Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОСНОВНІ ІДЕЇ СІТКОВИХ-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ МЕТОДУ (НА ПРИКЛАДІ НАЙПРОСТІШОГО РІВНЯННЯ ПЕРЕНОСУ)

1. Розглянемо основні поняття, визначення, властивості чисельних методів, які використовують характеристичні властивості рівнянь гіперболічного типу, на прикладі найпростішого рівняння переносу

Введемо на площині 1 1, х разностную сітку t n = пт , x m = mh з вузловими точками (w, т J, п = 0, 1,2, т - 0, ± 1, ± 2, ... і позначимо значення функції у вузлах через = і (г л , х т ).

Для найпростішого випадку X = const в (1), очевидно, можна так вибрати кроки г, h (Хт = Н) , щоб вузли лежали на характеристиках

Отже, можна використовувати для вирішення викладений в гл. I прямий метод характеристик.

У зворотному методі характеристик потрібно знайти значення v ^ 1 через відомі в певному наборі вузлових точок дані на попередньому шарі t = t n . Проведемо з точки {п + 1, т } характеристику з нахилом X до зустрічі з шаром t - t n в точці 0 (рис. 3.1). З умови спільності dv / dt = /, d / dt = Е / Е / + Х (Е / Ех) v 1 виражається через у л (значенням в точці перетину з площиною t = t n характеристики (2), що виходить із точки { t n + 1 у'х т 1), наприклад, ь вигляді

Якщо задати правило обчислення РЗ через = 0, ± 1, ...) з урахуванням необхідного ступеня точності і гладкості, а також з локалізацією розривів і т.п., то (3) дозволяє крок за кроком знайти ... (m = 0, ± 1, ± 2, ...).

Нехай для зображеного на рис. 3.1 випадку X> 0, / = 0,1 <(Хт) // г <2 і застосовується лінійна інтерполяція по точкам п, т - 11, п, т - 2 1 для обчислення Vq. Тоді зворотний метод характеристик (3) еквівалентний наступної разностной схемою

Якщо точка 0 лежить між вузлами т - / і т - / - 1 (/ = 0, 1, 2, ...), то відповідно зміниться і (4). Наприклад, при використанні лінійної інтерполяції на шарі t = t n між вузлами т - 1 і т + 1 (без использова

Мал. 3.1 Рис. 3.2

ня точки т) отримаємо відому схему П. Лакса [53]

Зафіксуємо тепер близькі до ( п + 1, т | вузли з попереднього тимчасового шару, наприклад, ( п, т ], | п, т + 11, j п, т - 11, які утворюють сітковий шаблон з 4 точок, і припустимо існування ряду Тейлора для v в області обраного шаблону (рис. 3.2). Тоді для знаходження i> 8 на шарі t = t n можна використовувати лінійну або квадратичну параболічну (поліноміальних) інтерполяцію. Подібний зворотний метод характеристик легко записати у звичайній разностной формі.

У разі лінійної інтерполяції маємо

Перевіримо тепер порядок апроксимації різницевими схемами (7),

(8) вихідного диференціального рівняння (1). Розкладаючи v * (k = п, п + 1, / = т, т ± 1) в ряд Тейлора в околиці точки f п, т J і підставляючи ці розкладання в (7), (8), можна отримати

де 7 = 1 для.схеми (7) і у ~ 2 - для (8).

Для різницевих схем першого порядку точності рівняння (9) (його називають першим диференціальним наближенням різницевої схеми [54]) має вигляд параболічного рівняння з коефіцієнтом при v xx (коефіцієнтом апроксимаційної або схемної в'язкості) =

| Х | Л

0-т).

Формули (7), (8) виведені на основі характеристичних співвідношень в припущенні певної міри гладкості (безперервність і та її приватних похідних по х до третього ступеня). Можливо, що слід дотримуватися умов теореми Коші-Ковалевської про аналітичну початкових даних і коефіцієнтів рівняння (1). Однак тоді різницеві схеми типу (7), (8) можуть бути побудовані і без використання поняття характеристик.

Найпростіший спосіб полягає в безпосередньому використанні ряду Тейлора

У цьому співвідношенні похідні по t виражені через проівзодние по х за допомогою рівняння (1) і його наслідків: v tx = - Xu **, v tt = h 2 v xx> ...

A m v 2A

Якщо в (10) покласти v xm ^ -, v xxm ~ ---, то легко отримати (8).

hh 2

Для схем першого порядку точності, коли відкидається останній член в (10), виникає певний свавілля в обчисленні v xm по трьох точках сіткового шаблону, показаного на рис. 3.2.

Загальний вигляд різницевої схеми типу (7), (8) на 4-точковому сітковому шаблоні [ t n + 1, х т |, n , х т |, I х т ± 1 1 має вигляд (метод невизначених коефіцієнтів [8, 10 , 56])

Розкладаючи і ?, + 1 , uJJ, _ ь + в ряд Тейлора щодо точки ( п, т) і прирівнюючи члени при uj ,, а також члени першого порядку з урахуванням рівняння (1) (тобто розглядаючи апроксимацію на рішеннях цього рівняння), отримаємо

Коефіцієнти апроксимаційної в'язкості для цієї схеми

Розглянемо більш докладно сімейство різницевих схем (11). Виділимо серед них клас позитивних, по Фрідріхса (див .: [55]), або монотонних (мажорантності) схем, для яких коефіцієнти при vJn + Д / = 0, ± 1) нейтрально, тобто а 0 > 0, 1 + про - Оо> 0, 1 - про - <* 0 > 0.

Ці нерівності еквівалентні

85

і обмежені, з одного боку, відомої схемою П. Лакса (5) або (11) при а 0 = 0, а з іншого - сеточно-характеристичної схемою першого порядку точності (7) (або (11) пріа 0 = 1 - | а |).

Для вивчення поведінки помилок, що містяться в початкових даних або виникли на якомусь часовому шарі, введемо норму сіткової функції I v n II = max | Vm |. Внаслідок лінійності (11) відхилення можна рас

т

дивитися для самого рівняння. З урахуванням (12) маємо

аналогічно,

Звідси видно, що при виконанні умов (12) в (11) помилка не збільшується, тобто позитивні, по Фрідріхса, схеми стійкі (більш суворе визначення стійкості різницевих схем приведено, наприклад, в [7-10,56]).

Відзначимо два важливих наслідки з (12). По-перше, нерівність! а | <1 означає, що область залежно для диференціального рівняння повинна знаходитися всередині області залежності для різницевого рівняння (умова Куранта-Фрідріхса-Леві, КФЛ). По-друге, з порівняння коефіцієнтів апроксимаційної в'язкостідля (7) і (5) видно, що серед позитивних схем для розглянутого сіткового шаблону схема першого порядку (7), заснована на характеристичних співвідношеннях і лінійної інтеополяііі. має мінімальну апроксимаційної в'язкістю , а схема П. Лакса (5) відповідно максимальної • Відзначимо також, що при I про < 1 (в

нелінійному випадку зустрічається це досить часто, коли X залежить від шуканої функції і, а остання різко змінюється в області інтегрування), схема (5) втрачає апроксимацію (це так звана негнучка або умовно апроксимуюча різницева схема). Зокрема, це видно з поведінки коефіцієнта апроксимаційної в'язкостіна рис. 3.3 (ХД при | а | -? О).

Відзначимо також, що на даному сітковому шаблоні схема (7) на прямій з * про розташована ближче всіх інших монотонних схем до точки

Oq = 1 - а 2 , відповідної єдиною на цьому шаблоні різницевої схемою другого порядку точності (8), а схема П. Лакса відповідно найбільш віддалена точка.

Для дослідження стійкості наведених вище схем скористаємося відомим методом Фур'є, заснованим на аналізі спеціальних рішень різницевих рівнянь виду

справедливих для однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Для стійких схем повинно виконуватися умова | X | <1 + 0 (т) [7-10]. Підставляючи (13) в (І), отримаємо X = а 0 + (1 - а 0 ) cos ^> - losing. тоді | X | 2 - 1 = 40 | Р [(1 - а 0 ) 2 - про 2 ] - 1 + а 0 + а 2 1 <0 при | а | <1, 0 <а 0 <1 - про 2 (див .: [56]). Видно, що безліч стійких різницевих схем на розглянутому сітковому шаблоні є не порожнім лише при виконанні умови КФЛ | про <1 і обмежена, з одного боку, схемою П. Лакса (а 0 = 0 в (11) або (5)), а з іншого - єдиною на даному сітковому шаблоні схемою другого порядку точності (а 0 = 1 - про 2 в (11) або (8)).

2. Припускаючи, що X> 0 і додаючи до розглянутого 4-точкового сіткового шаблоном ще один вузол [Г п , x m _ 2 J, матимемо, очевидно, вже не одне, а двопараметричного (з вільними параметрами, наприклад, а 0 , А_ 2 ) сімейство різницевих схем першого порядку точності:

однопараметричне сімейство схем другого порядку апроксимації на рішеннях (1), для отримання якого в (14) слід покласти

а також єдину на цьому сітковому шаблоні разностную схему з третім порядком апроксимації на рішеннях (1), для якої в (14)

Якщо, слідуючи [57], прийняти вільні параметри (о_ 2 , <* oi за координатні осі лінійного простору з деякою, наприклад евклідової, метрикою в ньому, то будь-яка точка цього простору є певною разностной схемою першого порядку точності з (14), на прямий ВВ ^ (рис. 3.4 - 3.7 для о = Хт / Л = 0; 0,5; 1 і 1,5 відповідно) будуть розташовані всі схеми з порядком апроксимації вище першого (14), (15) і серед них раніше розглянута схема (8), в лінійному випадку збігається з відомими схемами Лакса-Вендроффа і Маккормака [58, 59] (точка? 3 ), точка с буде соотв етствовать найбільш точної на розглянутому сітковому шаблоні схемою (14), (16).

Досліджуючи безліч різницевих схем (14) на стійкість, в просторі а = (А_ 2 , ос 0 1 можна визначити область стійких схем (на рис. 3.4 - 3.7 заштрихована), а вимагаючи невід'ємності всіх коеффі-

Рис. 3.5

Мал. 3.4 Рис. 3.5

Рис. 3.7

Мал. 3.6 Рис. 3.7

ціент

або

можна знайти серед (14) усі схеми з позитивною аппроксимацией (монотонні або мажорантності за іншою термінологією), розташовані на рис. 3.4 - 3.7 всередині і на кордонах багатокутників з вертикальним штрихуванням і з вершинами A t (/ = 0, 1, .... Вершинам цих багатокутників відповідають різницеві схеми, побудовані на триточкових сіткових шаблонах, що включають розраховується точку і ще два вузла, що лежать по обидві сторони від характеристики рівняння (1). Видно, що при 0 <<о <2 обидві ці області (стійких і монотонних схем) існують. Як це і повинно випливати з відомої теореми С.К. Годунова [60] про відсутність монотонних явних двошарових схем з другим порядком апроксимації на решени х рівняння переносу (1), безлічі різницевих схем з порядком апроксимації вище першого (прямі ВВ 4 ) і схем з позитивною аппроксимацией (багатокутники A h / = 0, 1, 2, ...) не перетинаються. Точки Aq, A на рис . 3.4-3.6 відповідають різницевим схемам (5) і (7) відповідно, точка А 2 на рис. 3.7 - схемою (4), пряма А 0 , в ь - розглянутому в п. 1 однопараметричними сімейства різницевих схем.

Виписуючи для (14) перше диференціальне наближення [54]

і враховуючи, що, як неважко переконатися, величина 5 2 = (2 т) 1І 2 = = 1 - про 2 - з * про + За_ 2 є відстанню від точки з координатами 1 А_ 2 , с * 0 1 до прямої В Х У 4 (6 2 = 0), серед всіх різницевих схем (14) можна виділити дві схеми, відповідні точкам А х верб 2 (рис. 3.4-

з. 6) при / '<о <1 або точкам А 2 верб 2 (рис. 3.7) при 1 <о <2, одна з яких (точка А х при 0 <о <1, точка А 2 при 1 <а <2 ) на розглянутому сітковому шаблоні є найбільш точною з монотонних різницевих схем, а інша (точка В 2 ) з усіх різницевих схем з порядком апроксимації вище першого є найближчою до безлічі монотонних схем

і, можна очікувати, найбільш близькою до них за своїми властивостями (зокрема, з поведінки на розривних рішеннях рівняння (1) при їх наскрізному розрахунку). Таким чином, з усього двопараметричного безлічі різницевих схем (14) найбільший інтерес представляють різницеві схеми, яким в площині а = [А_ 2 , I відповідає трикутник А х В 2 С, вершинами якого є: найбільш точна на даному сітковому шаблоні різницева схема третього порядку апроксимації (14), (16) (точка С ), найбільш точна монотонна схема (7) (точка А х ) і найбільш близька до безлічі монотонних схем різницева схема другого порядку точності (точка В 2 ). У гл. IV подібний підхід до побудови та класифікації різницевих схем на основі їх аналізу в просторі невизначених коефіцієнтів узагальнюється на випадок довільних сіткових шаблонів і більш складних, ніж (1), рівнянь [57,61-66].

 
<<   ЗМІСТ   >>