Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ПЕРЕТВОРЕННЯ РІВНЯНЬ ДО ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ФОРМІ

Уравношя, що описують усталений рух нев'язкого, нетеплопровідного газу, в циліндричній системі координат z, г, «р можна записати у вигляді [26]

Якщо вибирати в якості невідомих функцій тиск р, ентропію S і два кути 0 і у вектора швидкості, наприклад, наступним чином: V = V cos0, sin 0 cos 7, sin 0 sin 7}, то систему рівнянь (1) можна привести до увазі

Запровадження такої системи, як буде видно з подальшого, істотно полегшує виводь дослідження характеристичних співвідношень.

У рівняннях (2) k ; V / = df / ds; - похідна вздовж напрямку ку. У цих рівняннях містяться три таких напрямки, відповідних ортам к / (/ = 1,2,3).

Розглянемо рівняння в фіксованій точці і поставимо питання: чи не можна комбінацією рівнянь (2) домогтися зниження кількості напрямків, уздовж яких проводиться диференціювання?

Помноживши рівняння (2) на і підсумовуючи їх, отримаємо

- *

Умова того, що вектори $ 2, - лежать в дотичній площині до деякої поверхні з одиничною нормаллю п, має вигляд пЙ, - = 0 (/ = 1,2, 3,4), або, якщо rij = nk ; (J = 1,2,3),

Для існування нетривіального вирішення цієї системи необхідно і достатньо звернення до нуль визначника

Є два типи характеристик, що відповідають двом співмножником в рівнянні (5). Перший дворазовий корінь П = 0, або Vn = 0, визначає всі напрямки, перпендикулярні до ліній струму. Другий корінь rii = ± 1 / М = ± sin а, або Vn = ± Ksina, визначає конус характеристичних нормалей (а - кут Маха, рівний arc sin 1 / Л /).

Поверхня, нормаль до якої в кожній точці задовольняє умові (5), є, очевидно, характеристична поверхню, так як при цьому, згідно з (4), є принаймні одна лінійна комбінація рівнянь (2), що не містить виводять похідних з цієї поверхні [1J.

Для вибору чисельної схеми важливо вивчення характеристичних різноманіть, пов'язаних з фіксованою точкою течії.

Умовою П - sin а задовольняє сімейство характеристичних нормалей (утворюють конус нормалей)

де параметр ф змінюється в межах 0

В заданій точці співвідношення (7) утворюють конус променів або конус Маха. З огляду на (6), отримаємо нетривіальне рішення системи (4)

Помноживши рівняння (2) відповідно на з / і підсумовуючи, отримаємо характеристичне співвідношення (3) (умова спільності), справедливе уздовж біхарактерістікі т ),

Тут df / ds - похідна вздовж т *, a dfldo - вздовж напрямку вектора:

Розглянемо перший множник в рівнянні (5). Умовою п х = 0 задовольняє сімейство нормалей n = sini // k 2 - cosi // k 3 , 0 < ф <2га. Відповідне рішення (4) cji = 0, з 2 = cos ф, з 3 = sin ф, ь> 4 = 0 дозволяє отримати рівняння, справедливе уздовж лінії струму з напрямком до !:

Неважко помітити, що останнє рівняння є проекцією рівняння кількості руху на напрям про (ф). Відзначимо, що, хоча лінія струму теж є біхарактерістіческой, останній термін зазвичай використовується для хвильових біхарактерістік.

Вирішенню рівняння (4) coj = зі 2 = з 3 = 0, з 4 = 1 при л j = 0 відповідає умова збереження ентропії вздовж лінії струму:

Таким чином, вихідна схема рівнянь приведена до характеристичної формі (8), (10), (11). Через кожну точку надзвукової течії проходить безліч біхарактерістіческіх напрямків і уздовж кожного з них виконується відповідна умова спільності. Однак кількість незалежних співвідношень не може перевершувати, очевидно, числа вихідних рівнянь, тобто чотирьох.

Якщо в плоскому або осесимметричном випадку рівняння (5) визначає лише характеристичні криві, то в просторовому випадку характеристичні різноманіття набагато ширше (характеристична поверхню, коноїд, біхарактерістікі або поблизу заданої точки, відповідно, площину, конус Маха, його утворюють). Завдяки цьому має місце свавілля в інтерпретації співвідношень (8), (10), (11) і виборі чисельних схем.

Інтерпретація і відповідна разностная апроксимація характе-

стичних рівнянь (8), (10), (11) є основою вибору того чи іншого чисельного методу. Велика кількість запропонованих раніше і взагалі можливих схем просторового методу характеристик пояснюється не тільки вибором параметра ф, а й формою (видом) записи самих рівнянь, які допускають різні тлумачення.

Проведемо через задану точку площину, яка містить вектори 7 (ф) з (7) та про (ф) з (9). Найчастіше співвідношення типу (8) трактуються як характеристичні співвідношення (умови спільності) на характеристичної поверхні, що стосується в даній точці цій площині [24].

З відповідних чисельних схем розглянемо тетраедральную і призматичну.

1. Розглянемо (8) для трьох значень ф г - (ф 12 з) з інтервалу [0, 2га]. Проведемо через задану точку Я площині, що містять 7 (ф {) і (7 (i // f ). Ці площини, очевидно, стосуються конуса Маха Я123 уздовж утворюючих Я /, тобто вздовж біхарактерістік 7 (i // f - ) (рис. 2.1).

Представляють інтерес дві схеми, пов'язані з описаним близько конуса Маха тетраедром НВ Х В 2 В ред (рис. 2.1). Нехай в точках B lt В 2 , В 3 відомі параметри. Знаючи напрямки а (ф { ) (наприклад, В (Bj t ij = 1,2,3), можна знайти ф1 1 ф 2 , ф з і характеристичні нормалі п (ф /) зі співвідношення (6). У перетині відповідних площин знаходиться шукана точка Я, для визначення параметрів якої використовуються співвідношення (8) при ф = ф 19 ф ф ь в разностной формі разом з умовою збереження ентропії вздовж лінії струму (І). Параметри в точках 1, 2, 3, 0 знаходяться інтерполяцією . Подібна схема була запропонована в [24] і практично випробувана в роботі [33]. Аналогічна схема розглядалася також в роботі [34].

Якщо розраховується точка Я відома, то, вибираючи довільні значення ф ((ФГ <ф 2 < ф 2 ) і опускаючи на близьку до неї поверхню, в якій рішення відомо, площини (т ~ <7), можна визначити похідні в напрямках а ( ф /) (/ = 1, 2, 3) за даними на цій поверхні і записати співвідношення (8) в разностной формі. Тоді можна знайти всі параметри в такій точці Я. Аналогічна схема застосована в роботі [40], причому похідні за напрямками cf (i ///) визначалися з поліномів наскрізний апроксимації параметрів на площині початкових даних.

Схема, пов'язана з вписаним тетраедром Я123, запропонована в робо- ті [34]. Нехай відомі параметри в трьох точках 1, 2 і 3. Точка Я знаходиться перетином трьох конусів з вершинами в точках 1, 2, 3. Похідні у напрямку про (ф {) знаходяться за даними в цих точках. У цьому методі область залежно різницевої схеми лежить всередині області залежності диференціальних рівнянь, що і призводить до практичної нестійкості рахунку [35].

2. Розглянемо призматичну схему (рис. 2.2). Співвідношення (8) при ф = Ф 1 і ф = ф 2 інтерпретуються як умови спільності уздовж характеристичних поверхонь НН * В і НН * В 2 В 2 . До них можна додати, наприклад, рівняння (10) при ф = ф i, що виконується на поверхні струму, і умова збереження ентропії вздовж лінії струму. В роботі [35] пропонується вважати точку Я відомої, наприклад, починаючи рахунок від площини симетрії.

Призматична схема представляє великий вибір щодо побудови різницевої осередку (рис. 2.2) і апроксимації рівнянь різницевими співвідношеннями. Зокрема, більш доречна неясна схема, тобто призматическая схема ближче до полухарактерістіческім методам, ніж до власне просторовим методам характеристик. Порівнюючи призматичну схему з полухарактерістіческім методом, можна помітити їх схожість. Відмінність в тому, що напрямки НВ ( в призматической схемою є біхарактерістіческімі.

  • 3. Два співвідношення (8) при ф = ф і ф = ф 2 разом з рівняннями (10) і (11) утворюють повну систему. В роботі [32] для розрахунку неуста- новівшіхся течій пропонується аналогічна схема, в якій в якості напрямків типу про (ф i) і про ^ (ф 2 ) використовуються головна нормаль і бінормаль до траєкторії частинок. Якщо в разі стаціонарних надзвукових течій вибирати бінормаль і нормаль до лінії струму, можна отримати соответсгвующуя схему.
  • 4. Розглянемо 4 рівняння, отримані зі співвідношення (8) при ф = 0, я, я / 2, Зя / 2. Певна комбінація цих рівнянь, проинтегрировал уздовж відповідних біхарактерістік разом з рівнянням нерозривності з (2), проинтегрировал уздовж лінії струму, дозволяє виключити похідні за напрямками про (ф ^) в розраховується точці Я. Ця ідея була висунута в роботі [36] і практично здійснена при розрахунку несталої двовимірної задачі. Порядок апроксимації методу характеристик при цьому другий. Похідні у напрямку (? ( Ф { ) на поверхні, де рішення вже відомо, обчислюються внутрішнім диференціюванням так, що порядок апроксимації буде другий тільки для безперервних рішень, що мають безперервні похідні. Застосування цього методу невиправдано ускладнює геометрію, особливо близько граничних точок.

Вище розглянуті деякі випадки відомої інтерпретації характеристичних співвідношень (8), (10), (11) і основні ідеї відповідних їм чисельних схем.

Відзначимо, що в цих схемах має місце заміна похідних в напрямках ~ про через кінцево-різницеві відносини. Це породжує багато запитань, зокрема, про правильному обліку області впливу, про переваги цих методів перед звичайним методом сіток.

5. Фізична картина надзвукової течії - поширення збурень з даної точки всередині конуса Маха (коноида) і математична природа рівнянь (1) (при певній лінеаризації систему можна звести до хвилевого рівняння) - дозволяє використовувати інший підхід до апроксимації рівнянь (8), (10 ), (11).

Нехай задана (або визначається рішенням) розрахункова точка Н чисельного методу. Рівняння конуса Маха з вершиною в цій точці з урахуванням

(7) можна записати у вигляді

де * і ф- координати на поверхні конуса. Припустимо, що коефіцієнти рівнянь (2) постійні. Тоді можна прийняти (8) за внутрішнє рівняння на характеристичної поверхні-конусі (12), що збігається в цьому випадку з коноїд. Інтегруючи ці рівняння по * і ф з деякими ваговими функціями (наприклад, 1, sin ф, cos ф)> можна отримати незалежні умови спільності, в яких відсутні похідні від початкових даних.

Подібний підхід дозволяє дати іншу інтерпретацію умов спільності. Введемо в розгляд локальну сферичну систему координат з співвідношень г = т і + * т (0, ф). Запишемо (3) в цій системі координат і будемо вимагати рівності нулю коефіцієнтів при приватних похідних Е0 / Е0, ду / дв,'р /'в. Це призводить до умов (4), тобто при 0 = а співвідношення (3) містить лише похідні по * і фі має вигляд

Це рівняння еквівалентно умовам спільності (8), якщо в останньому перейти від похідних в напрямку про до приватних похідних по ф.

6. Доведемо, що рівняння (1) при М> 1 у фіксованій точці можна перетворити так, що отримана система буде містити похідні тільки уздовж біхарактерістіческіх напрямків.

Приєднуючи до них співвідношення (10) при ф = ф 0 і умова збереження ентропії вздовж лінії струму (11)

отримаємо повну систему рівнянь, що описує усталене протягом надзвукового потоку. Еквівалентність цієї системи вихідним рівнянням газової динаміки випливає з того, що, по-перше, (14) - (17) виходить з (2) лінійної комбінацією з множниками co it складовими наступну матрицю:

і, по-друге, відмінність від нуля визначника цієї матриці (sin 2а Ф 0) свідчить про лінійної незалежності рівнянь (14) - (17).

Розглянемо вектори? (^), А (^), до 1 . Надалі для зручності опустимо індекс у ф. З урахуванням (7) і (9) легко отримати такі співвідношення:

Але тоді маємо

де df / dsi - похідна вздовж біхарактерістік ~ т [ф + (2 i - 5) я / 2], / = 3,4.

Зокрема, і похідні уздовж лінії струму можна представити у вигляді

Таким чином, підставляючи (18) в (14) - (17), отримаємо систему рівнянь в заданій точці, яка містить похідні лише в біхарактерісті- чеських напрямках ki, "r (iO, ~ т (Ф + ff),"? + я / 2), 7 ( ф + Зя / 2) Відзначимо, що в осесимметричном випадку, якщо вибрати ф = тг / 2, останні два напрямки випадають з розгляду.

Покажемо, що і в тетраедральних численних схемах [24, 33] де використовуються (8) для трьох значень ф ^ тобто розглядаються три біхарактерістікі ? (ф /) (i = 1. 2, 3), похідні уздовж про (^) виражаються через похідні уздовж т (^ | ).

Дійсно, так як вектор про можна представити у вигляді , де e ik визначаються системою

Таким чином, властивість відсутності в умовах спільності похідних в нехарактерістіческіх напрямках є істотним моментом при виборі чисельних схем. Хоча при формальному підході до співвідношень (8) можна зберегти похідні в напрямках а й при цьому навіть побудувати схему другого порядку, наприклад, аналогічну схемою Батлера [36], доцільність цього стає сумнівною. По-перше, невиправдано ускладнюється практичний рахунок, по-друге, використання співвідношень типу (18) або (19) наближає різницеві характеристичні схеми до найбільш природною інтегральної апроксимації умов сумісності, що розглядається в наступному пункті, і, по-третє, у багатьох задачах газової динаміки доводиться будувати безперервне, але не обов'язково гладке рішення і чисельне диференціювання отриманих в процесі рахунку даних небажано.

7. Розглянемо іншу інтерпретацію рівнянь (8) - інтегральну апроксимацію, яка відображатиме найбільш повно фізичний зміст задачі.

Відомої лінеаризацією вихідних рівнянь систему (8) можна звести до хвилевого рівняння. Рішення задачі Коші для такого рівняння дається формулою Пуассона (1.1.16), тобто рішення в точці Н виражається як деякий інтеграл по підставі конуса Маха (Монжа) разом з об'ємним інтегралом від правої часта. Виходячи з цього, можна очікувати, що і в даному випадку рішення у близькій до площини & точці Н (рис. 2.3) виразиться як комбінація деяких інтегралів в області 01234, принаймні з точністю ро членів порядку h 1 . Справді, помножимо (13) на вагову функцію Ф (ф) і інтегруємо по поверхні конуса, рассмахріьая ф як одну з координат. Якщо вибирати три незалежних вагових коефіцієнта Ф. (Ф) (наприклад, 1, sin ф , cos ф), то інтегрування дає три незалежних співвідношення щодо невідомих в точці Я: р н , y Hi р н . Приєднуючи до них умова збереження ентропії вздовж лінії струму, отримаємо повне рішення в розраховується точці Я. Відзначимо, що можна вказати багато способів отримання подібних аппроксимаций.

Оскільки при інтегральної апроксимації рівнянь сумісності виключається питання вибору ф, виходять єдині характеристичні співвідношення як для прямих схем (розрахункова точка будується в процесі рішення), так і для зворотних схем (координати розрахункової точки відомі).

Розглянемо, наприклад, інтегральну апроксимацію в найпростішої пряму схему - тетраедральном методі. Нехай в точках В г3 (рис. 2.1) відоме рішення. Побудуємо конус Маха (за усередненими параметрами), заснування якого стосується всіх сторін теругольніка У Х В 2 В ред . Вершина цього конуса визначить нову розрахункову точку Я. Використовуючи інтегральне уявлення параметрів через дані в точках В хь , можна знайти рішення в точці Я. Все це робиться аналітично, заздалегідь. У чисельний метод (програму) увійдуть формули для координат і газодинамічних параметрів в точці Я.

Газодинамічні параметри в точці Я виражаються безпосередньо через дані в обраних вузлах з площини, що несе початкові дані.

Говорячи про переваги інтегральної апроксимації характеристичних співвідношень, треба відзначити, що вона надасть, мабуть, сприятливо впливає на стійкість рахунки і більше підходить для розрахунку безперервних, але не обов'язково гладких рішень.

8. Наведена вище (в п. 6 цього розділу) інтерпретація характеристичних співвідношень (13) не тільки істотно спрощує обчислення в різницевих схемах, а й більш зручна з точки зору дослідження локального рішення.

Оскільки при виборі для чисельної схеми співвідношень (9), (19) та інших аналогічних, а також параметра ф є багато можливих варіантів, то розглянемо вплив вибору ф на поведінку рішення в точці Я.

Нехай на площині 9 * (для простоти, припустимо, що вона перпендикулярна лінії струму) відомо рішення задачі, тобто задані початкові дані. Побудуємо рішення (14) - (17) в точці Я, розташованої на малій відстані вниз по потоку від площини (рис. 2.3). Отримане рішення, взагалі кажучи, буде залежати формально від вибору параметра ф. Виключаючи ф з рішення, можна зробити ряд цікавих висновків про вибір тієї чи іншої схеми чисельного методу, про область залежності, про порядок апроксимації та інтерполяції на початковій площині і т.д.

Замінюючи в (14) - (17) (поклавши для простоти F = 0) похідні в точці Н різницевими стосунками і згрупувавши члени з невідомими параметрами точки Н в лівій частині, маємо

На підставі (18) отримаємо

Тут fi = f [ф + (i -1) л] для / = 1,2, /> = / [ф + (2 / - 5) тг / 2], для 1 = 3,4 значення / на окружності підстави конуса Маха (рис. 2.3), / 0 - значення / в точці зустрічі лінії струму з площиною

Визначник системи лине йних алгебраїчних рівнянь (20) щодо Рн, Ун, р н дорівнює 2 / М 2 -1 sin PIpV 2 . Якщо виключити особливий випадок sin Р = 0, то рішення (20) має вигляд

64

Тут введено такі позначення:

Ентропія, згідно (17), уздовж лінії струму зберігається, тобто = S 0 .

Таким чином, з точністю до членів порядку квадрата відстані між площиною ^ 0 і точкою Я рішення в цій точці рівнянь (14) - (16) представляється у вигляді (21). При виведенні цих співвідношень передбачалося, що уздовж біхарактерістік Функції та їх похідні неперервні. Коефіцієнти в (21) (sin 0, yjM * - 1 / р Р * і т.п.), а також ~ т (ф) можна обчислювати за параметрами, наприклад, в точках 0 або Я, маючи на увазі порядок відкинутих членів # (As 2 ).

Рішення (21) формально залежить від вибору параметра ф, причому ф Е [0, 2 7г] визначає область залежно для точки Я - коло, утворений осноЕаніем конуса Маха з вершиною в цій точці. Але параметри в точці Я не повинні залежати від вибору ф. Це має місце при виконанні наступних умов: / 0 = /.і вираження sin ф / 2 + cos Ф / з 4 »

-cos ф f 2 + sini /// 34 не залежать від ф, де в якості / маються на увазі 0, 7 і р.

Для виконання цих умов достатня представимость 0, 7, р в деякому околі точки 0 площині 5 * у вигляді лінійної функції, причому підставу конуса Маха має перебувати всередині цієї околиці.

Зокрема, якщо функції / (тобто 0, у або р ) неперервні разом зі своїми першими приватними похідними в околі точки 0, маємо / о = 1/2 (/, + / 2 ) +0 [(tgа ДГ) ], = д 0 + «1 cosi / <+ * i sin ф + 0 ((tga As 2 )],

і зазначені вище умови виконуються. Цей результат знаходиться у відповідності з застосовувалися чисельними схемами. Наприклад, в тетраедральних схемах [24, 33] завдання трьох точок визначає нову точку і параметри в ній. Очевидно, що завдання параметрів в вершинах трикутника і визначає лінійну функцію. З іншого боку, і в схемах з відомою розрахунковою точкою досить використовувати лінійну інтерполяцію.

Отже, з точки зору апроксимації характеристичних співвідношень різницевими рівняннями вибір параметра ф не грає ролі. При чисельних розрахунках це справедливо, якщо в основі конуса Маха параметри 0, 7 »A S представляються лінійною функцією.

Але вибором фу очевидно, можна домогтися більшої простоти в розрахункових формулах. Бажано також, щоб при розрахунку внутрішніх і граничних точок течії використовувалося одне і те ж значення фу що полегшує програмування Доцільно вибирати ф так, щоб в напрямку (3-4) (рис. 2.3) параметри змінювалися слабо.

Для стійкості чисельного рахунку важлива обумовленість системи (20). Її можна оцінити за величиною визначника системи.

Вироблений вище вибір невідомих кутів 0, у можна визнати вдалим з цієї точки зору, так як при малих 0 в (21) випадкова помилка, наприклад, в р може істотно вплинути на величину у н . З огляду на це в чисельної схемою для практичного рахунку (розд. 3, 4 цієї глави) кути 0 і у вводяться дещо по-іншому.

9. Зупинимося детальніше на питанні про похибки різницевих методів, заснованих на характеристичних властивості рівнянь газодинаміки.

Нехай рахунок ведеться з кроком h по площинах z = const. Інтегруючи, наприклад, при ф = я / 2 рівняння (14) вздовж біхарактерістікі т (я / 2), маємо

Тут д, Ь х , Ci обчислені за усередненими параметрами в точках Я і 1, або самі усереднені.

Можливі два підходи:

У разі осьової симетрії dy / da = J = 0, і як видно з цих співвідношень, метод характеристик має другий порядок апроксимації (якщо, звичайно, робити ітерації). У загальному випадку (23) і (24) не збігаються. Якщо похідні dp / do і dy / do обчислювати на попередній площині або по (18), то різницеві співвідношення типу (23) апроксимують рівняння (14) - (17) з похибкою О (Л (

 
<<   ЗМІСТ   >>