Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ГІПЕРБОЛІЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Ця книга присвячена в основному побудови чисельного рішення систем рівнянь виду

де квадратні матриці Aj порядку IXI і вектор-стовпець f є функціями (/ + 1) -размерного вектора незалежних змінних х = = 1 х 0 , , .. -, Xj і вектор-стовпці і шуканих змінних u i9 i = 1 ,. ..

Корисним є з самого початку привести необхідні відомості довідкового характеру, що використовуються далі при побудові чисельних методів і пов'язані з класифікацією і коректною постановкою крайових умов для (1). Детальний виклад теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних читач може знайти у відомих монографіях і підручниках [1-4, 6J і численних оригінальних публікаціях.

Нехай на поверхні Г: <р (х) = 0 задані початкові умови і = і 0 (х) і потрібно знайти і в околиці Г (задача Коші). Вводячи нові змінні t = х'о = р (х), Xj = Xj, i = 1,2, ..., /, grad УФ 0 (наприклад, Е <р / дх 0 Ф Ф 0), оператор L ( і) можна записати у вигляді

J

Очевидно, що доданки цього виразу з внутрішніми похідними du / dXj і f визначаються початковими даними при t = 0, тобто і ° (х). Рас / = про

дивимося на Г матрицю Л = 2 <р / Л / і її характеристичний визначник

Q = DttA = А |. Якщо Q Ф 0 (матриця А невироджені), то виводять з Г похідні ЕІ / Ег однозначно визначені при довільних і 0 (х) і завдання Коші можна вирішити в малій околиці Г. До цієї нагоди повернемося в подальшому.

Якщо Q = 0 на Г, то Г називається характеристичною поверхнею. Тоді існує вектор-рядок w, така, що лінійна комбінація w L (і) містить лише внутрішні похідні на Г, і тому початкові дані і 0 (х) не можна ставити довільно.

Класифікація системи виду (1) спирається на поведінку коренів її характеристичного рівняння [1, 4]. Якщо однорідне рівняння алгебри Q = 0 щодо величин 0, не має ніяких

дійсних рішень в деякій області, то оператор L (u) називається еліптичним в цій області. Якщо оператор має / дійсних різних коренів = Vt П Р І довільних значеннях ^ i, • • •

7 , то система (1) називається цілком гіперболічної. Вимога відмінності коренів, взагалі кажучи, не є необхідним. Для гіперболічністю системи (1) істотно, що в околиці фіксованої точки можна скласти / лінійно незалежних комбінацій вихідних рівнянь (умов спільності), кожна з яких містить лише 7 - /, / = 0, 1, ..., 7 своїх внутрішніх похідних. Такі пана гіперболі- етичні симетричні по Фрідріхса системи [4].

Відзначимо ще, що для лінійних систем виду (1) умова 0 = 0 дає диференціальне рівняння першого порядку для ^ (х), яке може бути вирішено незалежно від шуканої функції і.

Для більш детального дослідження характеристичних властивостей гіперболічних рівнянь, які будуть покладені в основу побудови чисельних методів їх вирішення, розглянемо ряд конкретних випадків.

1. Одновимірна по просторовим змінним випадок (7 = 1). Вже на прикладі найпростішого скалярного рівняння в приватних похідних першого порядку - рівняння переносу

видно властиві гіперболічним системам особливості. Уздовж кривих Г

і рівняння (2) набуде вигляду dv / dt = /, тобто містить внутрішню похідну, отже, Г - характеристичні криві. Нехай при t - 0 задано початкове умова і (0, х) = v ° (х ). Легко показати, що для лінійного випадку (ЕХ / ЕІ = 0, Е // ЕІ = f x (г, *)) з безперервними коефіцієнтами розрив функції і зберігається і поширюється уздовж характеристики. Нелінійність може привести до особливостей навіть при досить гладких початкових даних. Наприклад, при dv ° / dx <0 і / = 0, X = і характеристики перетинаються і немає однозначного рішення (аналог виникнення внутрішніх розривів типу ударних хвиль).

В математичній фізиці часто зустрічається і досить повно досліджена наступна система [6]:

або, у векторній формі,

Помноживши рівняння (4) на і з 2 (з? + Зі * =? 0) відповідно і складаючи, отримаємо або, у векторній формі,

Так як Ь / V і / = b / gradw / - похідна вздовж вектора Ь /, то умови відсутності виводять похідних для Г (х - = 0) з нормаллю

n = 1 - X, 1! , X = р складаються в ортогональности Ь / і п:

Якщо ввести вектор-рядок СЗ = I coj, зі 2 , Ці рівняння рівносильні умові

Власні значення матриці А (що визначають характеристичні напрямки) знаходяться з рівняння

і при а х а 2 > 0 (будемо вважати а х > 0, а 2 > 0) система (4) є гіперболічної. Легко отримати ненормовані лінійно-незалежні власні вектори (6):

Умови спільності (5) приймуть вигляд

Вводячи невироджених матрицю 12, рядками якої є вектори зі /, (8) можна записати в іншій формі:

Безпосередньо можна переконатися, що

де 12 " 1 - зворотна до 12 матриця.

Розглянемо тепер загальний випадок

Нехай зі, - А = X / з / (/ = 1, де з, - - повна лінейнонезавісімая система лівих власних векторів матриці А, X / - відповідні дійсні власні числа, що визначаються характеристичним рівнянням (7). Тоді матриця 12, складена з векторів-рядків зі /, дозволяє привести (9) до нормального або характеристичною формі

Легко переконатися, що кожна з проекції (10а) (умов спільності уздовж характеристичних напрямків) містить лише внутрішні похідні. дійсно,

Для лінійної або напівлінійних не залежить від і) системи (9) можливе подальше спрощення (10). Вводячи нонвис змінні v = J щ ... ..., Vj I, по формулі і = Л -1 у, отримаємо рівняння в инвариантах Рімана:

де А - діагональна матриця з власних чисел X /.

Звідси видно, що в околиці фіксованої точки кожне з рівнянь (11) має вигляд (2), тобто рівнянь переносу. При F = 0 уздовж характеристик (3) dx / dt = X / маємо і * = const. У деяких випадках інваріанти Рімана існують і для квазілінійних рівнянь [2,6].

2. Двовимірні по просторовим змінним рівняння гіперболічного типу

теоретично вивчені менш докладно. Для симетричних матриць Aj доводиться теорема існування і єдиності рішення задачі Коші [1, 4]. Оскільки книга в основному і присвячена чисельному рішенню подібних рівнянь, розглянемо один окремий випадок, коли система (12) зводиться до рівнянь переносу. Помноживши (12) на невироджених матрицю 12 (Det 12 Ф 0), що приводить систему до нормальної формі (яка не містить виводять похідних), і вводячи нові шукані параметри і = Ту, отримаємо

Якщо вдається знайти матрицю Т таким чином, що 12 Т = До, 12/1 / Т = А /, де Af (j = 0, 1,2) - діагональні матриці, то (12) можна перетворити в рівняння переносу типу (2 ), (11) і, отже, зберігаються основні їх властивості. Відзначимо зокрема, що це можливо для симетричних взаємно комутуючих матриць ( А 1 А 2 - A 2 Ai) простої структури [12].

Якщо розглядати (13) в околиці фіксованої точки, то кожне рівняння буде містити похідні уздовж певного променя, що виходить з цієї точки, і будь-яка площина, що містить промінь, буде характеристичної. Більш складну картину утворюють характеристичні різноманіття в загальному випадку. Для аналізу (12) в околиці фіксованої точки (Г °, х ?, х 2 ) можна ввести сімейство характеристичних нормалей n = J - sin0, cos в cos ф, cos0sinH, є рішенням рівняння

Det [- sin ОЕ + cos в (cos фа г + sin фа 2 )] = 0, де Е - одинична матриця. Якщо розглядати 0 как.незавісімую змінну і ввести нову сис- 38

тему координат xi = х? + Scos0 cos ф, х 2 = х 2 + s cos0 sini //, f = r ° + ssin0 , to (12) набуде вигляду

Для гіперболічної системи множенням на невироджених матрицю? 2 можна виключити похідні по 0 і отримати умови сумісності на сімействі площин з нормаллю п (ф) , що проходять через що утворюють конуса з вершиною в точці (Г °, * ?, х?) (Біхарактерістікі). У разі змінних коефіцієнтів Aj, j = 1, 2 далеко від точки Н (г °, х 2 ) конус переходить в коноїд, який визначає області залежно та впливу. Точка Н "не помічає", що відбувається у зовнішньому області коноида при t < t °. Відповідно обурення з точки Н поширюється при t > t ° тільки всередині коноида.

Розглянемо ще зв'язок хвильових процесів з характеристиками. Рівняння (12) для короткохвильового випадку (великі s ) мають рішення виду u = aexp [/ s (af + до х х i + до 2 х 2 )] за умови А а = ( otE + до х А + + до 2 А 2 ) а = О, DetA = 0. Так як без порушення спільності можна покласти a = - sin0, ki = cos 0 cos ф, k 2 = cos 0 sin фу то характеристики є '' фронтом розповсюдження "хвилі [1]. Відзначимо ще, що аналіз рішень цодобного виду дозволяє вивчити коректність задачі Коші для даного рівняння [4].

3. Хвильові рівняння. Найбільш наочно властивості гіперболічністю виступають для рівнянь з постійними коефіцієнтами, зокрема, для добре вивченого в математичній фізиці рівняння

для Ф = Ф (Г, х ) (14) рівносильно системі (4) при f t = 0, а = а х = а г - = const, i = 1,2. Дійсно, вводячи функцію Ф так, щоб <1Ф = іidt - - (** 2 АТ dx, отримаємо хвильове рівняння і його рішення (Даламбер)

У разі двох просторових змінних Xi , х 2 рішення задачі Коші з початковими даними

дається формулою Пуассона

Для випадку трьох просторових змінних справедлива формула Кирхгофа

Відзначимо принципова відмінність (16) і (17). Якщо рішення в вершині конуса в разі двох просторових координат визначається даними в усій області підстави конуса (коло), то в тривимірному просторі (і взагалі в непарній-вимірному) рішення залежить лише від даних на поверхні сфери (принцип Гюйгенса).

Розглянуті в цій книзі системи рівнянь при лінеаризації і '' заморожуванні "коефіцієнтів зводяться до рівнянь типу (14). У зв'язку з цим слід звернути увагу на наочність визначення області залежності в (15) - (17).

 
<<   ЗМІСТ   >>