Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

БАГАТОВИМІРНОГО МЕТОДИ ХАРАКТЕРИСТИК

Випадок / = 1 в просторі J> 2 вимірювань принципово нічим не відрізняється від методу рішення рівнянь в приватних похідних першого порядку з розд. 3, так як завдання Коші безпосередньо зводиться до вирішення системи звичайних диференціальних рівнянь. Це ж справедливо і при / Ф 1, якщо в (Л2) Ах, А 2 - твори скалярних функцій на одиничні матриці.

Однак для рівнянь в загальному вигляді (1.12) відсутня подібне однозначне узагальнень одновимірного методу характеристик на просторовий випадок. Дійсно, якщо ввести одиничну нормаль до характеристичної поверхні t = (* 1, х 2 ) через n = {1, ~ Ч > Ху , - <0 *, | XX (1 + 1) ~ ' 1 ^ 2 > то умова гіперболічністю (рівняння характеристик)

визначає в околиці фіксованої точки однопараметричне сімейство нормалей, і призводить до різноманіття просторових методів характеристик. При їх конструюванні, очевидно, необхідно врахувати локальну картину: сімейство площин, визначених характеристичними нррмалямі і проходять через дану точку Я, має огибающую - конічну поверхню. Продовження цього конуса (коноида) в сторону t <t H визначає область залежно рішення для Я, а в бік t> tff- область впливу точки Я.

Розглянемо деякі схеми просторового методу характеристик.

1. Тетраедральная схема є найбільш природним аналогом одновимірного методу характеристик. Нехай / = 3 і в трьох точках Г |, г 2 , г 3 , які не лежать на одній прямій, відомо рішення (ui, u 2 , u 3 ). Проведемо площині через вектори r t - г 2 , Ti-Гз, * 2 - * з так, щоб вони були ха рак-

Мал. 1.4

Рис. 1.6

Мал. 1.5 Рис. 1.6

терістіческімі, тобто визначаючи параметр сімейства нормалей (1) з умови їх ортогональності до г, -iy. Точка перетину цих площин (граней тетраедра 123 Я) і буде новою розрахунковою точкою Я (рис. 1.4).

Записуючи тепер умови спільності «(1.106) на відповідних гранях в кінцево-різницевої формі по трьох точках і дозволяючи 3 алгебраїчних рівняння відносно невідомих складових вектора і н , отримаємо рішення в точці Я з похибкою порядку 0 (h 2 ).

При /> 3 проведемо з точки Я додаткові характеристичні площині до перетину з підставою 123. Значення u fl , і ь знаходимо інтерполяцією по точкам 1, 2 і 1, 3 відповідно (рис. 1.4). Далі з кінцево-різницевого наближення умов спільності типу (1.13) можна знайти і н .

Навіть у розглянутій вище схемі при / = 2 виникає неоднозначність, так як три умови спільності на гранях 1Я2,1ЯЗ, 2ЯЗ не можуть бути лінійно-незалежними, інакше виходила б система трьох рівнянь з двома невідомими. Відзначимо також, що в тетраедральной схемою початкові дані використовуються в мінімально допустимому кількості.

2. Призматичні схеми засновані на залученні для вирішення елементарної задачі Коші додаткових точок, які несуть початкові дані.

Для чотирьох заданих точок на поверхні початкових даних можна скористатися показаної на рис. 1.5 конфігурацією. Проведені через точки 1-4 характеристичні площині перетинаються уздовж лінії Н Х НН 2 .

Нехай 1 = 4. Тоді записані в разностной формі умови спільності на площинах l # i3, 2я 2 4, 7НН 2 , '4НН 2 пов'язують шукані функції в точках Hi, Н 2 верб загальному випадку виходить неявна різницева схема. Вона стає явною, якщо параметри в точці, наприклад, Я 2 відомі. Таку схему можна зробити явною, якщо ввести в розгляд проміжну крапку Н і записати умови спільності більш складним чином так, щоб що виходить з точки Я характеристичний конус був вписаним в призму одна тисяча двісті тридцять чотири Н Х Н 2 . Це справедливо для довільних I.

Випадок із залученням 6 точок, які несуть початкові дані, показаний на рис. 1.6 і містить ще більшу ступінь сваволі в конструюванні різницевих схем.

Найбільш простий вид приймає просторовий метод характеристик, коли точки A t Bi (i = 0, 1, 2) і Я лежать на координатних поверхнях певного сімейства. Такі схеми тісно пов'язані з так званими полухарактерістіческімі методами, розглянутими в наступному пункті.

3. Полухарактерістіческіе методи засновані на зменшенні розмірності простору незалежних змінних за рахунок істотного збільшення розмірності вектор-функції шуканих величин.

Введемо в розгляд сімейство координатних поверхонь х 2 = = x 2m = const і позначимо і т = u (г, x l , x 2m ) (т = 1,

У вихідній системі (1.12) аппроксимируем будь-яким способом приватні похідні по х 2 через значення u !, u 2 , .... і м :

Розглядаючи систему (1.12) приходять 2 = х і підставляючи в неї (2), а також вводячи розширені вектор v і матрицю А

отримаємо одновимірну систему рівнянь в приватних похідних першого порядку

з шуканим вектор-стовпцем I X М порядку, яка може бути вирішена викладеним в розд. 3 методом.

Наведемо деякі способи побудови співвідношень типу (2).

а. Найпростіший спосіб полягає в двухточечной або трехточечной апроксимації похідних

б. Метод прямих, заснований на наскрізний апроксимації u Xj за всіма і т (т = 1, ..., Л /) і подальшому диференціюванні.

в. Можна також використовувати метод інтегральних співвідношень А.А. Дородніцина для зниження розмірності просторів незалежних змінних. Хоча при цьому формули ускладнюються, слід чекати більшої точності для заданого Л /, так як інтерполяційні формули використовуються лише для квадратур.

 
<<   ЗМІСТ   >>