Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ПЕРЕДМОВА

При дослідженні сучасних завдань механіки суцільних середовищ доводиться мати справу з усе більш ускладнюються математичними моделями. Як правило, це багатовимірні нелінійні рівняння в приватних похідних, з заздалегідь невідомими і також підлягають визначенню межами області інтегрування, з розривами в шуканих рішеннях і зонами великих градієнтів всередині цих областей і т.п. В даний час складність цих завдань така, що їх дослідження неможливо без використання потужного і ефективного апарату чисельних методів і ЕОМ. Глибоке проникнення цих методів в традиційні і нові області пояснюється перш за все їх універсальністю. Маючи багато в чому схожість з фізичним експериментом, в тому сенсі що в "обчислювальний експеримент" може бути закладена досить реалістична математична модель без значних спрощують припущень, за допомогою чисельних методів можуть бути отримані кількісні характеристики досліджуваних процесів в широкому діапазоні визначальних завдання параметрів, а часто - і в області режимів, недоступних для натурних експериментів. Важливо й те обставина, що отримана інформація повніше і істотно дешевше відповідних експериментальних досліджень. Результати численних досліджень, так само як і фізичний експеримент, перш за все є джерелом фактичного матеріалу, на підставі якого може бути проведений детальний теоретичний аналіз, побудовані більш прості моделі, інженерні методики і т.п.

Сказане тут, природно, не применшує ролі інших підходів до вирішення сучасних завдань механіки і фізики і тим більше принципову роль експерименту, який завжди залишається вирішальною основою дослідження, що підтверджує (або відкидає) схему і рішення в тому чи іншому теоретичному підході. Чи не втрачають свого значення і класичні аналітичні методи рішення лінійних рівнянь математичної фізики, асимптотичні методи дослідження більш складних математичних моделей. Вдале поєднання різних підходів дозволяє ефективно вирішувати виникаючі на практиці ті чи інші завдання. Однак поява ЕОМ внесло в процес пізнання новий елемент: принципову можливість ускладнювати модель, роблячи її все більш адекватної дійсності і в той же час доступною для дослідження. До сучасного розуміння цієї проблематики, тобто комп'ютеризації наукового пошуку, привів процес інтеграції знань і ідеології математиків, фахівців з обчислювальної техніки та програмування, а також представників конкретних наукових дисциплін, які використовують в своїй області чисельні методи і ЕОМ.

Протягом останніх десятиліть йшов активний пошук, теоретичне осмислення, впровадження в практику чисельних методів у всіх розвинених країнах світу. Широко відомі радянські школи з обчислювальної математики Інституту прикладної математики ім. М.В. Келдиша, Новосибірська, Московського державного університету ім. М.В. Ломоносова та інших організацій.

В області обчислювальної аеродинаміки в 1960-х роках склалася активна група зі співробітників Обчислювального центру АН СРСР, ряду навчальних інститутів, головним чином Московського фізико-технічного інституту та науково-дослідних галузевих інститутів, об'єднаних більш ідейно, ніж організаційно. Вироблення загальних принципів, пошуки і результати цієї групи опубліковані, наприклад, в монографіях [1, 2], а найбільш важливі підсумки підбито в книзі [3]. Ці принципи, на наш погляд, мЬжно було бф сформулювати наступним чином:

всебічний аналіз фізико-математичних моделей, що використовуються для розрахунку на ЕОМ реальних явищ. Локальне спрощення моделей на основі фізичного або математичного розщеплення;

тісний зв'язок розроблюваних чисельних методів з можливостями ЕОМ (по швидкодії і пам'яті) і фізичними або математичними особливостями завдання;

ретельна перевірка методу на '' життєздатність ": аналіз стійкості, збіжності на модельних прикладах, порівняння з іншими методами, простота і надійність алгоритмів і тл .;

впровадження економних і ефективних схем, які пройшли лабораторні випробування, в практику КБ і НДІ для конкретних розрахунків.

В якості ілюстрації до першого принципу можна привести дослідження деяких перехідних процесів в Гідрогазодинаміки при великих числах Рейнольдса на основі математичних моделей Ейлера, Навье- Стокса, Больцмана [3].

Характерним прикладом до другого пункту є широке використання в 1960-х роках методу інтегральних співвідношень [4], використовуючи який, вперше вдалося розрахувати надзвукове обтікання тіл з відійшла ударною хвилею, хоча попередньо і довелося провести велику роботу з виведення і аналізу систем звичайних диференціальних рівнянь з особливими точками [2].

У пропонованій увазі читачами монографії, в якій викладені основи оригінального підходу до побудови різницевих схем для рівнянь в приватних похідних гіперболічного типу - сеточно-характеристичних методів, і наводяться деякі результати додатків, ці принципи проглядаються найвиразніше.

Метод виявився настільки ефективним і економічним, що поява узагальнюючої монографії є безумовно необхідним, незважаючи на те що основні ідеї методу і окремі результати розрахунків опубліковані в різних виданнях.

За останні роки розроблено велику кількість різних чисельних підходів до вирішення багатовимірних задач газової динаміки. Досить повні огляди наведені в самій монографії. Одне з найбільш перспективних напрямків у цій галузі пов'язане із застосуванням методу характеристик, перші розробки якої були проведені ще на початку століття. Необхідно відзначити, що великий внесок в розвиток зазначеного напрямку внесли радянські вчені.

Створення ЕОМ дозволило різко збільшити точність обчислень і використовувати метод характеристик в найбільш загальній його формі для розрахунку складних одновимірних нестаціонарних задач, надзвукових течій газу з урахуванням фізико-хімічних процесів. З використанням цього методу отримано велику кількість результатів в цій області. Однак, коли на порядок денний постали просторові завдання, перші спроби використання характеристичних підходів для їх вирішення в загальному виявилися невдалими. Головна особливість, притаманна методу характеристик, - нерегулярність разностной сітки - виявилася серйозною перешкодою для узагальнення цього методу на багатовимірний випадок. Крім того, в просторовому випадку виникає неоднозначність при побудові розрахункової схеми в характеристичних змінних. Істотне просування тут було отримано в роботах, заснованих на поєднанні методу характеристик і звичайно-різницевих підходів (див. Огляд: [5]).

На одній з перших шкіл з чисельних методів (м.Київ, 1966 р,

[6]) відзначалася перспективність досліджень просторового методу характеристик [7J. Принципове значення мав також запропонований метод розрахунку граничних точок [8]. На основі біхарактерістіческого методу були проведені систематичні розрахунки просторового обтікання притуплених конусів для реальних умов польоту [9].

Цей метод, як і багато інших підходи, огляд яких дано в роботі [5], строго кажучи, не є прямим методом характеристик, а використовує умови сумісності в разностной формі для фіксованої сітки. Аналіз характеристичних властивостей рівнянь газової динаміки привів до формулювання зворотного методу характеристик на основі відомих понять і термінів теорії різницевих схем. Ці ідеї були опубліковані в роботах [10, 11], в яких було показано, що, використовуючи певні комбінації умов сумісності для багатовимірної гіперболічної системи загального вигляду, можна побудувати чисельні схеми типу зворотного методу характеристик першого і другого порядків точності. Причому вони є природним узагальненням двовимірного методу [12] і мають високу ефективність при конкретних розрахунках. Запропоновані схеми повністю описуються в термінах методу сіток і отримали назву сеточно-характеристичних методів. Це дозволило відомим способом досліджувати відповідні схеми на стійкість, апроксимацію, монотонність. Аналіз для найпростішого рівняння переносу показав, що схема першого порядку СХ-методу має найменшу Апроксимаційні в'язкість серед явних різницевих схем для найпростішого сіткового шаблону.

В подальшому-вдалося довести, що цим властивістю володіють і схеми першого порядку СХ-методу в загальному випадку [13]. При цьому був розроблений новий апарат дослідження різницевих схем - їх аналіз в просторі невизначених коефіцієнтів. Це дозволило істотно розширити можливості СХ-методу і розглянути різницеві схеми для довільного наперед заданого сіткового шаблону, в тому числі і методи високого порядку точності [14].

Всі ці питання методологічного і теоретичного характеру викладені в перших чотирьох розділах монографії, причому в певній мірі збережений хронологічний порядок. Зміст глав досить точно відповідає їх назвам, але необхідно зазначити, по-перше, вступний характер першого розділу і перших розділів наступних глав, що дозволяє читачеві швидше увійти в курс справи, і, по-друге, '' фізичний "рівень строгості викладу, що в подібних виданнях, мабуть, неминуче, а іноді і бажано, якщо вдається зберегти потрібну ступінь самообмеження і вимогливості. По-моєму, авторам це вдалося, і зазначений порядок викладу дозволить початківцям обчислювачам, студентам використовувати дану книгу як додаткове навчальний посібник до відомим підручниками з чисельних методів.

Переваги будь-якого чисельного методу виявляються в здобутих з його допомогою наукових результатах або в широті його практичного поширення. У цьому сенсі викладений в книзі СХ-метод витримав випробування часом. Фахівцям в області газодинаміки, особливо в гіперзвукової аеродинаміки, добре відомі відповідні розрахунки, систематичні і багато в чому унікальні, опубліковані протягом 1969-1984 рр. в монографіях і статтях. Частина цих результатів приведена і в гл. V даної книги.

Досить повно наводяться в книзі нові додатки сеточнохарактерістіческіх методів до вирішення деяких завдань механіки деформованого твердого тіла (гл. VII) і у важливій галузі фізики взаємодії випромінювання з речовиною (гл. VI).

У будь-якій монографії, тим більше з чисельних методів, неминучі елементи певних пристрастей, вплив практичного досвіду роботи, маленьких хитрощів обчислювача і ТЩ. Але і вони потрібні тим, хто хоче скористатися новим методом.

О.М. Білоцерківський

ЛІТЕРАТУРА

  • 1. Обтікання затуплених тел надзвуковим потоком газу: Теорет. і т фіз. дослідні. / О.М. Білоцерківський, А. Булекбасв, М.М. Голома- поклик, В.Г. Грудницький, В.К. Душин, В.Ф. Іванов, Ю.П. Лунькіной, Ф.Д. Попов, Г.М. Горобина, Т.Я. Тимофєєва, А. І. Толстих, В.Н. Фомін, Ф.В. Шугай. М .: ВЦ АН СРСР, 1967. 401 с.
  • 2. Чисельне дослідження сучасних завдань газової динаміки / О.М. Білоцерківський, Ю.П. Головачов, В.Г. Грудницький, Ю.М. Давидов, В. К. Душин, Ю.П. Лунькіной, К.М. Магомедов, В. К. Молодцов, Ф.Д. Попов, А.І. Толстих, В.Н. Фомін, А.С. Холодов; Під ред. О.М. Білоцерківського. М .: Наука, ВЦ АН СРСР, 1974. 398 с.
  • 3. Білоцерківський О.М. Чисельне моделювання в механіці суцільних середовищ М .: Наука, 1985.
  • 4. Дородніцин А.Л. Про один метод чисельного рішення деяких нелінійних задач аерогідродинаміки // Тр. Ill Всесоюз. мат. з'їзду. М., 1956. М .: Вид-во АН СРСР, 1958. Т. 3. З 447-453.
  • 5 .Чушкін ПІ. Метод характеристик для просторових надзвукових течій // Тр. ВЦ АН СРСР.
  • 1968. 121 с.
  • 6. Чисельні методи розв'язання задач механіки суцільних середовищ: Цикл лекцій, прочитаний в Літній школі з чисельних методів. Київ, 1966 р, 15 червня - 7 липня / Под ред. О.М. Білоцерківського. М .: ВЦ АН СРСР,
  • 1969.
  • 7. Магомедов КМ. Метод характеристик для чисельного розрахунку просторових течій газу // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1969. Т. 9, №2. З 313-325.
  • 8. Магомедов КМ. Про розрахунок шуканих поверхонь в просторових методах характеристик // ДАН СРСР. 1966. Т. 171, № 6. З 1297-1300.
  • 9. Луньов В.В., Магомедов КМ., Павлов В.Г. Гіперзвукових обтікання притуплених конусів з урахуванням рівноважних фізико-хімічних перетворень. М .: ВЦ АН СРСР, 1968.
  • 10 . Магомедов КМ., Холодов А.С.. Про побудову різницевих схем для рівнянь гіперболічного типу на основі характеристичних співвідношень // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1969. Т. 9, №2. З 373- 386.
  • 11. КМ. Магомедов. Сеточно-характеристичний метод для чисельного рішення задач газової динаміки // Тр. II Міжнар. колоквіуму по газовій динаміці вибуху і реагують систем. Новосибірськ, 1969 р 19-23 серпня. М .: ВЦ АН СРСР, 1971. Т. 1.
  • 12 . Cowant К, Isacsort Е " ReesМ. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Communs Pure and AppL Math., 1952, voL 5, N 5. P. 243-254.
  • 13 . AC Холодов. Про побудову різницевих схем з позитивною аппроксимацией для рівняння гіперболічного типу // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1978. Т. 18, №6.
  • 14 . А.С. Холодов. Про побудову різницевих схем підвищеного порядку точності для рівнянь гіперболічного типу // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1980. Т. 20, №6.
 
<<   ЗМІСТ   >>