Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ПИТАННЯ СТІЙКОСТІ І МОНОТОННО СХЕМ СІТКОВИХ-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ МЕТОДУ

Від будь-якої різницевої схеми потрібно, природно, її збіжність, тобто різницеві рівняння повинні, давати наближене рішення вихідної задачі, причому тим точніше, чим дрібніше сітка розбиття області. Як відомо, для лінійних задач з апроксимації та стійкості слід збіжність (теорема еквівалентності Лакса-Рябенького), причому для дослідження стійкості різницевих рівнянь з постійними коефіцієнтами зазвичай використовується метод Фур'є [7-10].

Нижче такий підхід застосовується для вивчення локальної стійкості отриманих в розд. 1-3 різницевих схем з використанням звичайного принципу лінеаризації і '' заморожування "коефіцієнтів ([6, 56] та ін.).

1. Розглянемо диференціальні рівняння (3.1) і аппроксимирующие їх різницеві рівняння (3.7) при А х = corist, А 2 = const, f = 0 і періодичних початкових умовах. Тоді стійкість (і яка з неї по теоремі еквівалентності збіжність) різницевих схем можна отримати, аналізуючи рішення (3.7), методом Фур'є:

Досліджуємо спочатку одновимірний по просторовим змінним випадок. Матриця переходу від шару до шару G тут має вигляд

G = С (т, ф) = Е - а 7 Л " 1 | А | 7 Я (1 - cos1 Aftsin ^. Необхідна умова стійкості Неймана

де до - власні значення матриці переходу G, буде виконуватися при про | до | <1 (Л: = 1,2, ..., /), тобто виконанні умови Куранта-Фрід- ріхса-Леві (КФЛ). Ця умова, як зазначалося, полягає в тому, що область залежно для диференціального рівняння має зна : датися всередині області залежності різницевого рівняння. Умова КФЛ є і достатнім тут, так як рівномірна по т обмеженість G n випливає з співвідношення

Таким чином, схеми I і II сеточно-характеристичного методу (2.5) стійкі в разі двох незалежних змінних. Відзначимо, що для схеми першого порядку = 0, у = 1 - схеми I) доказ стійкості різницевої задачі Коші можна провести при менш суворих обмеженнях. Для квазилинейной системи доказ збіжності схеми, подібної (2.5), як зазначалося, дано в роботі [67].

Розглянемо тепер випадок трьох незалежних змінних в (3.1). При v = 0 (7 = 1) для (3.7) матриця переходу має вигляд

Знайдемо умову стійкості Неймана в припущенні симетричності матриць Ai , А 2 • Нехай z = х + / у - власний вектор G. З огляду на рівність (G, z, z) = X | z | 2 і припускаючи симетричність матриць А ь А 2 , отримаємо

З нерівності (1) видно, що умова стійкості Неймана | X | <1 буде справедливо при a y Qi + про 2 Qi <max (aJX *! + A 2 | Xj |) <1, тобто. при

виконанні умови КФЛ. При виведенні цієї умови використовувалася симетричність матриць А у і А 2 . Але розгляд окремих прикладів з несиметричними матрицями дозволяє припустити, що умова Неймана для схеми I ((3.7) при v = 0, у = 1) виконується при дотриманні умов КФЛ і в більш загальному випадку.

У разі одного скалярного рівняння (3.1) (/ = 1) умова стійкості (1) набуває вигляду

Це співвідношення, що є необхідною і достатньою умовою стійкості в разі рівнянь з постійними коефіцієнтами, еквівалентна умові (1) (по крайней мере при симетричних матрицях).

Тому основні властивості різницевих схем пропонованого вище методу можуть бути виявлені на простому прикладі:

Додаючи до п'яти симетричним точкам на шарі t = t n нову точку (m - 1, / - 1), обрану з урахуванням напрямку характеристики, різницеві схеми сеточно-характеристичного рівняння (2) в наступному вигляді:

методу (3.7) можна записати для

Застосовуючи метод Фур'є, можна досліджувати питання стійкості різних схем, що виходять з цього співвідношення. Опускаючи викладки, відзначимо деякі з них.

При лінійної інтерполяції v = 0, у = 1 схема стійка при виконанні умови КФЛ. При квадратичної інтерполяції (7 = 2) схема виявляється стійкою при виконанні умови КФЛ лише для v = 1/2 ((3.7) при v = 1/2, 7 = 2 - схема II). Для інших значень v схема стійка при а 2 = Про (г) (/ = 1,2), тобто коли крок за часом істотно менше кроків по просторовим координатам. В останньому випадку шах | Х | = = 1 + а + а і зростання початкової помилки е 0 в процесі рахунку характеризує ся величиною е 0 (1 + й + ау! Т .

Залучення додаткових вузлів на площині t - t n погіршує стійкість. Наприклад, застосування лінійної інтерполяції з виконанням умови КФЛ при використанні ще однієї точки (m - 2, /) зробить схему взагалі нестійкою. При інтерполяції більш високого порядку (із залученням нових точок) виходять схеми, стійкі лише при а) = 0 {т) (/ = 1.2).

Можливі також схеми, стійкі при виконанні умови КФЛ по одному з напрямків (наприклад, а 2 <1), в той же час по інший координаті змінної потрібно, щоб а = 0 (т). Зокрема, така запропонована раніше схема [43]. При практичному рахунку за цією схемою крок по змінної х 2 вибирався так, що мала місце оцінка а ~ 10 " 4 (при цьому е 0 через 10 3 кроків по t збільшувалася до 1.2 е 0 , що, взагалі кажучи, цілком допустимо). Цей приклад свідчить про те, що такі схеми можна застосовувати, якщо а < 1.

2. Зазвичай монотонними називаються схеми, що не порушують монотонного характеру розраховуються профілів. Часто доводиться зустрічатися з чисельними схемами, які дають осцилююче близько основного рішення. Іноді такі коливання приймають за нестійкість, хоча це і різні явища.

До класу монотонних схем відповідно до [6], відносять позитивні, по Фрідріхса, схеми.

Покажемо, що схема I ((3.7) при v - 0, у = 1) сеточно-характеристичного методу відноситься саме до цього класу, тобто коефіцієнти в (3.7) невід'ємні і сума їх дорівнює одиниці.

Для скалярного рівняння при v = 0 і у = 1 це відразу випливає з вираІз цих співвідношень слід очевидне рівність

вання (3). У загальному випадку ця схема для (3.7) може бути записана у вигляді

Можнс показати, що при виконанні умови КФЛ про х lAj II + а 2 І Л 2 І <<1 матриця Т 0 має лише позитивні власні значення. Так як | Ai | ± Aj = i | Xj | ± Xj, ..., | X / 1 ± X / (і IX * | ± k > 0 (аналогічно і для | Л 2 1 ± A 2 ), то матриці 7) (/ = 1, 2, 3, 4) також мають невід'ємні власні значення.

Таким чином, матриці 7) (/ = 0, 1,2, 3,4) - невід'ємне певні, і їх сума дорівнює одиничної матриці. Отже, розглянута схема позитивна, по Фрідріхса, і монотонна (при v Ф 0 схема (3.7) не може бути монотонною).

Отже, на підставі проведеного вище дослідження властивостей схем сеточно-характеристичного методу можна зробити наступні висновки.

Найкращою з точки зору стійкості є схема першого порядку точності з лінійною інтерполяцією (схема I). Ця схема монотонна і містить необхідні дисипативні члени для визначення також негладких рішень.

Схема II може давати осциляції на негладких рішеннях, але в той же час дозволяє вибирати при заданій точності обчислень більші кроки сітки. Тому схемою II доцільно користуватися для чисельного знаходження досить гладких рішень.

Для завдань з сильними розривами доцільно користуватися дивергентними схемами (розд. 2, 3).

 
<<   ЗМІСТ   >>