Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ДІВЕРГЕНТНИХ ФОРМА РІВНЯНЬ

1. Розглянемо найбільш поширений випадок, коли поверхнею початкових даних Г для (1.1) є площину ^ (х) = х 0 = t = 0, а область інтегрування - вигнутий куб

Досить часто кордону області інтегрування XJ (t , х, і) залежать від шуканого рішення і та також підлягають визначенню. Систему рівнянь (1.1) в цьому випадку зручно записати в вигляді

або в так званій дивергентной формі:

одержуваної з виразу (2) деякими еквівалентними перетвореннями (що не змінюють гіперболічний тип вихідної системи), і, можливо, заміною шуканої вектор-функції і на W (u). Часто дивергентная форма рівнянь (3) є вихідною математичною моделлю (закони збереження маси, імпульсу, енергії і т.д. в механіці суцільних середовищ і ін.) І виконання аналогів дівергентності в чисельному методі в ряді випадків - важлива якість методу (що дозволяє, наприклад , наскрізним чином, без явного виділення поверхонь розриву шуканого рішення, відшукувати узагальнені рішення (3), см. [10]).

Перехід від дивергентной форми (3) до (2) виконується досить просто, при цьому

- відповідні матриці Якобі. Співвідношення (4) виявляються корисними при знаходженні власних значень і власних векторів зі} гіперболічної системи, заданої у вигляді (3) і її недівергентной формі

Тим самим встановлюється зв'язок між вхідними в систему (8) похідними = Е? // ДГ, $ 1 = Е {// Е * р , /, р = 1, ..., У і обчислюються

зазвичай чисельним диференціюванням для складних систем координат

похідними су = dXj /'Г, х ^ р = ДХУ / д? Р, /, р * 1 ..... /, коли для кожного

розраховується сіткового вузла 5 / = const, / = 1, ... »У обчислюються (і запам'ятовуються) координати xj (Г, f 1 , • ..,).

У обчислювальній практиці найбільш споживані наступні заміни незалежних змінних.

У разі, коли тільки два кордони області інтегрування є криволінійними (і в загальному випадку рухливими, залежними від шуканого рішення і тл.), Для визначеності нехай це будуть кордони? Xj = X 1 (/, "• • • * x j) y поширена заміна змінних

У механіці суцільних середовищ систему координат (10), (11) іноді називають рухомий ейлеровой. Можливо, хоча і досить громіздко, її узагальнення на випадок більшого числа рухомих криволінійних кордонів області інтегрування.

В якості другої (яка використовується в подальшому) системи координат розглянемо заміну незалежних змінних

в якій компоненти с / = bXj /'Т вектора швидкості руху точок $ = const можуть задаватися досить довільно, а співвідношення (12) служать для обчислення (і запам'ятовування на черговому розраховується шарі t = const) координат Xj і похідних bXj / ред ^ Р. У механіці суцільних середовищ прикладом системи координат (12) є лагранжевого координати, коли за cj беруть компоненти вектора швидкості руху матеріальних частинок середовища.

3. Безпосередній перевіркою можна переконатися, що якщо в якій-небудь системі координат (t, x t9 . •., Xj) вихідна система рівнянь (2) записується в дивергентной формі (3) з нульовою правою частиною

= О, то при довільному взаємно однозначній перетворенні незалежних змінних (7), (9) заміною шуканої вектор-функції W і векторів F /, / = 1, ... »/ на

система рівнянь (3) перетвориться в дівергентную ж систему

Це дозволяє істотно розширити сферу застосування дивергентной записи рівнянь і відповідних консервативних різницевих схем.

 
<<   ЗМІСТ   >>