Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

СІТКОВИХ-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ МЕТОД ДЛЯ ДВОХ НЕЗАЛЕЖНИХ ЗМІННИХ

Розглянемо тепер сукупність з I рівнянь переносу (1.1) v it + A / У / * = fi , для кожного з яких можна скористатися попередніми побудовами (розд. 1). Але до таких або близьким рівнянням (умовам спільності)

наводиться будь-яка одномірна система рівнянь гіперболічного типу (1.1.9), як тільки з характеристичного рівняння (1.1.7) знайдені власні значення X / (/ = 1, ..., /) матриці А і для кожного з них з лінійної однорідної системи (1.1.6) з точністю до їх довжини визначені лінійно незалежні ліві власні вектори сЗ / (/ = 1, ... »/).

Отже, і в загальному одновимірному випадку для довільної точки Н на шарі t = г Л + 1 з координатою х я з (1) маємо, аналогічно (1.3)

Тут і / = 1 , I - значення вектор-функції і в точках перетину характеристик dx = 1, ..., / с площиною t = t n , на якій в вузлових точках х т , т = 1, 2, ... задані значення і ". Координати цих точок перетину x t = х н - х / г, / = 1, ...» / визначаються або з першим порядком точності (X / = (х /) я ), або більш точно методом послідовних наближень. при v = 1/2 (2) має другий порядок апроксимації по f, при інших значеннях v (2) має перший порядок апроксимації, причому без втрати точності в цьому випадку можна покласти сЗ / = (сі /) я , тУсЗ / f "+ + 7 (1 - v) (Zi f я + 1 = rc3 / f ?. Для визначенні ня кожного з значень і "можна скористатися тією чи іншою інтерполяційної формулою, наприклад, при всіх - 1 < про { = Х / т / Л <1, i = 1, ..., / і х т = х н u" = і ?, - o t A m ii + + | а / | 7 Д ^ і = 1 для лінійної і у = 2 для квадратичної інтерполяції). Тоді отримаємо звичайну разностную запис сеточно-характеристичного методу

тут | Л | = | | Х, | J, | Л | 7 = ПХ / | 7 1 відповідні діагональні матриці, Д w v, A ^ v, v = u, f визначаються співвідношеннями (1.6).

Найбільший інтерес, як зазначалося вище, представляють два варіанти схеми (5): схема другого порядку точності = 1/2, 7 = 2, схема II) і

монотонна схема першого порядку точності = 0, 7 = 1, схема I).

В останньому випадку можна замінити в (5) f ^ +1 на f ^.

Схема I легко узагальнюється на випадок нерівномірного разностной сітки по г, h , і саме в цьому виді вона була вперше запропонована в роботі [67]. Там же дано суворе доказ збіжності цієї різницевої схеми для загального квазілінійного випадку одновимірної системи рівнянь гіперболічного типу (1.1.9), яке тут не відтворюється через його громіздкість.

Для схеми II необхідна організація локального (тільки в розраховується точці {* л + 1 , х т }) ітераційного процесу в квазілінійну випадку A = A (t, х, u), f = f (t, Ху і) або подання (5 ) у вигляді двокрокового схеми предиктор-коректор (як це робиться в відомому методі Рунге-Кутги, схемах Лакса-Вендроффа, Маккормака і тд.).

2. Ідея сеточно-характеристичного методу може бути використана для побудови різницевих схем в разі дивергентной записи (1.2.3) вихідних рівнянь

в тому числі консервативних різницевих схем [68], для яких в області 0 <f <Г, а <х <b (і будь-який інший області G ) виконуються сіткові аналоги інтегрального уявлення (6)

Нехай деяка матриця В , задана в просторі і, має власні значення X * (/ = 1, ..., /) того ж знака, що і матриця А = F u , тобто діагональна матриця L =} signXj, ..., sign X / J для них одна і та ж (зокрема, за В можна взяти матрицю А). Помноживши (6) на лінійно незалежні ліві власні вектори з * матриці В у матимемо

Ця система в силу лінійної незалежності з * еквівалентна вихідної системі (6). Апроксимуємо останню з урахуванням знаків власних значень матриці В односторонніми різницями по х (лівими - для позитивних Л /, правими - для негативних), отримаємо

Помноживши ці різницеві рівняння (попередньо записані в векторній формі) зліва на П " 1 і використовуючи раніше введені позначення, отримаємо схему першого порядку точності

яка, володіючи всіма властивостями аналогічної схеми (5), v = 0, 7 = 1, через члена в правій частині не задовольняє умовам консервативності (7). Однак заміною цього члена на

легко зробити (8) консервативної різницевої схемою. Зауважимо, що без порушення порядку апроксимації і консервативності різницевої схеми цей член можна вибирати у вигляді

 
<<   ЗМІСТ   >>