Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МОНОТОННОСТІ І БЛИЗКИЕ ДО НИХ РІЗНИЦЕВИХ СХЕМ ДЛЯ ПРОСТЕ РІВНЯННЯ ПЕРЕНЕСЕННЯ

1. Повернемося знову до найпростішого з рівнянь гіперболічного типу - рівняння переносу

Введемо в області інтегрування разностную сітку, наприклад, рівномірну по х, t: х т -mh y m - 0, ± 1, ± 2, ..., f n = лт, п = 0, 1, 2, ... і позначимо, як прийнято, = u (f ", х т ). Вибравши для апроксимації (1) довільний сітковий шаблон, що включає деяку сукупність вузлових точок (t n + u , x m + M ), v = 1, 0, ~ 1,. . . , Ц = 0, ± 1,. . . (рис. 4.1), випишемо всі допустимі таким шаблоном лінійні різницеві схеми у вигляді

де "невизначені коефіцієнти.

Використовуючи розкладання ряд Тейлора щодо будь-якої

точки (при X = const, все одно який, наприклад щодо (f n , х т )) і використовуючи (1) і його наслідки d k + l v / bt k1 = (-1) * Х * Е * + / і / Ех * + / , отримаємо після підстановки розкладання і в (2)

Тоді умовами апроксимації різницевим виразом (2) рівняння (1) (на рішеннях (1)) будуть лінійні щодо невизначених коефіцієнтів рівняння

Введемо в розгляд лінійне простір невизначених коефіцієнтів dt = {а * | [57]. Розмірність цього простору р на одиницю менше числа вузлів в сітковому шаблоні, з * в (4) - вектори тієї ж розмірності, що і 3, зокрема з 0 = f 1,1, ..., 1}.

З рівняння (3) видно, що для апроксимації з мінімальним, першим, порядком точності 0 (т у h) необхідно і достатньо виконання (4) при до = 0,1, тобто.

Умовами вищого, / З-го, порядку апроксимації на рішеннях (1) є співвідношення (4) при до - 0,1, ... , К. Очевидно, що лінійна система (4) має рішення, якщо порядок апроксимації До і число точок в сітковому шаблоні р + 1 пов'язані співвідношенням К <р - 1. Щоб можна було проводити ту чи іншу оптимізацію, це нерівність має бути суворим.

Мал. 4.1

Поряд з простором а = I про? J будемо також користуватися простором а = 1 | з розмірністю на два менше, ніж в а, яке виходить після виключення з використанням (5) двох будь-яких коефіцієнтів, наприклад, aii і а ?:

зазвичай присутніх в сітковому шаблоні. У виразах (6) і всюди далі, де зустрічається СГ, в підсумовування, природно, не включаються дві точки: ц = -1, р = 0і д = 1, v - 0. Будь-яка точка в такому просторі є певною разностной схемою першого порядку точності, а умови більш високого, ніж перший, порядку точності ((4) при К> 2) також є лінійним рівнянням відносно решти вільними коефіцієнтів а *:

стве з * при кожному до визначають деяку гіперплоскость. Зокрема, умовами другого порядку апроксимації на рішеннях (1) будуть співвідношення (4) при до = 0,1,2 або (7) при до = 2. Для схем третього порядку точності, відповідно (4), при до = 0,1,2, 3 або перетин двох гіперплоскостей (7) при к = 2ік = 3і т.д., поки не будуть вичерпані всі можливості обраного сіткового шаблону.

Крім умов апроксимації, як обмеження на невизначені коефіцієнти необхідно перш за все вимагати виконання умов стійкості [6-10, 56], наприклад використовуючи звичайний підхід до дослідження стійкості різницевих схем, т.е._ рішення виду про "= q n exp (im <р). У просторі коефіцієнтів а чи а умови стійкості типу

(Або аналогічні з використанням інших критеріїв стійкості) виділяють деяку область стійких різницевих схем. Для довільних сіткових шаблонів явне визначення області типу (8) є досить громіздкою завданням, хоча і досить формалізованої (необхідно в просторі а = I} знайти огибающую однопараметричного сімейства кривих / (^) = | - 1 = 0, в якому, як зазвичай,

параметр у виключається з використанням умови Е // Е ^ = 0), і в загальному вигляді тут ця задача не розглядається.

Вимоги, що пред'являються до різницевих схем з сучасних позицій, не обмежуються лише аппроксимацией і стійкістю. Деякі з них, що формулюються у вигляді подальших обмежень на решту вільними коефіцієнти а * і визначають в просторі або а деякі підгалузі в умови (8), розглядаються нижче. При цьому використовується досить природна гіпотеза про те, що різницеві схеми, яким в просторі коефіцієнтів відповідають близькі один до одного точки (наприклад, в сенсі звичайної евклідової метрики)

за своїми властивостями також близькі один до одного.

2. Важливий клас складають різницеві схеми виду (2) з невід'ємними коефіцієнтами

вперше введені К.О. Фрідріх сом в [55] для систем рівнянь гіперболічного типу. Властивості подібних схем (стійкість, збіжність і ін.) Неодноразово обговорювалися в літературі і широко відомі (монотонні або мажорантності схеми за іншою термінологією). Зокрема, нерівності (10) - достатня умова стійкості різницевих схем і, отже, область, яка визначається співвідношеннями (10), зі тримається - в умови стійкості (8).

Нерівності (10) разом з умовами апроксимації першого порядку точності (5) в просторі а = ja? | утворюють опукле багатогранне безліч, ранг системи обмежень якого дорівнює розмірності а, тобто р. Знайдемо загальний розв'язок (5), (10), для чого потрібно в просторі коефіцієнтів о? Визначити координати вершин цього замкнутого багатогранника і скористатися відомою теоремою уявлення [70].

Для відшукання вершин, як відомо з лінійної алгебри [70], необхідно розглянути всілякі системи з р лінейнонезавісімих рівнянь, що включають рівності (5), доповнені р - 2 співвідношеннями (10), в яких знак нерівності замінений на суворе рівність. Рішення кожної такої системи буде вершиною, якщо будуть задоволені два залишилися нерівності з (10). Видно, що можливою вершині відповідає такий вектор а ь = | 0,. .., 0, <*? *, 0, ... »0, 0, ...» 01, в якому тільки дві компоненти

можуть приймати ненульові значення, а решта = 0, тобто можливим вершин відповідають всілякі триточкові шаблони, включаю щие точки x m ), (t n + v ', x m + tli ), (t n * v *, x m + Mj ), Умова

ol v ' > 0, a 1 ' 1 > 0 з всіляких триточкових шаблонів виділяє

Дi Так

тільки ті, для яких точки (t n v *, x m + / ij ), (t n *, x m ) лежать no різні боки від характеристики dx = dt (одна з цих точок може потрапляти на характеристику, якщо про = Хт / h = / - ціле число), тобто (І) необхідно доповнити умовами

(якщо точка 1 лежить зліва від характеристики dx = Xdt, а точка 2 - праворуч від неї, рис. 4.1).

Після того як знайдені координати вершин, по відомій теоремі уявлення стосовно до даної системи (5), (10), загальне рішення (вектор а) записується у вигляді лінійної комбінації приватних рішень (векторів а ь ) з невід'ємними коефіцієнтами у ь , в сумі рівними 1, тобто. в .

Отже, співвідношення (І) - (13) повністю вирішують задачу побудови всієї множини лінійних різницевих схем з позитивною аппроксимацией для довільних сіткових шаблонів.

Як приклад в разі X> 0 і неявного шеститочкові шаблону з вузлами

На рис. 4.2, 4.3 в координатах a = J aij, aj, aj I зображена область допустимих значень цих коефіцієнтів для схем першого порядку точності з обмеженнями (10): замкнутий багатогранник з вершинами О, A it А е - А 6 (рис. 4.2, про = 0,5) і піраміда А 2 А 3 А 4 А 6 (рис. 4.3, про = 2). Точка Про відповідає стійкій і монотонної при | про | <1 схемою П. Лакса [53]:

точка А 1 - стійка і монотонна при | про | <1 схема Р. Куранта, Е. Ізаксон, М. Ріса [671 ( '' явний куточок ", див. (3.1.7)):

точка А 3 - стійка і монотонна при всіх про схема Л.Д. Ландау І.М. Меймана-І.М. Халатникова [86] ( '' неявний куточок "):

точка А ! при | про | <1 разом з точкою А 2 при | про | > 1 відповідають устой- 110

Мал. 4.2 Рис 4 3

чівой і монотонної при всіх а схемою Б. Карлсона (див .: [7]):

Решта коефіцієнти (а® !, »?) Визначаються співвідношеннями (6). Аналогічні побудови для явного, також шеститочкові шаблону з вузлами

представлені на рис. 4.4 при а- 0,5 і рис. 4.5 при а = 1,5. Тут в просторі коефіцієнтів а = I а® 2 , «о. «21 зображені області, відповідні різницевим схемам з позитивною аппроксимацией (багатогранники ОА У А 3 - А 6 і А 3 А 4 А 6 А 7 відповідно). Точка Про - схема П. Лакса (15), точка A i - схема Р. Куранта, Е. Ізаксон, М. Ріса (16).

3. Друга досить спільне завдання, яка може бути сформульована і вирішена на основі введення лінійного простору коефіцієнтів різницевих схем, полягає в наступному. Для різницевих схем першого порядку точності з позитивною аппроксимацией величина А 2 5 2 / 2т =

= А 22 а - а 2 ) / 2т є коефіцієнтом апроксимаційної в'язкості в перших диференціальних наближень (3) різницевих схем (2) при виконанні обмежень (10), тобто во, - Хі х = А 2 5 2 ц хх / 2т. З дру; гой боку, б 2 є відстань (з урахуванням Знака) від довільної точки а багатогранника (5), (10) до гіперплощини 5 2 = 0 ((4) при к = 2, на якій розташовані всі схеми з порядком апроксимації вище першого) . Обчислюючи 5 2 безпосередньо, отримаємо

так як для кожної вершини

Рис. 4 5

Мал. 4.4 Рис. 4 5

З виразу (20) випливає, що замкнутий багатогранник (5), (10) і гіперплоскость (4) при до = 2 не мають перетинів, за винятком з практичної точки малоцікавого випадку, коли характеристика dx = dt строго потрапляє в один з вузлів сіткового шаблону (тоді вони стикаються в одній з вершин).

Отже, різницевих схем виду (2) другого порядку точності на рішеннях (1), що задовольняють нерівностям (10), не існує. Оскільки виконання (4) при до = 0, 1,2 є необхідною умовою і для схем вищого порядку точності, цей висновок відноситься і до всіх схемами з порядком апроксимації вище другого. Іншим способом в окремому випадку явних двошарових різницевих схем подібний результат (про відсутність монотонних лінійних явних двошарових схем другого порядку точності на рішеннях (1)) отримано С.К. Годуновим в роботі [60].

Для явного сіткового шаблону (19) на рис. 4.4, 4.5 зображена площина В х ... В & з рівнянням

на якій розташовані всі різницеві схеми другого порядку точності на рішеннях (1), що включає при | а | <2 двопараметричного сімейство стійких схем (межі області стійких схем відзначені на рис. 4.4, 4.5 штрихуванням і отримані з умови (8) з урахуванням (21)), а також лежить в цій площині пряма DC j. . . З 4 різницевих схем третього порядку точності з рівнянням

що містить при

відрізок DC 3 стійких схем [79], і єдина на даному шаблоні, стійка також при | про | <1 схема четвертого порядку точності (точка D) , для якої

Точкою У л відзначена відома схема Лакса-Вендроффа [58] з коефіцієнтами (див. Також 3.1.8)

точки С, і С у відповідають двом різницевим схемам третього порядку точності, для яких відповідно

Аналогічні побудови в просторі коефіцієнтів а = | а1 а®, а) | для неявного шаблону (14) показані на рис. 4.2, 4.3. Як і для попереднього прикладу, площина В х ... В * різницевих схем другого порядку точності включає деяку двопараметричну область стійких схем (її межі відзначені штрихуванням), однопараметричне сімейство схем третього порядку точності (відрізок З 2 ?> На рис. 4.2 при про = 0,5 і промінь C 2 D на рис. 4.3 при о = 2, що виходить із точки С 2 , - стійкі схеми).

Точкою В $ відзначена схема Лакса-Вендроффа [58], точка В 4 відповідає інший відомою схемою другого порядку точності ( "лівий прямокутник") з коефіцієнтами

точка В 7 - також схема другого порядку точності, що має координати

I

Точка С, відповідає стійкій при | про | <1 разностной схемою третього порядку точності

4. З урахуванням результатів п. 3 можна сформулювати і в загальному випадку вирішити наступні дві поєднані завдання.

По-перше, для системи (5), (10), спільним рішенням якої є (11) - (13), можна поставити звичайну задачу лінійного програмування

тобто задачу мінімізації коефіцієнта апроксимаційної в'язкості схем з позитивною аппроксимацией, і тим самим для довільного сіткового шаблону знайти найбільш точну серед них разностную схему

Рішенням (5), (10), (31) буде різницева схема, побудована на трьохточкову сітковому шаблоні, що включає розраховується точку (t n * l , x m ) і ще два вузла (г "* 1 '-, x m + Mj ), (t n * v x m + Mj), що лежать no обидві сторони від характеристики dx = dt і найближчі до неї в сенсі звичайного геометричного відстані в площині незалежних пере - сних (t, х). Дійсно, величина 6 2 ='ч ь ь 2 ь приймає найменше значення для однієї з вершин замкнутого багатогранника (5), (10) (найближчій до гіперплощини б 2 = 0 різницевих схем з порядком апроксимації вище першого). Так як = -Д1Д2 (Тн < 0, ц 2 > 0) і, як неважко переконатися, д, = Л + * Ih, ц 2 = VT ™ + ~ X T r 2 / A , де

г, і г 2 - відстані в площині (/, х ) від точок (t n + v *, х т + м х ) і х т + ц 2 ) до характеристики dx = dt (рис. 4.1), то для такої вершини Ь 2 ь = 5 2m in приймає найменше значення, якщо кожне з г | иг 2 буде мінімальним.

Зокрема, для двошарових різницевих схем на сітковому шаблоні, що включає точки (/ n + 1 , _ до ),. . . , (/ N + 1 , + Л ), (Л.

. . . , (/ ", + L ) при dx = Xtfr перетинає пряму t - t n - т в межах вибраного шаблону, найменше значення 6 2 = 6 2min = (про - /) (1 + / - о) приймає в вершині а ь - | 0, ..., 0, о? », 0, ..., 0, 0, ..., 0}, для якої

Це відповідає випадку, коли в точній вирішенні рівняння (1) v J}, + 1 = = v значення і = v (/ я , х ), х = х т - Хт знаходиться за допомогою лінійної інтерполяції за значеннями v в найближчих до характеристики dx = dt вузлах різницевої сітки (t n , х т _ ; ) і (/ " х т _ / _!), що лежать по обидва боки від неї. Подібна схема для рівнянь газової динаміки використовувалася, наприклад, в роботі [87] (див. Також розд. 4, гл. III). При / = 1 , L = 1, тобто при виконанні умови | про | <1 (32) є схемою Р. Куранта, Е. Ізаксон ^. Рису (16) (точка А на рис. 4.2,4.4).

У разі про > J найменше значення 6 2 = $ 2min = про - J приймає при

Відповідно, якщо про < -L, маємо 6 2 = 6 2m in = - про - L при Д1 = L , у, = 0, д 2 = v 2 = 1. Якщо при цьому J = К = L = R = 1 , тов поєднанні зі схемою (16), використовуваної при | про | <1, отримаємо схему Б. Карлсона (18), спочатку запропоновану для (1) і узагальнену в роботі [88] на загальний випадок одновимірних квазілінійних систем рівнянь гіперболічного типу. На рис. 4.2, 4.3 цієї схемою, як зазначалося, відповідають точки Л, (при 0 < про <1) і А 2 (при про> 1). _

На рис. 4.6 приведена залежність від про величини h 2 8 2 l 2т для деяких схем з позитивною аппроксимацией (в разі X> 0). Кривим О, A lt А 3 , Aj -А п - А $, А г - А 2 , А , - А п - А 9 відповідають схеми (15) - (17), (32) при J = 3, схема Б . Карлсона (18) і схема (32), (33) при J = 2, К = 1. Видно, що для схеми П. Лакса при малих про ^ h (тобто при г ~ Л 2 ) величина Л 2 6 2 / 2т має порядок одиниці і порушується апроксимація. Ця схема, як відомо, "негнучка" або умовно апроксимуюча [6]. Найменше значення 6 2 має явна схема (32).

На рис. 4.7 з точним рішенням (1), X> 0 (ламана 7), порівнюються результати розрахунків за деякими з розглянутих різницевих схем при наступних початкових умовах:

114

Рис. 4.7

Мал. 4.6 Рис. 4.7

Криві О, А і A lt А г , А 2 отримані за схемами (15), (16), (32) при / = 2, (17), (18) при значеннях а = Хт / Л, рівних 0,5 , 0,5, 1,5, 2, 2 відповідно. Видно, що зроблені в цьому пункті висновки про властивості розглянутих схем з позитивною аппроксимацией підтверджуються і в чисельному експерименті. Зокрема, ефективна ширина зони розмазування розриву тій чи іншій разностной схемою з позитивною аппроксимацией (тобто нахил кривих поблизу розриву) пропорційна величині коефіцієнта апроксимаційної в'язкості Л 3 У 2 / 2т, або, що те ж, віддалі до гіперплощини 6 2 = 0 від відповідної цій схемі точки в просторі коефіцієнтів. Его цілком природно, оскільки саме величина коефіцієнта при v xx в першому диференціальному наближенні (2) впливає на дисипативні властивості різницевих схем.

5. Різницеві схеми з позитивною аппроксимацией, розглянуті в п. 2, 4, мають ряд безсумнівних переваг, серед яких основним є відсутність осциляції разностного походження на негладких рішеннях і ін: Однак всі вони. як показано в п. 3, мають перший порядок точності, що іноді вимагає при використанні навіть кращих з цих схем (мають мінімальну Апроксимаційні в'язкість, п. 4) вибору великого числа розрахункових точок разностной сітки і як наслідок - великого обсягу обчислень. У схемах ж більш високого порядку точності, як відомо, на негладких рішеннях виникають різного роду осциляції разностного походження, внаслідок того що в таких схемах частина коефіцієнтів стає негативною. Тому в разі, коли сітковий шаблон допускає деяке безліч (одно-, двопараметричного і т.д.) схем другого (або більш високого) порядку точності, можна поставити завдання побудови різницевих схем підвищеного порядку точності, в тому чи іншому сенсі '' найбільш близьких "до схем з позитивною аппроксимацией , тобто задачу, пов'язану до сформульованої і вирішеною в п. 4.

Природно припустити, що поведінка конкретної схеми підвищеного порядку точності на негладких рішеннях (амплітуда осциляцій, характер їх загасання і тд.) Визначається відстанню в просторі

невизначених коефіцієнтів а від точки, що відповідає цій схемі, до області різницевих схем з позитивною аппроксимацией (багатогранників ОА х А г - А 6 (рис. 4.2, 4.4), А 3 А 4 А б А 7 (рис. 4.5), А 2 А 3 А 4 А 6 (рис. 4.3) і тд.), тобто немонотонність різницевих схем пропонується ха - рактерізовать величиною (9)

і мінімізувати цю величину для обираних сіткового шаблону і порядку апроксимації безлічі різницевих схем (2).

Тут а = 1а? 1 - набір коефіцієнтів в (2), відповідний даної разностной схемою підвищеного ^ порядку точності, розташованих на гиперплоскости (7) при до = 2, а А = {(- набір коефіцієнтів у виразі (2), відповідний найближчої до цієї гіперплощини вершині многогранника схем з позитивною аппроксимацией. Наприклад: точка А на рис. 4.2, 4.4, точка А 7 на рис. 4.5, точка А 2 на рис. 4.3 ітд.

Для різницевих схем другого порядку точності на рішеннях (1) коефіцієнти aji такої схеми визначаються звичайним геометричним по-

будовою в просторі а = 1 | точки перетину нормалі, проведеної з точки а А з гиперплоскостью (7) при до = 2, тобто з співвідношень

116

різницева схема з найменшою величиною г в (35) при 0 < про <1 має координати в просторі коефіцієнтів a = l a -i I (3 ^ = {0, 1 - а}, точка Вз на рис. 4.2):

Для різницевих схем третього порядку точності схема з найменшою величиною г в (35) визначається з побудови в просторі коефіцієнтів а точки перетину з (7) при до = 2, 3 нормалі , опущеною з точки а А на цю " пряму ", тобто . з співвідношень

Тут (с /, с)), (0Г4, eg) /, / = 2,3 - скалярні твори векторів І А , з 2 , з 3 з (7), скаляри Ь 2 , Ь ь також визначаються співвідношеннями (7) .

Для явного шаблону (19) при 0 <а <1 <$ Л = {о? 2 , <* о »! = 1 0, 1 - про, 0 |

і з (44) маємо наступну схему третього порядку точності на рішеннях (1) (точка С 2 на рис. 4.4):

На рис. 4.8-4.10 = 0,5) і рис. 4.11 (про = 2) наведені результати чисельного рішення модельної задачі (1), (34) за деякими з розглянутих вище схем підвищеного порядку точності. Як видно з даних, представлених на рис. 4.8, на якому з точним рішенням (ламана 1 ) порівнюється чисельне рішення, отримане за різницевими схемами третього порядку точності (26), (45), (27), відповідним точкам Ci - З 3 на рис. 4.4 (криві З х , С 2 , С 3 відповідно), а також за схемою четвертого порядку точності (24) (крива D), амплітуда осциляцій на даному розривних розв'язків і характер їх загасання помітно залежать від близькості цих схем (точок С, С 2 , с $, D) до різницевих схем з позитивною аппроксимацией (до точки на рис. 4.4). Різницева схема (45), як і очікувалося, має найменшу амплітуду осциляцій з швидким їх загасанням. На рис. 4.9 аналогічне порівняння проведено для явних різницевих схем (25), (37), (45) відповідних точкам В 5 , В 6 , С 2 на рис. 4.4 (криві B s , В 6 , С 2 відповідно). Тут можна бачити поліпшення поведінки чисельного рішення по схемі (37) в порівнянні зі схемою Лакса- Вендроффа (25) і іншими схемами другого порядку точності на шаблоні (19), у яких осциляції ще більш помітні, ніж у схеми (25).

Для п'ятиточкового шаблону (41), обраного для даної мо-

Мал. 4.9

слушною завдання таким чином, щоб можна було організувати біжить рахунок без залучення прогоночних співвідношень (несиметричні сіткові шаблони необхідні також для розрахунку граничних точок), на рис. 4.10, 4.11 з точним рішенням (ламана 1) порівнюються результати розрахунків за схемами другого порядку точності (25), (28), (29), (42) - (43) (криві В 5 , В * у В 2 , В 3 відповідно), а також по єдиною на даному шаблоні схемою третього порядку точності (30), що відповідає точці на С рис. 4.2 (крива С |). Тут при 0 < про <1 відмінності між порівнюваними схемами другого порядку точності ще більш помітні і переваги схеми (42) більш наочні. Видно також, що при про> 1 істотно поліпшити осциляційного властивості неявних схем другого (і більш високого) порядку точності на даному сітковому шаблоні не вдається.

6. Починаючи з невідомої роботи [89] в стійких, але не монотонних різницевих схемах, в яких на негладких рішеннях виникають нефізичні осциляції, використовуються різні способи регуляризації раз- рівних чисельних рішень, що вводяться в усій області інтегрування або тільки поблизу розривів (явне введення в схеми штучної в'язкості, наприклад [89-91] та ін., використання операторів згладжування і

Мал. 4.10

Мал. 4.11

гібридні схеми, наприклад [92-100], і т.п.). Фундаментальна теорія регуляризації розривних чисельних рішень розроблена в роботі [101].

Незважаючи на всю різноманітність реалізацій, сутність різних способів регуляризації досить проста і в найпростіших випадках полягає у виборі двох (або більше) опорних схем (одна з яких має досить високий порядок точності, але є немонотонної і на розривних рішеннях осциллирующей, інша позитивно визначена або близька до них, але має перший порядок точності) і в організації переходу між ними в залежності від поведінки шуканого рішення. Саме так влаштовані, наприклад, різницеві схеми [92-95] і деякі ін. Також можна трактувати і ті різницеві схеми, в яких використовується явне або опосередковане введення в схему членів, що відповідають різницевої апроксимації відсутніх в системах рівнянь гіперболічного типу парних просторових похідних (і **, v xxxx і т.п.) з деякими малими коефіцієнтами при них, що, як давно помічено, надає стабілізуючий вплив на чисельний розв'язок.

З позицій розвивається в цьому розділі підходу, пов'язаного з введенням лінійного простору коефіцієнтів різницевих схем, різних способів регуляризації відповідає вибір в такому просторі двох опорних точок (різницевих схем), одна з яких (точка В) розташована на гиперплоскости (7) при до = 2 (другий порядок апроксимації) або на перетині двох гіперплоскостей (7) при до = 2 і 3 (третій порядок) і т.д., а інша (точка а) належить безлічі схем з пложітельной аппроксимацией (2), (5), ( 10), і побудова однопараметричного сімейства ра зностних схем

якому в просторі коефіцієнтів відповідає відрізок А В. Параметр 7 слід пов'язати з поведінкою шуканого рішення так, щоб поблизу розривів 7 = 1, а в області гладкого рішення 7 = 0. Такі гібридні схеми (перша схема такого роду належить, мабуть, Р І.П.. Федоренко [92]), як показують численні приклади їх використання ([92 100] та ін.), поєднують позитивні якості обох опорних схем.

Природно очікувати, що найкращі результати будуть при використанні в якості опорних схем обговорювалися в п. 4 схеми першого порядку апроксимації з мінімальною апроксимаційної в'язкістю (які в порівнянні з іншими монотонними схемами менше розмазують фронти розривів) і схеми високого порядку точності, які мають найтісніший контакт схемами з позитивної аппроксимацией (серед інших схем високого порядку вони дають найменш осцилююче рішення). Слід підкреслити також, що для багатьох різницевих схем координати відповідних їм точок в просторі коефіцієнтів (зокрема, точок А, А 2 , Л, Ап на рис. 4.2, 4.3, 4.4, 4.5) залежать від локальних значень параметра а = Хт / Л , тобто а А = З4 (а), і, отже, при узагальненні гібридних схем типу (46) на випадок систем рівнянь гіперболічного типу слід використовувати їх характеристичні властивості.

 
<<   ЗМІСТ   >>