Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ВСТУП В МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК

У дослідженнях з диференціальних рівнянь в приватних похідних значне місце займає поняття характеристик. Рішення найпростіших з них - рівнянь в приватних похідних першого порядку - може бути зведено до розв'язання системи звичайних диференціальних рівнянь вздовж характеристичних напрямків (співвідношення характеристичної смуги [1]). Класифікація рівнянь математичної фізики заснована на вивченні їх характеристик. Характеристичні різноманіття нерозривно пов'язані з рівняннями гіперболічного типу [1-4].

Відзначимо найбільш загальні властивості диференціальних рівнянь в приватних похідних гіперболічного типу і їх характеристик:

  • - подібні рівняння, як правило, описують нестаціонарні, хвильові фізичні процеси і поширення малих збурень ( '' хвильового фронту "), що безпосередньо пов'язано з характеристичними різноманіття;
  • - на характеристичних гіперповерхні диференціальні рівняння містять лише внутрішні похідні і, отже, завдання Коші з початковими даними на * них не коректна;
  • - для лінійних рівнянь характеристики можуть бути в принципі побудовані a'priori незалежно від шуканого рішення вихідного диференціального рівняння, що дозволяє побудувати аналітичні рішення типу Даламбера, Пуассона, Кірхгофа або введенням характеристичної сітки легко отримувати чисельні рішення;
  • - для нелінійних рівнянь можливо перетин характеристик в місцях виникнення розривів, що полегшує дослідження подібних особливостей і їх чисельне знаходження;
  • - характеристики дозволяють вивчити коректність постановки початково-крайових задач для рівнянь в приватних похідних, і зокрема визначити необхідну кількість граничних умов.

Ці та інші властивості рівнянь гіперболічного типу, коротко викладені в розд. 1, дозволяють побудувати різні чисельні методи характеристик, особливо ефективні для задач з двома незалежними змінними. Природно, для цих рівнянь можуть бути використані і загальні принципи побудови різницевих схем [5-11].

Наведений в цьому розділі матеріал досить повно відображений в монографічної та навчальної літератури [1, 4, 6], тому тут прийнята '' фізична строгість "викладу.

Оскільки глава носить також вступний характер до всієї книги, тут доцільно обумовити прийняту далі термінологію: прямими методами характеристик будемо називати різницеві схеми, в яких в процесі рахунку вибудовується характеристична сітка, зворотними методами характеристик - схеми з наперед заданими системою вузлових точок і способом інтерполяції, підлогу / характеристичними методами - схеми з пониженням тим чи іншим способом кількості незалежних змінних. При таких визначеннях легко зрозуміти зв'язок, наприклад, зворотного методу характеристик з іншими різницевими методами, а також виникнення терміну '' сеточно-характеристичний метод ", основні ідеї якого викладені в гл. III.

 
<<   ЗМІСТ   >>