Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ЗВОРОТНЯ ХАРАКТЕРИСТИЧНІ МЕТОД НА НЕРЕГУЛЯРНІЙ РІЗНИЦЕВИХ СІТКИ

При чисельному інтегруванні багатовимірної системи рівнянь гіперболічного типу (1.2.2) в складних областях (наприклад, багатозв'язних і т.д.) далеко не завжди вдається перетворенням незалежних змінних (1.2.7) Ьрівесті область інтегрування до простого і зручного для введення регулярної разностной сітки виду (типу (1.2.6) і т.п.). Крім того, для ряду рухомих систем координат (1.2.10), (1.2.12) в процесі рахунку виникають великі деформації разностной сітки, а часто відбувається і повна втрата її регулярності (нульові обсяги, '' вивертання "лагранжевих сіток в задачах механіки суцільних середовищ і т.д.). Тому представляє безперечний інтерес побудова чисельних методів для випадку, коли на шарі початкових даних t = t n і розраховується шарі t= = / " +1 = t n + т розташування сіткових вузлів може бути довільним (або керованим за допомогою незалежних від способу апроксимації розв'язуваної системи рівнянь алгоритмів, і зокрема пов'язаних з поведінкою шуканого рішення). Прикладами подібних чисельних методів є метод вільних точок В.Ф. Дьяченко [69] та ін.

Нижче розглядається один з таких підходів, заснований на апроксимації умов спільності уздовж ліній перетину координатних і характеристичних поверхонь (розд. 3 даної глави) і використанні лінійної інтерполяції значень шуканої вектор-функції і в точках перетину цих ліній з площиною t = t n по її значенням в трьох найближчих до кожної з цих точок перетину сіткових вузлах, складових охоплює кожну точку перетину трикутник. Для багатовимірного рівняння переносу можна показати (див. Гл. IV), що така різницева схема є схемою з позитивною, по Фрідріхса, аппроксимацией (монотонної або мажорантності - за іншою термінологією), а з монотонних схем (як відомо, всі вони мають перший порядок апроксимації [57, 60]) ця схема є найбільш точною. Відповідні докази легко узагальнюються також на випадок системи (1.2.2), якщо матриці Aj попарно комутують (AfAj = AjA t ). Як відомо, в цьому випадку система (1.2.2) розпадається на / не пов'язаних один з одним багатовимірних рівнянь переносу.

1. Обмежуючись в (1.2.2) для визначеності випадком двох просторових координат * 2 (/ = 2), / = 0 і використовуючи побудови, аналогічні

наведеними в розд. 3, запишемо для довільної внутрішньої точки Н на шарі t = f n + 1 з координатами Хщ, х 2 І наступну схему розщеплення, кілька відрізняється від схеми першого порядку точності (3.4):

В (1), як і в розд. 3, u ", i = 1, ..., / і S ** l9 i = / + 1, ..., 27- значення вектор-функції і в точках перетину i-й '' характеристики "з площиною t = const, й +1 $ su * f, i =!> •• *» 2 /) - значення параметрів в точці площини t = const з координатами х х я, х 2 н ( в яку проектується точка І). Індекси 1 і 2 в співвідношеннях (1) для сімметрізаціі схеми розщеплення доцільно циклічно міняти місцями [9]. Координати точок перетину i-й '' характеристики "з площиною t = const (рис. 3.8) мають вигляд

Нехай у фіксованій в просторі системі координат Ху, х 2 (для спрощення викладок декартовой) на шарі t = t n задані координати х {, деякою сукупності певним чином занумерованих (J = 1, 2, ...) вузлових точок, а також деяка додаткова інформація про ці точках (що характеризує, наприклад, їх сусідство, приналежність до кордону області інтегрування і т.д.). Виберемо одну з точок перетину '' характеристик "з площиною t = t n (2) і три вузлових точки, таких, що трикутник BiB 2 B 2 (рис. 3.8) з вершинами в цих вузлах (позначимо їх координати через = I х { , х { ], / = 1,2,3) містить в собі обрану точку з (2) з координатами г, - = •

Будемо вважати, що для знайденого трикутника ці вузли є найближчими до точок г /, тобто

Вибір потрібних трикутників для '' 'великих "тимчасових кроків т є найбільш складною і громіздкою частиною даного та інших подібних алгоритмів, так як в загальному випадку пов'язаний з перебором великого числа можливих варіантів. Суттєве зменшення обсягу обчислень може бути досягнуто, коли т можна порівняти з кроком інтегрування, що обирається з умов, аналогічних умові Куранта-Фрідріхса-Леві.

Мал. 3.8

Лінійна комбінація г = { x ti х 2 - Ti * 1 + Чг * 2 + 7з г3 П Р І виконанні умов

описує всі точки, що лежать всередині і на кордоні трикутника BiB 2 B $. Тоді для перевірки умови приналежності точки г * = уцт 1 + y 2i * 2 + + 7з / г3 трикутнику BiB 2 B 3 необхідно вирішити лінійну щодо ЧцуЧцу 7з / систему

де і 1 , і 2 , і 3 - значення вектор-функції і в вузлових точках г 1 , г 2 , г 3 .

2. Співвідношення (1) - (6) є розрахунковими формулами для випадку, коли точка Н лежить всередині області інтегрування і жодна з точок (2) на шарі t - t n не виходить за межі області інтегрування. Якщо ж в якійсь із розрахованих точок Я реалізується ситуація, зображена на рис. 3.9, при якій одна або кілька '' характеристик '* перетинаються з межею області інтегрування В { В 2 В ^ в деякій точці В (ас площиною t - t n в точці В , що лежить за межами області інтегрування), то для визначення параметрів в такій точці Н необхідно залучити одну (як показано на рис. 3.9, точка В 3 ) або дві вузлових точки на шарі t = t n + l = t n + т, що належать кордоні області інтегрування. В іншому розрахунок такої внутрішньої точки Н не відрізняється від розглянутого в п. 1. У зв'язку з подібною можливістю розрахунок нового тимчасового шару повинен починатися з розрахунку всіх граничних вузлових точок, який буде описаний в п. 3.

Для ситуації, аналогічної зображеною на рис. 3.9, передбачається, що три потрібні (що задовольняють умовам (3), (4)) вузлові точки / = 1,2 (що лежать на шарі t = t n ) і / = 3 (на шарі t = f n + l ) знайдені, для визначення уі, у 2 / »7з / в інтерполяційної формулою (6) маємо замість (5) лінійну систему

де * 1 /, х 2 1 як і раніше визначаються з співвідношень (2). Аналогічним чином може бути розглянутий випадок, коли для інтерполяції залучаються дві вузлові точки на шарі t = t n * 1 , що належать кордоні області інтегрування.

3. Для розрахунку точки Я, що належить кордоні області інтегрування (рис. 3.10), зробимо локальний перехід від змінних t, x it х 2 до нових незалежних змінних Г,? *,, Наприклад складовим систему координат з базисом

де точка В 2 (J = 2) з координатами | ^, х, х I є найближчою до Я точкою на шарі t = Г л , що належить кордоні області інтегрування, а точки В 1 U = 1) з координатами n , Xi, x 2 J і В г (J = 2) з координатами {/ ", * |, х 2 I - сусідні з точкою В 2 і також розташовані на кордоні. Тоді

Мал. 3.10

і в змінних 7,? *, | 2 вихідна система (1.2.2) переходить в (1.2.8), в якій? {,, 7, визначаються диференціюванням співвідношень

(7). Якщо, як це зображено на рис. 3.10, перші р власних значень матриці А. 1 непозитивні, то розрахунковими формулами буде разностная апроксимація умов сумісності (1.5.2), наприклад,

і I - р граничний умов (1.5.4). Інтерполяційними формулами для визначення в (8) u ?, і / = 1, ..., р, / + 1, ..., 2 / будуть як і раніше співвідношення (5), (6) з урахуванням того, що тепер х і = Ху (? *,? 2 ), х 2 / == Х 2 ({/, 5 /) відповідно до (7), а

(тобто у напрямку? 2 використовується одномірна інтерполяція, рис. 3.10). Тут не розглядається алгоритм отримання координат вузлових точок Xih, х 2 н на шарі t = Г л + 1 через їх значення (х { 9 х 4, / = 1,2, ...) на шарі t = t n (і через значення v! для випадку, коли положення кордону області інтегрування залежить від шуканого рішення). Як уже зазначалося, це є незалежною завданням і вирішуватися вона може по-різному для кожного конкретного випадку.

, Описана вище явна різницева схема стійка і монотонна при будь-яких значеннях кроку інтегрування т (природно, при А ^ А 2 - А 2 А ІАУ = const, до - 1,2).

 
<<   ЗМІСТ   >>