Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МЕТОД БІХАРАКТЕРІСТІК ДЛЯ НАДЗВУКОВОЇ ТЕЧІЇ ГАЗУ

Вибираючи в співвідношенні (1.8) параметр ф рівним п / 2 і ЗТГ / 2 і враховуючи, що при осьової симетрії 7 = 0 (а в плоскому випадку, крім того, члени з г дорівнюють нулю), маємо

Разом з умовою збереження ентропії вздовж лінії струму (1.11) рівняння (1) утворюють повну характеристическую систему, яка лежить в основі методу характеристик [26]. Інтерпретація рівняння (1) однозначна - це звичайні диференціальні рівняння уздовж характеристичних кривих, і тому не виникає труднощів у виборі чисельної схеми. В цьому випадку в тій чи іншій формі використовується класичний метод Массо.

Нехай в точках 1 , 2 елементарної комірки відомі параметри 0, р, S . Розписуючи (1) і (1.11) вздовж лінії 1Ш, 2я, ВІН (рис. 2.6), отримуємо різницеву схему. Можна розглянути схеми, коли розрахункова точка Я вибудовується в процесі вирішення і координати точки Я задаються в певному порядку, а значення параметрів в точках 1, 2 перебувають інтерполяцією за даними уздовж лінії 102. Для системи рівнянь загального вигляду метод більш конкретно розглядався в гл. I.

Одновимірна метод характеристик вже давно, навіть до появи ЕОМ, став в руках інженерів, а не тільки математиків потужним засобом розрахунку надзвукових течій газу. Цим методом вирішено велику кількість різноманітних завдань газової динаміки (обтікання тіл, перебігу в соплах, струменеві завдання, несталі течії і т.д.). Детальний виклад методу можна знайти практично у всіх підручниках по газовій динаміці. У роботах [14, 27] описується метод з урахуванням особливостей його застосування на ЕОМ.

Мал. 2.7

Розглянемо наочне і просте узагальнення одновимірного зворотного методу характеристик на просторовий випадок, запропоноване в роботі [43J. Цей метод успішно застосовувався для розрахунків надзвукового обтікання тіл [43-48] до створення більш універсального сеточно-характеристичного методу [49,50] (гл. III).

Записуючи аналогічно (1) умови спільності (1.8), (1.10), (111) уздовж біхарактерістік ф = тг / 2, ЗТГ / 2 і лінії струму, а також залучаючи біхарактерістікі ф = 0, я для виключення похідних d / do в правих частинах, матимемо

Система рівнянь (2) містить похідні лише вздовж біхарактерістік, що дозволяє назвати схему біхарактерістіческой.

Введемо позначення:

Нехай на площині & (z ) відомі 77, р і S і на площині, (z + І) задана точка Н (рис. 2.7, а ).

Розглянемо чотири елементарні завдання, що виникають при розрахунку обтікання тіла надзвуковим потоком або в струменевих течіях.

  • 1. Нехай точка Н лежить всередині області течії (рис. 2.7, а ). Поставивши собі за наближеними значеннями параметрів в точці Н (наприклад, переносячи їх з найближчої до Н точки попередньої площині), визначимо за формулами (5), (6) координати точок / на площині. Інтерполяцією знаходимо параметри в цих точках. Тут досить використовувати лінійну інтерполяцію, однак для течій, близьких до осесиметричним, за рахунок тригонометричної інтерполяції по трьох точках можна домогтися більш високої точності і вибирати великий крок по кутовій координаті. За формулою (14) обчислюємо dp / da, d? / Dа. З (10), (11) і (13) визначимо параметри в точці Н. Далі можна повторювати процедуру, усредняя параметри на лініях iH , хоча перший порядок апроксимації цього і не вимагає.
  • 2. Нехай точка Н лежить на поверхні тіла з рівнянням г -R w {z, р) (рис. 2.1 у б). Тоді з умови непротеканія маємо

Схема розрахунку аналогічна попередньому випадку, але замість рівняння (13) при I = 2 використовується умова граничне (15).

3. Нехай точка Н належить шуканої поверхні ударної хвилі з рівнянням г = R c {z, <р) (рис. 2.1 у в). У тривимірних течіях всі параметри ударної хвилі визначаються двома кутами нахилу (або їх функціями), наприклад,

Таким чином, в точці Я ударної хвилі з урахуванням (17) - (19) залишається одне невідоме q ^ j, яке і визначається зі співвідношення (13) вздовж біхарактерістікі т 2 , тобто з

Останнє рівняння можна наближено вирішувати методом Ньютона або хорд.

Зауважимо, що для спрощення (18) - (19) виписані в припущенні, що лінія = const лежить всередині елемента ударної хвилі, який відсікається зворотним коноїд залежності.

4. Нехай тепер точка Я лежить на вільної поверхні (рис. 2.7, б) з рівнянням r = R k (z, <р) і нормаллю л = (1 + q * + зі 2 ) "- 1, зі |,

q = R kz , зі = R k JR k . Як і на ударній хвилі, маємо

Для знаходження параметрів точки Я, а також q H маємо п'ять співвідношень: рівняння (15) з заміною R kz на q , рівняння (10), (11), рівняння уздовж біхарактерістікі одного з сімейств (наприклад, (13) при i = 1 ) і, нарешті, умова сталості тиску уздовж вільної поверхні.

Рис. 2.9

Мал. 2.8 Рис. 2.9

5. Як приклад розглянемо задачу про надзвуковому обтіканні затупленого по сфері конуса під кутом атаки. У цьому випадку рахунок ведеться крок за кроком по площинах z = const, починаючи від площині сполучення сфери і конуса, в якій газодинамічні параметри вважаються відомими. Для кожної лінії у = const рахунок починається з ударної хвилі, що полегшує вибір розрахункових точок і інтерполяцію на попередній площині. Логіка програмування і порядок розрахунку нагадують двовимірну схему (див .: [39]). Принциповою відмінністю є необхідність інтерполяції за двома змінним на попередній площині.

Стійкість методу забезпечується тим, що для знаходження параметрів перетину біхарактерістік з попередньої площиною використовуються інтерполяційні вузли, що лежать поза областю залежності диференціального рівняння.

На рис. 2.8 наведено розподіл тиску для конуса з кутом напів розчину в = 4 ° 53 * при числі Маха М ж = 6 і вугіллі атаки 5 °, на рис. 2.9 параметри ударної хвилі при в = 9 ° 30 * для кута атаки а = 5 °. Там же для порівняння нанесені кружками дані, отримані в роботі [28] методом сіток.

 
<<   ЗМІСТ   >>