Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

СІТКОВО-ХАРАКТЕРИСТИЧНИЙ МЕТОД (ЯВНІ ДВУШАРОВІ СХЕМИ)

З перших глав книги слідують два важливих висновки: по-перше, зі зростанням кількості незалежних і залежних змінних в чисельних методах характеристик потрібна все більша ступінь гладкості шуканого рішення, і, по-друге, при використанні квадратичної (параболічної) інтерполяції всі схеми зворотного методу характеристик за своїми властивостями мало відрізняються один від одного. Останнє особливо ясно видно при аналізі рівнянь газової динаміки (гл. II). Ці явища мають глибокий сенс і можуть бути пояснені на основі теорії звичайно-різницевих методів рішення рівнянь в приватних похідних.

Спільними для цих методів, які часто називають методами сіток або різницевими методами, є такі моменти [5-11]: введення в області інтегрування разностной сітки; введення сіткового шаблону, тобто сукупності вузлів сітки, які використовуються для заміни диференціального рівняння (в малій області) різницевими рівняннями;

використання розкладання в ряд Тейлора для отримання і аналізу апроксимації.

Очевидно, що інтерполяція і апроксимація не обов'язково повинні бути параболічними (поліноміальними). Останнє є найбільш природним і безпосередньо спирається на теорему Коші-Ковалевс- кой, при доказі якої передбачається аналітичність початкових даних і коефіцієнтів рівнянь.

Для двошарових еволюційних різницевих схем маємо [7]

де і "- значення сіткових функцій в момент часу / = t n ; А, В, О - оператори, що залежать від незалежних змінних (а в загальному випадку - і від шуканих параметрів), а також від тимчасових і просторових кроків різницевої сітки. Апроксимацію диференціальних рівнянь різницевими, тобто побудова операторів А, В, можна здійснювати різними методами, ніж власне різницеві схеми і відрізняються один від одного. Зрозуміло, при цьому повинен бути зазначений алгоритм розв'язання алгебраїчних рівнянь, що приводить до вирішення вихідної задачі при стремящіхс я до нуля кроках сітки. Наприклад, для другої з наведених формул (*) повинна виконуватися умова стійкості І G П <1 з самоузгоджені нормами векторів і операторів [7].

Виявилося, що основні ідеї зворотного методу характеристик, викладені в термінах теорії різницевих схем, дозволяють просто будувати стійкі і ефективні чисельні методи типу (*) і назва сеточно-характеристичний метод, на наш погляд, досить точно відображає сутність подібного підходу [49, 50] . Матеріали цього розділу в основному дотримуються цих робіт. Однак для більшої наочності в розд. 1 основні ідеї вивчаються на найпростішому рівнянні переносу. Матеріал § 4 ще раз підкреслює тісний зв'язок сеточно-характеристичних схем зі зворотним методом характеристик [43, 50].

 
<<   ЗМІСТ   >>