4.29) відмінності між схемами стають більш помітними і повністю відповідають проведеним вище при їх побудові аналізу в просторі коефіцієнтів.

У немонотонної при про> 1 схемою (18) другого порядку точності по Г, як і слід було очікувати, з'являються помітні коливання на шуканому негладку вирішенні (лінія 2 на рис. 4.29). Разом з тим ця схема дає найбільш точне положення фронту теплової хвилі. Комбінація такої схеми, використовуваної при локальному значенні 1 (коли вона монотонна), і найменш осциллирующей при про> 1 схеми (29), (24) практично повністю прибирає осциляції разностного походження без помітного погіршення швидкості поширення теплової хвилі (лінія 3 на рис. 4.29 ). Ця комбінована схема, так само як і (18), має другий порядок апроксимації по Л

Мал. 4.30

Найгірші по точності результати дає найбільш часто вживається в розрахунках неявна монотонна при будь-яких значеннях а схема (14) (лінія 6 на рис. 4.29). Але схемою Дюфорта - Франкелла розрахунки з великими про провести не вдалося.

Комбінація схеми (18) другого порядку по / при локальному значенні про <1 або відомої явної схеми (13) першого порядку по / при про <1/2 зі схемою (16) (найбільш точною при про> 1 серед монотонних схем з порядком апроксимації 0 (т , Л 2 )), що використовується при інших значеннях а, дає близькі один до одного і точніші, ніж неоптимальна в цьому сенсі схема (14), рішення (лінії 4, 5 на рис. 4.28, 4.29). Це також цілком відповідає висновкам, зробленим при аналізі різницевої схеми (16).

На рис. 4.30 в момент часу / = 1 / с = 5 приведено рішення автомодельної завдання (28), (31) при І = 0,05, т = 0,2. Штрихова лінія 1 - точне рішення (32), суцільні криві 2, 4-6 - розрахунок за тими ж різницевим схемам, що і в попередньому прикладі. Цифри на рис. 4.28-4.30 відповідають одним і тим же різницевим схемам. Розглянуті тут різницеві схеми при великих про дають результати, розташовані по точності в тій же послідовності, що і в попередньому прикладі. Відносна помилка в чисельному рішенні для точки х = 0,5 цього ж прикладу (в момент часу / = 5) така:

Разностная схема 2 3 4 5 6

відносна

помилка,% 3,08 -0,28. 0,05 0,15 0,47

У цій точці точне значення і = 0,574349. Номери схем відповідають цифрам на рис. 4.28-4.30.

7. Узагальнення розглянутих різницевих схем на випадок одновимірних систем рівнянь виду

виробляється найбільш природним чином в тому випадку, якщо матриця В діагоналізуема, тобто може бути представлена у вигляді В = 12АПУ, де А = = 1 X / 1 - діагональна речова матриця з характеристичних чисел матриці В, що визначаються з характеристичного рівняння Det (Z? - XZT) = 0, а П = | зі / j - неособлива матриця, рядками якої є лінійно незалежні власні вектори (наприклад, ліві) матриці В, що визначаються з точністю до їх довжини з сукупності лінійних однорідних систем рівнянь т - f E) з / = О, Е одинична матриця , В т - транспонована матриця В. зокрема, саме така, наприклад, параболічна частина одновимірних нестаціонарних рівнянь Нав'є-Стокса при числі Прандтля, що не дорівнює 3/4, і рівнянь прикордонного шару. В цьому випадку різницеві схеми типу (2) записуються у вигляді

де А% = 1 ajj- діагональна матриця, в якій скалярні коефіцієнти ofa. = 0 ^ (0 /), Of = Х / т / Л 2 слід вибирати точно так же, як і в випадку одного рівняння (1) або (28).

Коли рівняння (1) або (28), або система рівнянь типу (33) містять гіперболічного частина, можна скористатися методом розщеплення по "фізичним процесам", тобто для параболічної і гіперболічної частин таких рівнянь і систем використовувати найбільш прийнятні для них апроксимації або (що, очевидно, завжди можна зробити в разі одного рівняння) використовувати викладений вище (а також в роботах [57, 66]) підхід безпосередньо до таких більш складним рівнянням . Мабуть, в цьому випадку вдається отримати нові, більш цікаві, ніж в разі методу розщеплення, різницеві схеми.

Нарешті, в разі багатовимірних рівнянь розглянуті вище різницеві схеми можуть бути використані в різних методах розщеплення по просторових змінних, апарат яких досить добре розроблений і успішно використовується на практиці.

 
<<   ЗМІСТ   >>