Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

РІШЕННЯ ЗМІШАНОЮ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ СИСТЕМИ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК

1. Вище наведені основні ідеї рішення елементарної задачі Коші для малої, порядку величини кроку інтегрування, області. Для побудови чисельного рішення рівнянь гіперболічного типу, що описують ті чи інші фізичні процеси, в заданій або шуканої кінцевої області необхідно вміти розраховувати точки поблизу кордонів, а також розглянути загальні принципи алгоритмізації обраних схем.

Почнемо вивчення проблеми завдання граничних умов і методу розрахунку граничних точок з найпростішого рівняння переносу (1.2). Нехай в точках 1, 2, 3, ... відомо рішення (1.2) і через точку 1 проходить задана межа Г (з рівнянням х = х 0 (О) (рис. 1.7). Візьмемо на Г близьку до 1 точку Я так , щоб криві можна було апроксимувати їх дотичними. Визначимо область нижче / Я, в якій задані початкові дані і шукається рішення, як внутрішню для кривої Г, а область вище / Я - як зовнішню. Проведемо з точки Я характеристику з нахилом X до перетину з прямий 12 в точці 0. Якщо точка 0 потрапляє у внутрішню для Г область ( х'о <X, рис. 1.7, л), то значення vв точці Я однозначно визначається за даними на 1, 2, 3, ... з рівняння dv / dt = bv / bt + (bv / bx) = / і, отже, на кривій Г не можна задавати довільні граничні умови. При цьому для чисельного рішення можна знайти положення точки Я з умови збігу точок 0 та 2.

Коли точка 0 лежить у зовнішній для Г області, тобто характеристика з Н йде в область, де відсутні початкові дані, значення і (Я) не визначене і має бути відомо з граничних умов (рис. 1.76).

Розглянемо тепер випадок / > 2. Проведемо знову з точки Я, що лежить на

dx.

кордоні Г, характеристики по нахилам - = Х. (/ = 1, ..., /) до зустрічі з

dt 1

лінією 123 ... (рис. 1.8). Для характеристик, що лежать у внутрішній області ОТГ, т .e. > dx 0 fdt (i = 1, ..., р), можуть бути записані р умов спільно

ності (106). Решта / - р характеристик (X / <-) лежать у зовнішній

dt

області по відношенню до Г, де відсутні початкові дані, і, следова-

тельно, I - р умови спільності повинні бути замінені граничними умовами в точці Я:

Відзначимо, що диференціюючи (1) вздовж кривої Г: х = х 0 (0 »можна отримати рівняння типу умов спільності, за якими легко перевірити умови лінійної незалежності використовуваних для розрахунку точки Я співвідношень.

Таким чином, необхідне число граничних умов для одновимірних гіперболічних систем однозначно визначається кількістю характеристик, що відсікаються кордоном від області залежності рішення.

Подібне правило можна сформулювати на основі аналізу "йдуть" і "приходять" характеристик [4]. Однак формулювання на основі аналізу області залежності рішення для граничної точки більш наочна і простіше її поширити на просторовий випадок.

Для багатовимірного випадку (J> 2 в (2.2)) очевидні крайні випадки, коли конус залежності лежить у внутрішній області по відношенню до поверхні Г (граничні умови є зайвими). Якщо конус повністю розташований у зовнішній по відношенню до поверхні Г області, то необхідно ставити / граничних умов. У разі перетину конуса граничної площиною потрібно розглянути конкретний вид рівнянь з урахуванням їх фізичної природи і діяти за аналогією з двовимірним випадком. Нижче і в наступних розділах подібний аналіз проведено для загальної багатовимірної системи рівнянь гіперболічного типу і для рівнянь газової динаміки, включаючи додаткову проблему знаходження шуканих поверхонь типу стрибків ущільнення, вільних поверхонь іт.п.

(М3)

2. Звернемося тепер до постановки граничних умов для багатовимірної системи рівнянь гіперболічного типу (2.2) (або (2.8), якщо область інтегрування криволинейная). Канонічні форми цієї системи типу (1.13)

тобто умови спільності уздовж ліній перетину координатних і харак терістіческіх поверхонь

майже однозначно вирішують питання про допустимі граничних умовах в змішаній крайової задачі.

Як приклад розглянемо кордон х г = Х (/, х 2 , ..., * /) або? * = 1 в змінних (f, {, ..., j (рис. 1.9) і припустимо, що в еквівалентній (2.2) системи рівнянь (2) при j = 1 з / власних значень ) невід'ємними будуть перші р, тобто X / 1 > 0 для / = 1,2, ..., р,) <0 для / = = р + 1, /. Тоді в довільній точці Я на кордоні f 1 = 1 у перші р співвідношень системи (2), / = 1 входитимуть похідні уздовж кордону? * = 1 (тобто AjUyj'j = 2, ..., J) і похідні уздовж характеристик (3) (ліній HD t , I = 1, ..., р на рис. 1.9), які йдуть з точки Я всередину області інтегрування при зменшенні t. Саме для цих умов спільності є необхідна інформація для їх різницевої апроксимації і вони повинні використовуватися при побудові розрахункової схеми в такій точці Я. Решта умов спільності, тобто (2), / = 1 для i = р + 1, ..., /, що містять, крім AjU ? /, / = 2, похідні уздовж характеристик (3), що виходять за область інтегрування, 'повинні бути замінені на відповідне число (/ - р) граничних умов, які в загальному вигляді можна записати у вигляді

Для коректної постановки граничних умови в даній граничної точці Я необхідно, щоб матриця

була особливою, тобто Det? 2i Ф 0. Це забезпечує лінійну незалежність умов спільності (2), / = 1, / = 1, ..., р і граничних умов (4). Зауважимо, ^ то якщо в точці Я на ^ кордоні {* = 1 всі власні значення } матриці Л1 невід'ємні (X /> 0, i = 1, /), то в цій точці ^ не потрібно ставити ніяких граничних умов, і, навпаки , якщо все } <0, / = 1, ..., /, то в такій граничній точці необхідно повністю задати століття-тор-функцію і. Аналогічно вирішується питання про граничних умовах на інших кордонах області інтегрування.

Отже, викладені вище схеми розрахунку внутрішніх і граничних точок дозволяють коректно сформулювати постановку змішаних задач для гіперболічних рівнянь і отримати чисельно їх рішення. Принципове значення має спосіб побудови рішення для кінцевих областей. Якщо розраховуються точки шикуються по характеристичної сітці, то такі схеми будемо називати прямими методами характеристик. Інший підхід полягає в попередньому завданні системи вузлових точок (разностной сітки) і використанні розрахункових формул для елементарних завдань з певною системою інтерполяції по вже розрахованим точкам. В цьому випадку методи характеристик можна назвати зворотними. Ці методи вимагають, як правило, більш високого ступеня гладкості рішення і, як випливає з подальшого, близькі до звичайних різницевим методам.

 
<<   ЗМІСТ   >>