Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

РІЗНИЦЕВОЇ СХЕМИ З ПОЗИТИВНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ ДЛЯ БАГАТОВИМІРНОГО СИСТЕМ РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ

1. Узагальнення розглянутих у розд. 1-3 різницевих схем на випадок багатовимірних систем рівнянь (1.2.2) або їх дивергентной форми (1.23) може бути проведено різними способами. В окремому випадку попарно комутуючих матриць Aj , тобто якщо AjA k = A k Aj> як відомо з лінійної алгебри, існує єдине перетворення, що приводить матриці Aj до діагональної формі, тобто все Aj = { J tl J = = П ~ ! Л / П, А / = П = | 2> # J, i = 1 / - 1, 2, ... »і в разі

я 7 , / = const система (1.2.2) заміною v = Пі приводиться до сукупності не пов'язаних між собою багатовимірних рівнянь переносу (3.1). Використовуючи результати розд. 3 і характеристичні властивості рівнянь гіперболічного типу, можна природним чином узагальнювати різницеві схеми, побудовані для багатовимірного рівняння переносу на випадок таких спеціальних систем рівнянь.

У загальному випадку квазілінійних систем з некоммутірующімі матрицями Aj аналогічні узагальнення також можливі, однак тут вони носять більш формальний характер і вимагають перевірки в обчислювальному експерименті.

Розглянемо деякі приклади такого підходу для сіткового шаблону, зображеного на рис. 4.18. Якщо замінити в співвідношеннях (3.23) скалярні величини і "* 1 , uj на вектор-функції uj * +1 , uj ( до - 1,..., 9); вираження про у (uj + u") / 2 - на т [(F ^) J + (F , ) J] / 2hf (/ = 1, fc, / = 1, 2, 6; i = 2 У до, l = 1,3, 5); скалярні коефіцієнти р ц Qx = 1,. . . , 6) - на наступні матричні: 0,5 (2? J, + Д? В ) в (3.236), 0,5 (? J a + ВЦ г ) в (3.23в), 0,5 (^ 2, + в (3.23г), 0,5 (BJ, + в ^) в (3.23д), а також

замінюючи всі колишні залежності ((3.24) і наступні) типу р і = = Рц (° i > ^ г) на Рц = Пц (Si> S 2 ), Sj = Qj 1 CjSl h Cj -1 o {l , про ^ -ТУ ^ 1,2, отримаємо шестіпараметріческое сімейство консерватівйих різницевих схем першого порядку точності. А при виконанні умов

в (3.23г), (3.23д) отримаємо трипараметричної сімейство також консервативних схем другого порядку апроксимації на рішеннях (3.32), (3.33), в тому числі аналоги схем (3.25) - (3.28), (3.31) (при (u) , / = 1, 2

і <р = 0). У разі попарно комутуючих матоіц А Х А 2 = A 2 A lf = = ? L 2 = SI в (1.22), (3.3.1) отримані таким чином різницеві схеми мають всі властивості (монотонності, оптимальності і т.д.), що і їх скалярні аналоги. При А Х А 2 Ф А 2 А х виникає деякий свавілля при записі виразів, в скалярному випадку містять твори типу про х про 2 . У цьому випадку доцільно їх замінювати на 0,5 (Л] 1 С х HiП2 1З 2 Г2з + Sr 2 C 2 Q. 2 STiCx ? 2j). Тут і вище C Xi C 2 - діагональні матриці з елементами а}, про]. Якщо ? J = F 7 ( t , х х , x 2i u),

= Х 2 , і), то при виконанні умов (1) додаванням в праву

частина (3.23) разностной апроксимації виразу г [<р + 0,5 г (Е ^ / ЕГ + + ip u ~ ip)] х і заміною R = 1 на R ~ Е + (т / 2) (u) J (В - одинична матриця) можна домогтися строго другого порядку апроксимації і в загальному випадку. Цей же результат можна отримати, використовуючи деякий двохкроковий варіант схеми (3.23).

2. Із загальних підходів узагальнення одновимірних різницевих схем на багатовимірний випадок, мабуть, найбільш універсальним і ефективним є використання різних варіантів методу розщеплення по просторовим координатам, хоча про деякі властивості виходять таким чином схем (зокрема, для одновимірних рівнянь випливають з їх аналізу в просторі коефіцієнтів) в цьому випадку можна судити лише за результатами їх практичного використання або з аналізу для випадку одного рівняння в (1.2.2). Для узагальнення на багатовимірний випадок різницевих схем першого порядку точності з позитивною аппроксимацией представимо (1.2.2) у вигляді лінійної комбінації одновимірних операторів з позитивними коефіцієнтами jj, в сумі рівними одиниці [57, 111]:

Вводячи в області інтегрування разностную сітку аппроксимируем вираження в дужках різницевими виразами

де A = {CL V J) t - діагональні матриці, елементи яких для всіх k 9 j = 1, 2,. . . , / І / = 1определяются з рівнянь (1.5) і нерівностей (1.10) (тобто з (1.11) - (1.13)), причому X = Х ^ Уу в (1.11) - (1.13) тепер є власними значеннями матриць Dj.

В результаті отримаємо різницеві схеми першого порядку точності виду

X А ^ у 1 ? Lj позитивно визначена), так як все ту > 0 і, крім того, в лінійної алгебри відомо, що сума неотрицательно (позитивно) певних матриць також є невід'ємне (позитивно) певної матрицею.

Якщо для всіх / = 1одномерние різницеві оператори (3) - явні (У] <0), тоді схема (3) в цілому також буде явною, наприклад, для двошарових схем і f = 0:

Зокрема, при / =? 3 і використанні недівергентних варіантів одновимірних схем (2.11) з кожного напряму на восьміточечном шаблоні

  • (f » х тх т а » х т 3 )> (^> х т ,> х т а » х т 3 )> (^ »* m, * 1 г х т а » х т 3 )>
  • л , х т1 , х тз ± 1 , х ТЕ ), (/ n , A: mi , x m3 , x mj tl ) отримаємо схему I з розд. 3 гл.Ш:

151

в якій явна залежність від коефіцієнтів 71,72 і у 3 (71 + 72 + 7з = = 1) зникає, проте їх введення дозволяє знайти допустимі значення т. Дійсно, умова неотрицательной визначеності входять до (4) матриць має вигляд (у разі симетричних Ах ~ А 3 )

З виразів (5) видно, що, наприклад в разі т 2 <(т 1 , Т 23 маємо т * т г і становить інтерес один з одновимірних різницевих операторів (що відповідає напрямку / = 2) вибирати неявним. Якщо вибрати в як одновимірних операторів схему Б. Карлсона для / = J = 2 і недівергентний варіант схеми (2.11) для / = 1, тоіз (3) отримаємо наступну явно-неявну різницеву схему [57, 111):

Тут j - діагональні матриці з невід'ємними елемента-

3. Більш різноманітні можливості виникають (у тому числі для узагальнення на багатовимірний випадок сеточно-характеристичних схем другого і більш високого порядку точності, гібридних схем і т.п.), якщо використовувати уявлення багатовимірних різницевих операторів у вигляді твору відповідних одновимірних операторів, а не їх суми, як це зроблено вище. Для деяких монотонних схем першого порядку точності це зроблено, наприклад, в роботі [112], інші загальні методи розщеплення викладені, наприклад, в роботах [5,8,71-78].

Як приклад вкажемо побудоване в [83] узагальнення на багатовимірний випадок явної схеми третього порядку точності типу (2.21) - (2.23), (2.25), в якій на перших двох етапах (типу (2.21), (2.22)) замість схеми Лакса -Вендроффа використовується багатовимірний варіант схеми Маккормака [59]. Якщо в такій схемі, аналогічно (2.24), 7 = 0, замінити скалярні коефіцієнти g l з (2.25) на матричні Slj'GjSlj з діагональними матрицями Gj = gf j, що задаються співвідношеннями

gj = - I of 1 (24 - 5 | of |) / 152, of = ТХ '/ й, -, / = 1, 2, 3, / = 1 ..... /, то

можна домогтися і в багатовимірному випадку аналогічного кривої 3 на рис. 4.14, в поведінки на розривних рішеннях. Така модифікація не змінює третього порядку апроксимації різницевої схеми [83]. Розрахунковими формулами для неї в разі трьох просторових змінних Х - * 3 будуть співвідношення: ,

Тут за допомогою двокрокового схеми Маккормака (9), (10) на проміжному шарі t = t n + ат обчислюються допоміжні значення n nt ° rh т 9 а потім за допомогою другого коректора (11) - остаточні

значення u ^ +1m т . Замість (9), (11) в тривимірному нестаціонарному випадку тут можуть бути використані інші схеми другого порядку точності.

Як приклад явної гібридної схеми, наведемо двовимірний варіант консервативної схеми (2.11), (2.15), (2.18) (див .: [64]) для дивергентной системи (1.2.3), в якій в якості предиктора для обчислення u mi m 2 використовується багатовимірний варіант монотонної схеми (2.11), тобто (6) при / = 2, а в якості коректора

Для забезпечення другого порядку апроксимації при у, - = 0 в разі некоммутірующіх матриць Aj (А Х А 2 Ф A 2 A V ) в коректорі (12), як зазвичай (див .: [9]), слід використовувати циклічну перестановку незалежних змінних х х і х 2 . Скалярні параметри y f вибираються незалежно для кожного просторового напрямки Xj відповідно до (2.28).

 
<<   ЗМІСТ   >>