Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ПЕРЕДМОВА ДО ДРУГОГО ВИДАННЯ

Видана в 1988 р наукова монографія «сіткових-характеристичні чисельні методи» давно стала бібліографічною рідкістю, а в деяких пропозиціях про продаж оголошується навіть «антикварної». На її основі в Московському фізико-технічному інституті одним з авторів всі ці роки читається семестровий курс лекцій з обчислювальним практикумом «Нелінійні обчислювальні процеси» для ряду спеціалізацій факультетів управління і прикладної математики і аерофізікі і космічних досліджень. Відеолекції з даного курсу доступні також в інтернеті 1і мають багатотисячну аудиторію. У МФТІ ці лекції доповнюють початковий (річний) курс обчислювальної математики і фундаментальний (також річний) курс теорії різницевих схем. У зв'язку з цим представляється корисним перевидання зазначеної книги, доповнене коротким оглядом вельми істотних досягнень за минулі без малого 30 років в розвитку обчислювальної математики, в тому числі «сеточно-характеристичного» напряму, пов'язаного з чисельним рішенням нелінійних систем рівнянь гіперболічного типу і ряду інших підходів .

Рівняння і системи гіперболічного типу складають значну частину математичних моделей, що використовуються для вирішення найрізноманітніших прикладних задач. З безлічі можливих прикладів відзначимо рівняння Ейлера для нестаціонарних і надзвукових стаціонарних течій стиснення газу, нестаціонарні рівняння Максвелла і різні їх комбінації з рівняннями Ейлера, зокрема рівняння магнітогазо- динаміки і ряду інших математичних моделей фізики плазми, нестаціонарні рівняння механіки деформівних твердих тіл для ряду реологічних моделей і геометрій (як в багатовимірних моделях суцільного середовища, так і в ряді теорій стрижневих і оболонкових конструкцій), нестаціонарні одно- і д вумерние рівняння течії нестисливої рідини в полі сили тяжіння в наближенні дрібної води, нестаціонарні рівняння течії нестисливої рідини в пружно деформуються трубах (зокрема, описують пульсові течії крові в великих кровоносних судинах і повітря в трахейно-бронхіальному тракті), динамічні рівняння переносу енергії в електроенергетичних і радіотехнічних системах, інтенсивного автодорожнього руху в мегапо-

1 URL: http://fvl.fizteh.ru/courses/kholodov/; http://univertv.ru/video/ matematika / matematicheskie_metody_i_modeli /? mark = sciencel; http://www.intuit. ru / goods_store / video / 5663.

лисиць, інтенсивних інформаційних потоків в телекомунікаційних і комп'ютерних мережах і багато інших. Ще більш широкою є область математичних моделей, в яких гіперболічна частина оператора є суттєвою складовою, багато в чому визначальною властивості шуканих рішень і використовуваних чисельних методів (наприклад, рівняння Нав'є-Стокса та ін.).

З моменту появи перших чисельних методів для рівнянь гіперболічного типу їх число досягло важко піддається оцінці величини і безперервно поповнюється новими розробками. З одного боку, це є свідченням важливості даного класу задач в різних додатках, однак така велика кількість свідчить також про те, що універсального, що задовольняє всім вимогам користувачами вимогам, методу, мабуть, не існує (принаймні, він до цих пір не знайдене) . Огляди але даної проблеми (існують навіть огляди оглядових робіт) і монографії включають посилання на багато сотень оригінальних робіт, що не дозволяє провести тут навіть побіжний їх аналіз. Тому обмежимося аналізом лише найбільш значущих ідей, запропонованих при розробках різних методів і підходів, відсилаючи читача за більш детальним описом, наприклад, до монографій [92, 66, 57] і численним оригінальним роботам, посилання на які в них наведені.

Відмінною рисою рівнянь гіперболічного типу є кінцева швидкість розповсюдження збурень (хвиль) в області інтегрування і існування характеристичних різноманіть - характеристичних ліній і поверхонь (обмежують області залежності і впливу рішень), на яких розмірність вихідної системи рівнянь в приватних похідних (число незалежних змінних) можна зменшити на одиницю. Основною тут є робота [188], в якій, хоча і в окремому випадку рівнянь баротропного газу, були детально розглянуті характеристичні властивості цих рівнянь, в тому числі вперше введені в розгляд їх перші інтеграли, названі згодом інваріантами Рімана. З інших робіт за характеристичними властивостями рівнянь газової динаміки і більш загальних систем рівнянь гіперболічного типу в якості прикладу відзначимо: [94, 1611, а також монографії та підручники [83, 59,112, 92, 20, 23, 171, 58] та ін.

Перші чисельні методи для рівнянь і систем гіперболічного типу були засновані на використанні характеристичних властивостей цих рівнянь, як для апроксимації самих рівнянь, так і для побудови різницевої сітки ( прямі методи характеристик , перший з них був запропонований ще в кінці XIX століття Массо [176]) . По суті це були перші різницеві схеми на неструктурованих, адаптуються до вирішення сітках, настільки популярні і інтенсивно розробляються в даний час. Характеристичні властивості гіперболічних рівнянь активно використовувалися також для доказу збіжності чисельного рішення до точному - [156] - відоме умова стійкості Куранта-Фрідріхса-Леві і число Куранта), в тому числі в нелінійному випадку [157]. Подібні чисельні методи (для двовимірних задач газової динаміки - [37, 145 [и др., Для тривимірних - [154, 153, 180, 46, 39, 64, 11] та ін.) Були придатні для побудови тільки безперервних, а часто ще й досить гладких рішень і вимагали явного виділення особливостей (точок, ліній або поверхонь розривів в рішеннях) з постановкою на розривах відповідних граничних умов, що сильно ускладнювало розрахунковий алгоритм в цілому, особливо в багатовимірному випадку і при виникненні нових розривів, коли потрібно їх ідентифікація і введення в розрахункову схему. Детальний огляд цього напрямку можна знайти, наприклад, в оглядовій роботі [+1461.

Подальшим розвитком характеристичного напрямки були зворотні , або сеточно-характеристичні методи , коли стали використовувати, як в звичайних сіткових методах, регулярну разностную сітку, але апроксимувались НЕ вихідні рівняння, а спеціальні їх лінійні комбінації - умови спільності уздовж характеристичних напрямків з тієї чи іншої інтерполяцією параметрів в точках перетину характеристик (в багатовимірному випадку ліній перетину характеристичних і координатних поверхонь, біхарактерістік і т.п.) з площиною , На якій дані вже відомі (початкової або раніше розрахованої): [157, 167] - схема Карлсона [61, 3, 65, 54, 56] і ряд інших відомих чисельних методів. Як і прямі методи характеристик, ці методи не були консервативними, і при їх використанні потрібно явне виділення сильних розривів. Такі підходи, як і раніше необхідні для розрахунку граничних точок в задачах з більш складними, ніж найпростіші (періодичні і т.п.), граничними умовами.

Іншою особливістю рівнянь і систем гіперболічного типу є можливість появи розривних рішень, в нелінійному випадку навіть при гладких (в тому числі аналітичних) крайових умовах - відома градиентная катастрофа. Для лінійних рівнянь і систем джерелом розривів можуть бути розривні функції в початкових або граничних умовах, а також неузгодженість початкових і граничних умов. В альтернативних методів характеристик «звичайних» різницевих схемах (схемах на регулярних, що не характеристичних сітках і без приведення вихідних рівнянь до характеристическому увазі), в тому числі здатних відтворювати розривні чисельні рішення без явного виділення розривів (наприклад, методи [172, 19] та ін .), там, де вдасться виділити особливості, також краще використовувати явне виділення розривів, що забезпечує можливість використання невеликого числа сіткових вузлів для отримання прийнятної точності чисельного вирішене я. Коли продуктивність ЕОМ була порівняно невеликою, такі методи з явним виділенням розривів були цілком природними, а часто і єдино можливими, так як це дозволяло навіть на слабкій обчислювальної базі вирішувати досить складні класи задач. Як приклад можна вказати відомі в обчислювальної газодинаміки і механіки деформівних тіл сіткові методи [5, 21, 32, 52, 63, 142, 147, 66] та ін.

З ростом продуктивності ЕОМ все більшого поширення набули так звані методи наскрізного рахунку (однорідні різницеві схеми), в яких розривні чисельні рішення розраховувалися без явного виділення розривів. В таких методах для рівнянь і систем гіперболічного типу, крім загальних для всіх рівнянь з приватними похідними питань апроксимації і стійкості різницевих схем (див., Наприклад, [96, 24, 97, 187] та ін.), Не менш важливу роль відіграють такі властивості чисельних методів, як консервативність і монотонність різницевих схем.

Консервативні схеми (першими такими методами, мабуть, були [183, 172, 31. 33, 1111 та ін.) Засновані на апроксимації дівергентних рівнянь, записаних в інтегральної формі, і забезпечують виконання дискретних аналогів відповідних законів збереження, що і дозволяє чисельно знаходити розривні рішення без явного виділення розривів. У разі дуже сильних розривів як додатковий елемент в консервативних різницевих схемах використовують точне ( автомодельного) рішення задачі про розпад довільного розриву, якщо його вдається знайти (метод [19] і його численні наступні зміни - [50,134] і ін.). У деяких випадках виникає необхідність наділення різницевих схем аналогом деяких додаткових властивостей вихідних рівнянь. Наприклад, в рівняннях Ейлера поряд зі збереженням повної енергії важливо забезпечити правильний баланс окремих її видів при істотному - на порядки - їх відміну. Приклади таких повністю консервативних різницевих схем запропоновані в роботі [84, 9], а подальші узагальнення ( « вариационно-різницеві » схеми, метод опорних операторів) - в [26, 76 | і ін. Певну проблему для обчислювачів представляють ситуації, коли в вигляді законів збереження записується лише частина рівнянь, як, наприклад, в одіоскоростпих мпоготемпера- туріих моделях плазми ( частково консервативні системи - див. [57]), нелінійні гіперболічні рівняння і системи з розривними матрицями Якобі - см. [110,40] та ін., виконання в чисельному методі аналогів групових властивостей диференціальних рівнянні [150] та ін.

Монотонні схеми (за іншою термінологією - схеми з позитивною аппроксимацией, мажорантності схеми) в нестрогому визначенні - це схеми, які переводять монотонний профіль рішення на якомусь часовому шарі в також монотонний профіль рішення на наступному (прилеглому) часовому шарі, як це має місце в точній вирішенні, по крайней мере, для лінійного рівняння переносу або для інваріантів Рімана в разі систем рівнянь. Найбільш сильно відмінності в численних рішеннях при розрахунках по монотонним і немонотонним схемами проявляються на грубих просторових сітках і при великих часах розрахунку. Існують різні визначення і критерії монотонності різницевих схем, а також способи регуляризації (монотонізаціі) розривних чисельних рішень, початок яким покладено введенням в немонотонні схеми з порядком апроксимації вище першого штучної в'язкості [183, 99. 60] та ін., « Згладжуванням » ( фільтрацією ) високочастотних осциляцій в численних рішеннях [163, 144] та ін. Для рівнянь і систем гіперболічного типу поняття про монотонних схемах вперше введено К. Фрідріха [162]. З інших критеріїв монотонності слід зазначити критерії [19, 174,164]. Критерій Фрідріхса є найбільш універсальним і сформульований як неотрицательность скалярних або неотрицательная визначеність матричних коефіцієнтів різницевих схем. Цей же критерій застосуємо для параболічних і еліптичних рівнянь і систем - для еліптичних систем у разі попарно комутуючих матричних коефіцієнтів [123, 118, 120]. У разі лінійного рівняння переносу (найпростішого з гіперболічних рівнянь), в роботі [191 для явних двошарових сіткових шаблонів доведена відома теорема Годунова про неможливість побудови лінійних монотонних схем з порядком апроксимації вище першого. В роботі [122] теорема С.К. Годунова про монотонних але Фрідріхса різницевих схемах була узагальнена на випадок довільних (в тому числі багатошарових і неявних) сіткових шаблонів. До таких монотонним по Фрідріхса схемами належать вже обговорювалися вище методи першого порядку апроксимації: [157, 167, 61, 3, 65, 541 та ін. Ряд монотонних по Фрідріхса різницевих схем першого порядку апроксимації одночасно має властивість консервативності. Зокрема, такими властивостями володіють схема [172], а також схема [19] і її різні лінеаризації, першими з яких були явні і неявні консервативні схеми з роботи [122], придатні для загальних систем рівнянь гіперболічного типу. Однак в разі розривів дуже великої інтенсивності лінеаризовані схеми вимагають сильного подрібнення кроку інтегрування по гіперболічної змінної. Так як в цьому випадку тимчасової крок інтегрування обмежується тепер швидкістю руху поверхні розриву (ударної або магнітозвукових хвилі і т.п.), яка істотно більше швидкості поширення малих лінійних збурень. Пізніше були побудовані багато інших лінеаризовані схеми Годунова, з яких слід зазначити схему [189] метод, заснований на наближеному вирішенні задачі про розпад довільного розриву (линеаризованной задачі Рімана), і використовує при побудові рішень цього завдання тільки розриви. Цей метод точно описує співвідношення на одиночних розривах і швидкості їх переміщення, проте хвилі розрідження через це може перетворювати в нефі- зічяие ударні хвилі розрідження. Цей дефект був усунений в роботі [101]. Спочатку цей метод був побудований для рівнянь газової динаміки і згодом поширений на МГД-рівняння, рівняння мілкої води та ін. Метод [185] також заснований на наближеному вирішенні задачі про розпад довільного розриву, але використовує при побудові рішень цього завдання тільки хвилі стиснення і розрідження , тому в розрахунках ударні хвилі замінює ріманово хвилями стиснення. Він також має реалізації для рівнянь газової динаміки, МГД-рівнянь, рівнянь мілкої води.

Обмеження, які випливають з теореми Годунова, вдалося подолати переходом до нелінійним різницевим схемам. До таких нелінійним монотонним схемш відносяться гібридні схеми (схеми зі змінним порядком апроксимації - першим поблизу розривів і більш високим в області гладкого рішення - [115, 27, 81, 103] та ін.), Різні варіанти методу корекції потоків (по суті також гібридні схеми) - [152, 174, 70] та ін. і подальший їх розвиток - TVD схеми [164], різні «ква- зімонотонние » схеми [17, 25] та ін. На цьому шляху вдалося істотно підвищити реальну точність чисельних методів і дозволу розривів в численних рішеннях, спираючись на помічений ще Р.Н. Федоренко «експериментальний» факт, що полягає в тому, що в таких схемах ширина області розмазування розривів така ж, як в базових схемах високого порядку апроксимації (істотно менше, ніж у базових монотонних схемах першого порядку апроксимації), але при цьому відсутні нефізичні осциляції в рішеннях . Величезне число існуючих такого роду різницевих схем відрізняються вибором різних сіткових шаблонів, базових різницевих схем (монотонних першого порядку апроксимації поблизу розривів і немонотонність з високим порядком апроксимації в області гладкого рішення) і перемикачів між цими базовими схемами. Оригінальний підхід був запропонований в роботі [8], в ньому гарне дозвіл в розривних численних рішеннях досягається використанням двох (хоча можна використовувати і більше їх число) монотонних схем першого порядку апроксимації. Найбільш загальний підхід до побудови подібних схем з використанням лінійних просторів невизначених коефіцієнтів запропонований в [122, 121] і широко використовується для класифікації і аналізу монотонних по Фрідріхса і близьких до них найменш коливальних різницевих схем.

Хоча в разі розривних рішень говорити про схемах наскрізного рахунку з порядком апроксимації вище першого не цілком коректно (під цим розуміють, природно, порядок апроксимації схеми па рішеннях відповідної гладкості, а потім використовують їх для наскрізного рахунку негладких, в тому числі розривних рішень), спроби побудови таких схем шляхом комбінації (в залежності від поведінки шуканого чисельного рішення) двох або більше схем з порядком апроксимації у кожної з них вище першого виявилися цілком успішними [53, 6], і узагальнення цієї схеми а загальні системи гіперболічного типу 116] та ін., привели до створення різницевих схем високого дозволу (UNO-, ENO-, WENO- схем [165] та ін.). Опис численних прикладів побудови цих схем читач може знайти, наприклад, в оглядовій монографії [57], а найбільш загальний підхід до побудови цього класу схем з використанням аналізу різницевих схем в просторах сіткових функцій в [170, 132, 128, 133] і в ряді інших робіт.

Характеристичні властивості гіперболічних рівнянь зберігаються і в наслідках вихідних рівнянь, одержуваних дифференцированием вихідних рівнянь ( продовжених або розширених системах рівнянь): [158, 921 і ін. Такі продовжені системи використовуються в явній ([29] та ін.) Або неявній формі для побудови ефективних чисельних методів схем високого порядку апроксимації на нерас- Ширяєв сіткових шаблонах, в тому числі монотонних різницевих схем подібного типу ([132] та ін.). Іншим, більш поширеним прийомом для побудови схем високого порядку апроксимації без явного використання багатоточкових сіткових шаблонів (по аналогії з двоточковими методами Рунге-Кутта для систем звичайних диференціальних рівнянь), є методи типу предиктор-коректор (схеми другого порядку апроксимації [173, 175, 193 ] і ін., схеми третього порядку [191, 95, 194] та ін.), компактні різницеві схеми ([ІЗ] і ін.) і ряд інших підходів. Використання продовжених систем дозволяє також позбутися від виникає в ряді випадків немонотонності « чисельних похідних» в монотонних за рішенням різницевих схемах. Ще один підхід боротьби з зазначеним явищем немонотонності «чисельних похідних» в розривних рішеннях (а іноді і в гладких, але з різкою зміною похідних, рішеннях) запропонований, наприклад, в [77] ( «схеми з сильною монотонністю»).

Для багатовимірних рівнянь і систем гіперболічного типу найбільш активно використовуються підходи, пов'язані з розщепленням вихідного багатовимірного оператора на одномірні [98, 52, 28, 49, 691 та ін., Спочатку запропоновані для параболічних рівнянь [186, 160, 149].

Деякі підходи до побудови різницевих схем на неструктурованих сітках , які використовуються для вирішення завдань в складних, в тому числі багатозв'язних, областях інтегрування, на адаптуються до шуканого чисельному рішенню різницевих сітках , а також для побудови самих генераторів сіток читач може знайти в роботах [22, 142 , 127, 190, 184, 87, 10, 166, 178, 105, 18, 38] та ін. Слід зазначити, що в процесі еволюції уявлень про те, якими властивостями повинен володіти ефективний чисельний метод для рівнянь гіперболічного типу вже вдалося подолати оч ень багато труднощів і поєднати раніше здавалися погано сумісні одна з одною властивості (наприклад, явность різницевих схем і її абсолютна стійкість, високий порядок апроксимації і монотонність, консервативність різницевих схем, побудованих з використанням характеристичних властивостей рівнянь і ін.). Це дозволяє сподіватися, що процес вдосконалення чисельних методів розв'язання рівнянь і систем гіперболічного типу і надалі буде продовжений.

Поряд із зазначеними вище підходами є багато інших розробок, в яких гіперболічність систем рівнянь в явній формі не використовується, а присутні інші оригінальні підходи до чисельного вирішення таких рівнянь. Не маючи можливості зупинитися на них в цьому короткому огляді, наведемо в якості прикладів один з перших « бессеточная» методів - метод вільних точок [34], метод частинок в осередках [117], метод великих часток [141, 7], метод гладких частинок [179, 901, кінетичні узгоджені різницеві схеми 11351, бікомпактних схеми 1911 і ін.

У першому виданні монографії також були представлені результати досліджень з використанням розроблених авторами сеточіо-харак- тсрістіческіх методів в області надзвукового обтікання літальних апаратів, механіки деформованого твердого тіла і фізики плазми (глави 5-7 відповідно). За минулі роки ці наукові напрямки також отримали розвиток в роботах авторів монографії, їх колег та учнів. Можливість приведення вихідних гіперболічних систем рівнянь до еквівалентним системам для умов спільності уздовж характеристик (в тому числі в багатовимірному випадку уздовж біхарактерістік або ліній перетину характеристичних і координатних поверхонь) дозволяє істотно спростити перехід від побудови різницевих схем для скалярних рівнянь до гіперболічних систем зі збереженням відповідних властивостей в скалярних аналогах багатовимірних різницевих схем.

В області аерогазодинаміки літальних апаратів після першого видання досліджувалося надзвукове обтікання тіл, що деформуються | 75 |, надзвукове обтікання системи близько розташованих тел з урахуванням їх інтерференції [2], активно розвиваються зараз в роботах Ф.А. Максимова [67] та ін., Багатошарових течій стратифікованою по щільності нестисливої рідини в наближенні дрібної води 114,151 і ін. Деякі з результатів досліджень гінерзвукового обтікання затуплених тел сеточно-характеристичними методами увійшли в фундаментальну монографію (по суті енциклопедію гіперзвукових течій) [62].

У напрямку механіки деформівних твердих тіл слід зазначити роботи групи І.Б. Петрова з моделювання різноманітних динамічних задач з використанням сеточно-характеристичних методів, в тому числі високоточних версій па неструктурованих сітках, розроблених в [106, 104, 143, 114] та ін. Розглядалися 2D- і ЗБ-зіткнення тіл з багатошаровими деформуються перешкодами [78 , 80, 79] та ін., а також високошвидкісних зіткнень з урахуванням пружно-пластичних деформацій і різних моделей руйнування [40, 90] та ін .; впливу потужних потоків енергії на деформуються тіла 175] та ін .; проходження сейсмічних хвиль в різних, в тому числі тріщинуватих геологічних середовищах, а також їх і інших силових впливів на споруди і елементи складних конструкцій [47, 48, 139, 71, 140, 82, тисячі триста вісімдесят один і ін. Поряд з динамічними розглядалися стаціонарні навантаження різних конструкцій, в тому числі термопружних деформацій графена і аналогічних двовимірних матеріалів зі складною многосвязной областю інтегрування рівнянь Дюгамеля-Неймана [124].

У напрямку фізики плазми з використанням рівнянь магіі- тогазодінамікі розраховувалися: дво- і тривимірні задачі обтікання сонячним вітром магнітосфери Землі [130]; акустико-гравітаційні хвилі, що виникають в іоносфері від природних і антропогенних джерел збурень в приземному шарі атмосфери [55]. У розвиток роботи [30] по моделюванню експериментів типу «Морська зірка» досліджувалася еволюція в іоносфері на довгі часи високо енергетичних плазмових утворень і взаємодія декількох плазмових згустків [136, 116, 182, 181] та ін .; вхід і рух в атмосфері великих космічних тіл, включаючи взаємодію з поверхнею Землі і подальшу еволюцію генеруються плазмових утворень [125]; а також плазмових течій в дивертора токамаков [168].

Були отримані істотні результати в ряді інших наукових напрямків. Перш за все, це обчислювальні моделі деяких фізіологічних процесів в людському організмі. У офтальмохирургии проводилося моделювання іригаційне-аспіраційної техніки факоемульсифікації при екстракапсулярної екстракції катаракти [109, 129] і моделювання етапу руйнування кришталика в процесі ультразвукової та лазерної екстракції катаракти [12, 89]. Був вперше розроблений комплекс глобальних динамічних і квазістаціонарних моделей зовнішнього дихання і кровообігу з урахуванням їх зв'язності і перенесення речовин (в тому числі включає чотирикамерну модель серця) [119, 35] і проведено дослідження багатьох нормальних і патологічних процесів в дихально-кровоносній системі людини [151 , 177, 131, 107, 108, 155, 192, 159] та ін. Оскільки в медичних дослідженнях часто доводиться мати справу з великими обсягами сильно коливальних даних, перспективним напрямком є створення більш досконалої их, ніж традиційне середньоквадратичне наближення, методів апроксимації таблично заданих функцій. Як приклад можна привести підхід, заснований на доповнення умов середньоквадратичного наближення умовами безперервності на кордонах ділянок розбиття «довгих» таблиць і умовою мінімальності різниці найбільшого і найменшого значення функції на кожній ділянці розбиття [169].

Розроблено ряд мережевих обчислювальних моделей на основі нелінійних гіперболічних систем рівнянь на графах: інтенсивне вуличний рух автотранспорту в мегаполісах [73, 137, 85, 88] та ін .; руслових течії в великих річкових басейнах з використанням рівнянь мілкої води 174]; великі електроенергетичні мережі [72], інформаційні потоки в комп'ютерних і телекомунікаційних мережах [102] та ін., поширення домішок в великих вентиляційних мережах [86].

В рамках сеточно-характеристичного підходу також розроблений метод розв'язання обернених задач для нелінійних систем гіперболічного твань [1 |, що є обчислювальної версією управління рішеннями за допомогою граничних умов, активно досліджувалися раніше в рамках різних лінійних моделей [13, 93, 41, 43, 44, 42, 45] та ін.

Нижче наведено кілька прикладів розрахунку з використанням сеточно-характеристичних методів ряду завдань, що моделюються нелінійними системами гіперболічного типу (в тому числі па графах), а також 20-параболічними і еліптичними рівняннями зі складними (в тому числі багатозв'язними) областями інтегрування на неструктурованих хаотичних сітках ( рис. Н.1-п.З).

На рис. II. 1 представлені деякі результати розрахунку з використанням високоточної консервативної версії сеточно-характеристичного методу в рамках МГД рівнянь одним із завдань еволюції збурень в атмосфері і в іоносферній плазмі, викликаних рухом Челябінського метеороида по пологій траєкторії з імітацією його миттєвого руйнування [125]. Зліва показана спостерігалася в реальності світиться частина обуреної Челябинским болідом атмосфери з [4] (фото

А. Ахметвалеева). На правих панелях показані розраховані розподілу швидкості (верхня панель), питомої внутрішньої енергії (середня панель) і магнітного поля (нижня панель) в момент взаємодії з поверхнею Землі ударної хвилі, що відокремилася від швидко гальмуються залишків метеороида. Форма високотемпературної області (на середньої панелі) цілком порівнянна зі світиться областю на лівій частині малюнка.

Мал. 11.1

На рис. П.2 наведені результати чисельного моделювання переносу кисню в артеріальній системі людини з використанням 20-розподілу моделі кровообігу і конвективно-дифузійного переносу речовин кров'ю. Параметри несучої фази (нуля тисків і нуля швидкостей) визначалися на основі рівнянь потенційного течії нестисливої рідини в великих судинах і фільтрації в «пористої середовищі» (органи і тканини). Незважаючи на досить грубу двовимірну модель, характер перебігу відтворюється цілком адекватно реальності. Зокрема, час перенесення кисню від лівої легені (праве належало віддаленим) до мочки лівого вуха в розрахунках склало 4-4.5 з (при експериментальних його значеннях - 3.5 с) [35].

Приклад розрахунку динаміки концентрації кисню в організмі людини (3 подиху)

Мал. 11.2. Приклад розрахунку динаміки концентрації кисню в організмі людини (3 подиху)

На рис. П.З показані результати розрахунків сеточно-характеристичним методом з використанням розробленої в [73, 137] мережевий обчислювальної моделі добового автомобільного руху на одній з ділянок автотраси 1-80 в районі затоки Сан-Франциско (рис. П.З а). На рис. П.З 6 для однієї з ділянок автостради наведені регулярно оновлювані з датчиків дані потік-щільність в різні моменти часу доби, що передують моделювати діб (хрестики) і закладає в якості останнього розрахункову гідравлічну модель рівняння стану їх апроксимація (регулярно оновлювана фундаментальна діаграма крива). На рис. П.З в вгорі для цієї ж ділянки приведені в залежності від часу виміряні значення автомобільного потоку в моделюються добу (хрестики) і дані розрахунку (крива).

з

Мал. з

За минулі роки пішли з життя мої вчителі - видатні російські вчені: багаторічний ректор МФТІ і директор Інституту автоматизації проектування РАН академік О.М. Білоцерківський (керівник обох моїх дисертацій, відповідальний редактор першого видання монографії і співавтор багатьох спільних робіт), співавтор багатьох робіт але сеточно-характеристичним методам і першого (наукового) видання монографії, творець першого в Дагестані політехнічного інституту, керівник Дагестанського наукового центру РАН, директор Інституту геотермії РАН К.М. Магомедов (керівник моєї дипломної роботи в лабораторії ЦНДІ машинобудування, на щастя, досі живий професор В.В. Луньов - мій науковий «дідусь»). Всім, з ким пощастило працювати довгі роки, низький уклін і подяка. Автор вдячний також редакції видавництва і Поліні Сеі- чило за допомогу в оформленні книги.

А.С. Холодов, м Волоколамськ, серпень 2016 р

ЛІТЕРАТУРА

  • 1. / Алексєєнко А.Е., Холодов А.С., Холодов Я.А. Про завдання граничного управління для квазілінійних систем рівнянь гіперболічного типу // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 2016. Т. 56. № 6. С. 927-942.
  • 2. Андрєєв А.А., Холодов А.С. Про надзвуковому обтіканні затуплених тел з урахуванням інтерференції // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1989. Т. 29. № 1. С. 142- 147.
  • 3. Анучина М.М. Деякі різницеві схеми для гіперболічних систем // Тр. МІАН СРСР. 1966. №74. С. 5-15.
  • 4. Астрономічні і фізичні аспекти челябінського події 15 лютого 2013 г. / В.В. Ємельяненко, О.П. Попова, II.II. Чухрай, М.А. Шеляков, Ю.В. Пахомов, Б.М. Шустов, В.В. Шувалов, Е.Е. Бірюков, Ю.С. Рибні, М.Я. Маров, Л.В. Рихлова, С.Наренков, А.П. Карташова,

В.А. Харламов, І.А. Трубецкая // Астрономічний вісник. 2013. Т. 47. №4. С. 116.

  • 5. Бабенко К.І., Воскресенський Г.Л. Чисельний метод розрахунку просторового обтікання тіл надзвуковим потоком газу // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1961. Т. 1. № 6. С. 1051- 1060.
  • 6. Білоцерківський О.М., Гущин В.А., Коньшин В.І. Метод розщеплення для дослідження течій стратифікованою рідини з вільною поверхнею // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1987. Т. 27. № 4. С. 594-609.
  • 7. Білоцерківський О.М., Давидов Ю.М. Метод великих часток в газовій динаміці. М .: Наука, 1982.
  • 8. Білоцерківський ОМ., Панарін А.І., Щенніков В.В. Метод параметричної корекції різницевих схем // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1984. Т. 24. № 1. С. 65-74.
  • 9. Білоцерківський ОМ., Севері- новий Л.І. Консервативний метод «потоків» і розрахунок обтікання тіла кінцевих розмірів вузькому теплопровідність газом // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1973. Т. 13. № 2. С. 385-397.
  • 10. Білоцерківський ОМ., Холодов А.С. Про мажорантності схемах на неструк- турірованіих (хаотичних) сітках в просторі невизначених коефіцієнтів // Журн. вирахував. матем. і матем. фізики. 1999. Т. 9. №11. С. 1802-1820.
  • 11. Борисов В.М., Михайлов І.Є. Розрахунок екстремальної форми надзвуковий частини просторового сопла. М .: ВЦ АН СРСР, 1982.
  • 12. Бубнов А.В., Коротин П.М., Холодова О. А. Математичне моделювання ультразвукових коливань Факоемульсифікатори в середовищі кришталика // Інформатика та медицина. М .: Наука, 1997..

С. 144-155.

  • 13. Батьківський Л.Г. Теорія оптимального управління системами з розподіленими параметрами. М .: Наука, 1965.
  • 14. Ведерников Л.Б., Холодов А.С. Чисельне дослідження двох і тришарової рідини в наближенні дрібної води // Мат. моделювання. 1990. Т. 2. №6. С. 9-18.
  • 15. Ведерников А.Б., Холодов А.С. Чисельне моделювання деяких зв'язкових завдань гідро-газодинаміки // Мат. моделювання. 1993. Т. 5. № 10. С.57-66.
  • 1 6. Воробйов О.В., Холодов Я.А. Про один метод чисельного інтегрування одновимірних задач газової динаміки // Мат. моделювання. 1996. Т. 8. № 1. С. 77-92.
  • 17. Вязников К.В., Тішкін В.Ф., Фаворський А.П. Побудова монотонних різницевих схем підвищеного порядку апроксимації для систем рівнянь гіперболічного типу // Мат. моделювання. 1989. Т. 1. № 5. С. 95-120.
  • 18. Гаранжа В.А. Бар'єрний метод побудови квазіізометрічних сіток // Журн. вирахував. математики і мат. Фізики. 2000. Т. 40. № 11. С. 1685-1705.
  • 19. Годунов С.К. Різницевий метод чисельного розрахунку розривних рішень рівнянь гідродинаміки // Мат. збірник. 1959. Т. 47 (89). Вип. 3. С. 271-306.
  • 20. Годунов С.К. Рівняння математичної фізики. М .: Наука, 1971.
  • 21 .Годунов С.К., Забродін А.В., Прокопов Г.П. Різницева схема для двовимірних нестаціонарних задач газової динаміки і розрахунок обтікання з відійшла ударною хвилею // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1961. Т. 1. № 6. С. 1020-1050.
  • 22. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Про розрахунки конформних відображень і побудові сіток // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1967. Т. 7. №5. С. 1031-1060.
  • 23. Годунов С.К., Роменський Є.І. Елементи механіки суцільних середовищ і закони збереження. М .: Наукова книга, 1998..
  • 24. Годунов С.К., Рябенький В.С. Введення в теорію різницевих схем. М .: Павука, 1962.
  • 2 '. Головізнін В.М., Карабасов С.А. Нелінійна корекція схеми Кабаре // Мат. моделювання. 1998. Т. 10. № 12. С. 107-123.
  • 26. Головізнін ВМ.у Самарський А.А., Фаворський А.П. Варіаційний підхід до побудови конечноразностного математичних моделей в гідродинаміки // Докл. АП СРСР. 1977. Т. 235. № 6. С. 1285- 1288.
  • 27. Гольдін В.Я., Каліткін М.М., Шишова Т. В. Нелінійні різницеві схеми для гіперболічних рівнянь // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1965. Т. 5. № 5. С. 938-944.
  • 28. Гордезіані Д.Г., Меладзе Г.В. Про моделювання третьої крайової задачі для багатовимірних параболічних рівнянь в довільній області одновимірними рівняннями // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1974. Т. 14. № 1.С. 246-250.
  • 29. Грудницький В.Г., Прохорчук Ю.А. Один прийом побудови різницевих схем з довільним порядком апроксимації диференціальних рівнянь в приватних похідних // Докл. АН СРСР. 1977. Т. 234. № 6. С. 1249-1252.
  • 30. Гуськов К.Г., Райзер К) .II., Суржиков С.Т. Тривимірна обчислювальна МГД-модель розльоту плазми в неоднорідному іонізованої середовищі з магнітним полем. Мат. моделювання. Т. 4. № 7. С. 49-66.
  • 31. Дородніцин АЛ. Про один метод чисельного рішення деяких нелінійних задач аерогідродинаміки // Праці III Всесоюзного математичного з'їзду 1956. Т. III. М .: АН СРСР, 1958.
  • 32 . Дьяконов Є.Г. Різницеві схеми з розщеплюється оператором для багатовимірних нестаціонарних задач // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1962. Т. 2. № 4. С. 549-568.
  • 33. Дьяченко В.Ф. Про чисельному рахунку розривних розв'язків квазілінійних систем // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1961. Т. 1. № 6. С. 1127-1129.
  • 34 . Дьяченко В.Ф. Про один новий метод чисельного рішення нестаціонарних задач газової динаміки з двома просторовими змінними // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1965. Т. 5. № 4. С. 680-688.
  • 35. Євдокимов А.В., Холодов А.С. Ква- зістаціонарная просторово розподілена модель замкнутого кровообігу організму людини // Комп'ютерні моделі і прогрес медицини / За ред. О.М. Білоцерківського, А. С. Холодова. М .: Наука, 2001..
  • 36. Єрьомін В.В., Липницький Ю.М. Про побудову багатовимірних різницевих схем третього порядку точності // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1974. Т. 14. № 2. С. 379-389.
  • 37. Жуков О.І. Застосування методу характеристик до чисельного вирішення одновимірних задач газової динаміки // Тр. МІАН СРСР. 1960. №58. С. 4-149.
  • 38. Журнал вирахував. математики і мат. фізики, 2003. Т. 43. № 6.
  • 39 .Запрянов Е.Ф., міносці В.В. Метод розрахунку просторового обтікання тіл надзвуковим потоком газу // Изв. АН СРСР. Механіка і машинобудування. 1965. №5. С. 20-24.
  • 40. Іванов ВД., Петров І.Б., Суворова Ю.В. Чисельне рішення двовимірних динамічних задач спадкової теорії в'язкопружності // Механіка композитних матеріалів. 1989. № 3. С. 419-424.
  • 41. Ільїн В.А. Хвильове рівняння з граничним управлінням на двох кінцях за довільний проміжок часу // Диференціальні рівняння. 1999. Т. 35. № 11. С. 1517-1534.
  • 42. Ільїн В.А. Хвильове рівняння з граничним управлінням на одному кінці при закріпленому другому кінці // Диференціальні рівняння. 1999. Т. 35. № 12. С. 1640-1659.
  • 43. Ільїн В.А. Граничне управління процесом коливань на двох кінцях // Докл. РАН. 1999. Т. 369. № 5. С. 592-596.
  • 44. Ільїн В.А. Граничне управління процесом коливань на одному кінці при закріпленому другому кінці // Докл. РАН. 1999. Т. 369. № 6. С. 732-735.
  • 45. Ільїн В.А., Моісеєв Є.І. Граничне управління радіально-симетричними коливаннями круглої мембрани // Докл. РАН. 2003. Т. 393. № 6. С. 730-734.
  • 46. Кацкова О.Н., Чушкін П.І. Тривимірне надзвукове рівноважний протягом газу близько тіл під кутом атаки // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1965. Т. 5. №3. С. 503-518.
  • 47. Квасов І.Є., Панкратов С.А., Петров І.Б. Чисельне моделювання сейсмічних відгуків в багатошарових геологічних середовищах сеточно-характеристичним методом // Мат. моделювання. 2010. Т. 22. № 9. С. 13-22.
  • 48. Квасов І.Є., Петров І.Б. Чисельне дослідження анізотропії хвильових відгуків від трещиноватого пласта сеточно-характеристичним методом // Мат. моделювання. 2011. Т. 23. № 10. С. 97-106.
  • 49. Ковеня В.М., Яненко П.І. Методи розщеплення в задачах газової динаміки. Новосибірськ: Наука, 1981.
  • 50. Колган В.П. Застосування принципу мінімальних значень похідних до побудови кінцево-різницевих схем для розрахунку розривних рішень газової динаміки // Вчені записки ЦАГІ. 1972. Т. 3. № 6. С. 68-77.
  • 51. Коновалов А.Н. Метод дрібних кроків розв'язування задачі Коші для багатовимірного рівняння коливань // Докл. АН СРСР. 1962. Т. 147. С. 25-27.
  • 52. Коновалов А.П. Застосування методу розщеплення до чисельного вирішення динамічних задач теорії пружності // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1964. Т. 4. № 4. С. 760-764.
  • 53. Кониіін В.Н. Чисельне моделювання хвильових рухів рідини: дис .... канд. фіз.-мат. наук. М .: МФТІ, 1985.
  • 54. Кот К.А. Потужні підводні вибухи // Підводні і підземні вибухи. М .: Світ, 1974. С. 9-43.
  • 55. Крисанов Б.Ю., Куніцин В.Є., Холодов А.С. Моделювання МГД-рівняннями іоносферних збурень, що генеруються в приземному шарі атмосфери // Журн.

вирахував. математики і мат. фізики. 2011. Т. 51. №2. С. 282-302.

  • 56. Кукуджанов В.Н. Чисельне рішення неодномерность завдань поширення хвиль напружень у твердих тілах // М .: ВЦ АП СРСР, 1976. Вип. 6. С. 11-37.
  • 57. Куликівський А.Г., Погоріле Н.В., Семенов А.Ю. Математичні питання чисельного рішення гіперболічних систем рівнянь. М .: Наука, 2001..
  • 58. Куликівський А.Г., Свєшнікова Є.І. Нелінійні хвилі в пружних середовищах. М .: Московський ліцей, 1998..
  • 59. Курант Р. Рівняння з приватними похідними. М .: Мир, 1964.
  • 60. Куропатенка В.Ф. Метод побудови різницевих схем для інтегрування рівнянь гідродинаміки // Изв. вищ. навч. закладів. Математика. 1962. № 3 (28). С. 75-83.
  • 61. Ландау Л.Д., Мейман І.М., Халатников ІМ. Чисельні методи інтегрування рівняння в приватних похідних методом сіток // Тр. III Всесоюз. мат. з'їзду. 1958. Т. 3. С. 92-100.
  • 62. Луньов В.В. Перебіг реальних газів з великими швидкостями. М .: фіз- матла, 2007.
  • 63. Любимов О.Н ., Русанов В.В. Течії газу близько тупих тел. У 2 ч. М .: Павука, 1970.
  • 64. Магомедов К.М. Метод характеристик для чисельного розрахунку просторових течій газу // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1966. Т. 6. № 2. С. 313- 325.
  • 6 5. Магомедов К.М., Холодов А.С. Про побудову різницевих схем для рівнянь гіперболічного типу на основі характеристичних співвідношень // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1969. Т. 9. № 2. С. 383-396.
  • 66. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристичні чисельні методи. М .: Наука, 1988.
  • 67. Максимов Ф.А. Надзвукове обтікання системи тел // Комп'ютерні дослідження і моделювання. 2013. Т. 5. № 6. С. 969- 980.
  • 68. Марчук Г.П. Методи обчислювальної математики. М .: Наука, 1977.
  • 69. Марчук Г.І. Методи розщеплення. М .: Наука, 1989.
  • 70. Мінайлос А.Н. Про значення монотонності кінцево-різницевих схем в методах наскрізного рахунку // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1977. Т. 17. № 4. С. 1058-1063.
  • 71. Моделювання впливу головний ударної хвилі Челябінського метеорита на поверхню Землі / А.В. Летамін, Л.Д. Дашкевич, І.Б. Петров, М. Н. Петров, С.В. Утюжніков, Н.І. Хохлов // Мат. моделювання. 2016. Т. 28. № 8. С. 33-45.
  • 72. Моделювання глобальних енергетичних мереж / А. К. Бордо- ніс, Я.А. Холодов, А.С. Холодов, І.І. Морозов // Мат. моделювання. 2009. Т. 21. № 6. С. 3-16.
  • 73. Моделювання транспортних потоків - актуальні проблеми та перспективи їх вирішення / Л.С. Холодов, Я.Л. Холодов,

A. В. Гасніков, І.І. Морозов,

B. Н. Тарасов // Праці МФТІ. 2010. Т. 2. №4. С. 152-162.

74.0 чисельному моделюванні деяких завдань взаємодії літосфери, гідросфери та атмосфери Землі / О.М. Білоцерківський, М.О. Васильєв,

А.Б. Ведерников, В.П. Димні- ков, Б.В. Замишляєв, Б.Ю. Кри- санів, II.В. Ковшов, В.Є. Куніцин, Е.А. Молоков, АЛО. Ренін, Н.А. Сидоренкова, Е.Л. Стуніц- кий, Я.А. Холодов, А.С. Холодов //

Фрагменти історії та досягнення ІАП РАН. 1986-2011. М .: Політ Джонатана, 2011. С. 14-71.

75. Про чисельному рішенні пов'язаних завдань надзвукового обтікання деформованих оболонок кінцевої товщини / П.М. Коро- тин, І.Б. Петров, В.Б. Пирогов,

О.А. Пиркова, А.С. Холодов // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1988. Т. 27. № 8. С. 1233- +1243.

76. Операційні різницеві схеми /

А.А. Самарський, В.Ф. Тішкін,

А.П. Фаворський, М.Ю. Шашков // Д іфферен ци ал ь н и е у равн е і і я. 1981. Т. 17. №7. С. 1317-1321.

  • 77. Остапенко В.В. Про сильну монотонності нелінійних різницевих схем // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1998. Т. 38. №7. С. 1170-1185.
  • 78. Петров І.В., Тормасов А.Г. Про чисельному рішенні пространственн- цих завдань зіткнення // Мат. моделювання. 1990. Т. 2. № 2.

С. 58-72.

  • 79. Петров І.В., Тормасов А.Г. Чисельне дослідження косого зіткнення жорсткого кульки з двошаровою уіругонластіческой плитою // Мат. моделювання. 1992. Т. 4. № 3. С. 20-27.
  • 80. Петров П.Б., Тормасов А.Г., Холодов А.С. Про використання гібридизувати сеточно-характеристичних схем для чисельного розв'язання тривимірних задач динаміки деформованого твердого тіла // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1990. Т. 30. № 8. С.1237-1244.
  • 81. Петров П.В., Холодов А.С. Про регуляризації розривних чисельних рішень рівнянь гіперболічного типу // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1984. Т. 24. № 8. С. 1172-1188.
  • 82. Петров І.Б., Челноков Ф.Б. , Чібрі- ков В.В. Чисельне дослідження хвильових процесів в перфорованих деформуються середовищах // Мат. моделювання. 2003. Т. 15. № 10. С. 89-94.
  • 83. Петровський І.Г. Лекції про рівняннях з приватними похідними. М .: Наука, 1961.
  • 84. Попов Ю.П., Самарський АЛ. Повністю консервативні різницеві схеми // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1969. Т. 9. № 4. С. 953-958.
  • 85. Побудова математичної моделі дорожнього перехрестя на основі гідродинамічного підходу / А.С. Холодов, Я.А. Холодов, А.Е. Алексєєнко, М.О. Васильєв // Комп'ютерні дослідження і моделювання. 2014. Т. 6. №4. С. 503-522.
  • 86. Побудова математичної моделі поширення домішок у вентиляційних мережах / Я.А. Холодов, М.О. Васильєв,

A. С. Холодов, І.В. Цибулін // Мат. моделювання. 2016. Т. 28. № 8. С. 65-81.

87. Різницеві схеми на нерегулярних сітках / А.А. Самарський, Ю.А. Колдоба, В.Ф. Повещенко,

B. Ф. Тішкін, А.П. Фаворський. Мінськ: Критерій, 1996..

88. Розробка, калібрування і верифікація моделі руху трафіку в міських умовах. Частина I. Комп'ютерні дослідження і моделювання / А.Є. Алексєєнко, Я.А. Холодов, А.С. Холодов, А.І. Горєва, М.О. Васильєв, Ю.В. Чехович, В.Д. Мішин,

В.М. Старожілец // Комп'ютерні дослідження і моделювання. 2015. Т. 7. № 6. С. 1185-1203.

  • 89. Розрахунок динамічних процесів в оці при лазерної екстракції катаракти / М.М. Балановський, А.В. Бубнов, А.С. Обухів, І.Б. Петров // Мат. моделювання. 2003. Т. 15. № 11. С. 37-44.
  • 90. Розрахунок динамічного деформування і руйнування пружно тел сеточно-характеристичними методами / В.Д. Іванов,

В.І. Кондауров, І.Б. Петров, О.С. Холодов // Мат. моделювання. 1990. Т. 2. № І. С. 10-29.

  • 91. Рогов Б.В. Високоточна монотонна компактна схема біжить рахунку для багатовимірних рівнянь гіперболічного типу // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 2013. Т. 53. № 2. С. 264- 274.
  • 92. Різдвяний Б.Л., Япенко М.М. Системи квазілінійних рівнянь та їх застосування до газової динаміці. М .: Наука, 1968.
  • 93. Романов В. Г. Зворотні задачі для диференціальних рівнянь. Новосибірськ: ярмо, 1973.
  • 94. Русанов В.В. Метод характеристик для просторових течій газу // Теоретична гідромеханіка. № 11. Вип. 3. М .: Оборонгиз, 1953. С. 71-78.
  • 95. Русанов В.В. Різницеві схеми третього порядку точності для наскрізного рахунку розривних рішень // Докл. АП СРСР. 1968. Т. 180. №6. С. 1303-1305.
  • 96. Рябенький В.С., Філіппов А. Ф. Про стійкість різницевих схем. М .: Гостехиздат, 1956.
  • 97. Самарський А.А. Введення в теорію різницевих схем. М .: Наука, 1971.
  • 98. Самарський А.А. Локально-одномірні різницеві схеми для багатовимірних рівнянь гіперболічного типу в довільній області // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1964. Т. 4. № 2. С. 638-643.
  • 99. Самарський А.А., Арсенін В.Я. Про чисельному рішенні рівнянні газодинаміки з різними типами в'язкості // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1961. Т. 1. № 2. С. 357-360.
  • 100. Самарський АЛ., Вабіщевич, П.Н. Адитивні схеми для задач математичної фізики. М .: Наука, 2001..
  • 101. Сафронов А.В. Спосіб стабілізації сеточно-характеристичних схем для рівнянь газодинаміки // Обчислювальні методи і програмування. 2007. Т. 8. № 1.С. 6-9.
  • 102. Северів Д.С., Холодов А.С., Холодов ЯЛ. Порівняння пакетної і потокової моделей IP-мереж // Мат. моделювання. 2011. Т. 23. № 12. С. 105-116.
  • 103. Семенов А.Ю. Метод побудови гібридних різницевих схем для гіперболічних систем // Доповіді АН СРСР. 1984. Т. 279. № 1. С. 34-37.
  • 104. сіткових-характеристичний метод на неструктурованих тетраедральних сітках / М.В. Муратов, І.В. Петров, А.В. Санніков, А.В. Фаворська // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 2014. Т. 54. №5. С. 821-832.
  • 105. сіткових-характеристичний метод розрахунку динамічного деформування на нерегулярних сітках / В.Д. Іванов, І.Б. Петров, А.Г. Тормасов, А.С. Холодов, Р.А. Пашутін // Мат. моделювання. 1999. Т. 11. №7. С. 118-127.
  • 106. сіткових-характеристичний метод з використанням інтерполяції високих порядків на тетраедральних ієрархічних сітках з кратним кроком по часу / І.Б. Петров, А.В. Фаворська, А.В. Санніков, І.Є. Квасов // Мат. моделювання. 2013. Т. 25. № 2.

С. 42-52.

107. Симаков С.С., Євдокимов А.В., Холодов А.С. Методи розрахунку глобального кровотоку в організмі людини з використання гетеро ге інших ви ч і з л і тел ьн и х моделей // Медицина в дзеркалі інформатики / За ред.

О.М. Білоцерківського, А.С. Холодова. М .: Наука. 2008. С. 76-110.

  • 108. Симаков С.С., Холодов А.С. Чисельне дослідження вмісту кисню в крові людини при низькочастотних впливах // Мат. моделювання. 2008. Т. 20. №4. С. 87-102.
  • 109. Спосіб екстракапсулярної екстракції катаракти / С.М. Федоров, А.С. Холодов, Е.В. Єгорова, О.В. Бубнов, Т.Є. Марченкова. Авторське свідоцтво на винахід № 1454455 від 1.10.88.

ПО. Тихонов А.Н., Самарський АЛ. Про розривних рішеннях квазілінійних рівнянь першого порядку // Докл. АН СРСР. 1959. Т. 124. № 3. С. 529-532.

  • 111. Тихонов А. II., Самарський АЛ. Про однорідних різницевих схемах // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 1961. Т. 1. № 1. С. 5-63.
  • 112. Тихонов А.Н., Самарський АЛ. Рівняння математичної фізики. М .: Наука, 1966.
  • 113. Толстих А.І. Компактні різницеві схеми та їх застосування в задачах аерогідродинаміки. М .: Наука, 1990..
  • 114. Фаворська А.В., Петров І.В. Дослідження сеточно-характеристичних методів підвищених порядків точності на неструктурованих сітках // Сиб. журн. вирахував. математики. 2016. Т. 19. № 2. С. 223- 233.
  • 115. Федоренко Р.П. Застосування різницевих схем високої точності для чисельного рішення гіперболічних рівнянь // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1962. Т. 2. № 6. С. 1122- тисяча сто двадцять вісім.
  • 116. Формування великомасштабного струменевої течії в результаті розвитку жолобкової нестійкості / Е.Л. Стуііцкій, М.О. Васильєв, А.Ю. Рєпін, А.С. Холодов, Я.А. Холодов // Мат. моделювання. 2006. Т. 18. № 1. С. 17-28.
  • 117. Харлоу Ф.Х. Чисельний метод частинок в осередках для задач гідродинаміки // Обчислювальні методи в гідродинаміці. М .: Мир, 1967.
  • 118. Холодов А.С. Монотонні різницеві схеми на нерегулярних сітках для еліптичних рівнянь в області з багатьма незв'язними межами // Мат. моделювання. 1991. Т. 3. № 9.

С. 104-113.

119. Холодов А.С. Деякі динамічні моделі зовнішнього дихання і кровообігу з урахуванням їх зв'язності і перенесення речовин // Комп'ютерні моделі і прогрес медицини / За ред. О.М. Білоцерківського, А.С. Холодова. М .: Наука, 2001..

С. 127-163.

  • 120. Холодов А.С. Про мажорантності різницевих схемах для рівнянь параболічного типу на неструктурованих сітках // Мат. моделювання. М .: Наука, 1993. С. 104-113.
  • 121. Холодов А.С. Про побудову різницевих схем підвищеного порядку точності для рівнянь гіперболічного типу // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1980. Т. 20. № 6.

С. 1601-1620.

  • 122. Холодов А.С. Про побудову різницевих схем з позитивною аппроксимацией для рівнянь гіперболічного типу // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1978. Т. 18. № 6. С. 1476-1492.
  • 123. Холодов А.С. Про побудову різницевих схем з позитивною аппроксимацией для рівнянь параболічного типу // Журі, вирахував. математики і мат. фізики. 1984. Т. 24. № 9. С. 1346- +1358.
  • 124. Холодов А.С. Про термопружних деформаціях графена і аналогічних двовимірних матеріалів // Мат. моделювання. 2016. Т. 28. №2. С. 40-52.
  • 125. Холодов А.С. Про еволюцію збурень, викликаних рухом метеороідов в атмосфері Землі // Комп'ютерні дослідження і моделювання. 2013. Т. 5. № 6. С. 993-1030.
  • 126. Холодов А.С. Різницеві схеми з позитивною аппроксимацией для багатовимірних систем рівнянь гіперболічного типу на нерегулярних сітках // Раціональне чисельне моделювання в нелінійної механіки. М .: Наука, 1990. С. 49-62.
  • 127. Холодов А.С. Сеточно-характеристичні чисельні методи для багатовимірних задач механіки суцільних середовищ // Питання кібернетики. М .: НСК АН СРСР, 1987. Вип. 15. С. 140-163.
  • 128. Холодов А.С. Чисельні методи рішення рівнянь і систем гіперболічного типу // Енциклопедія низькотемпературної плазми (серія «Б»). Т. VII-1. Ч. 2. М .: ЯНУС-К, 2009. С. 141-174.
  • 129. Холодов А.С., Бубнов А.В., Марченкова Т.Є. Математичне мо ірованіс іррігаціонно- аспіраційної техніки факое- мульсіфікаціі // Офтальмохірургії. 1991. № 1. С. 11-15.
  • 130. Холодов Л.С., Васильєв М.О., Молоков ЕЛ. Обчислювальні моделі верхньої атмосфери Землі і деякі їх застосування // Известия РАН, серія «Фізика атмосфери та океану». 2010. Т. 46. №6. С. 1-21.
  • 131. Холодов Л.С., Симаков С.С. Чисельний аналіз впливу акустичних збурень на функцію легенів і гемодинаміку малого кола кровообігу // Медицина в дзеркалі інформатики / За ред. О.М. Білоцерківського, А.С. Холодова. М .: Наука, 2008. С. 45-75.
  • 132. Холодов Л.С., Холодов Я.А. Про критерії монотонності різницевих схем для рівнянь гіперболічного типу // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 2006. Т. 46. №9. С. 1638-1667.
  • 133. Холодов Я.А. Уткін II.С. Холодов А.С. Монотонні різницеві схеми високого порядку апроксимації для гіперболічних систем рівнянь. М .: МФТІ, 2014.
  • 134. Чарахчьян А.А. Про алгоритми розпаду розриву для схеми С.К.Годунова // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 2000. Т. 40. № 5. С. 782-796.
  • 135. Четверушкін Б.Н. Кінетично узгоджені різницеві схеми для задач газової динаміки. М .: Наука, 1998..
  • 136. Чисельне дослідження поведінки високоенергетичних плазмового згустку у верхній іоносфері. Частина 2. Розробка тривимірної моделі / А.С. Холодов, Я.А. Холодов, Е.Л. тупіц- кий, АЛО. Рєпін // Мат. моделювання. 2004. Т. 16. № 8.

С. 3-23.

  • 137. Чисельне дослідження транспортних потоків на основі гідродинамічних моделей / А.С. Холодов, І.І. Морозов, А.В. Гасніков, В.II. Тарасов, Я.А. Холодов // Комп'ютерні дослідження і моделювання. 2011. Т. 3. №4. С. 389-412.
  • 138. Чисельне моделювання за допомогою сеточно-характеристичного методу руйнування композиційних матеріалів / К.А. Беклемишева, А.В. Васюков, А.С. Єрмаков, І.Б. Петров // Мат. моделювання. 2016. Т. 28. № 2. С. 97-110.
  • 139. Чисельне моделювання сеточно-характеристичним методом впливу землетрусів на спорудження /

A. В. Фаворська, І.Б. Петров,

B. І. Голубєв, II.І. Хохлов // Мат. моделювання. 2015. Т. 27. № 12. С. 109-120.

140. Чисельне моделювання сеточно-характеристичним методом впливу землетрусів на спорудження /

A. В. Фаворська, І.Б. Петров,

B. І. Голубєв, II.І. Хохлов // Мат. моделювання. 2015. Т. 27. № 12. С. 109-120.

  • 141. Чисельне рішення деяких завдань газової динаміки / О.М. Білоцерківський, Ф.Д. Заново, А.І. Толстих, В.Н. Фомін, А.С. Холодов // Журн. вирахував. математики і мат. Фізики. 1970. Т. 10. №2. С. 401-416.
  • 142. Чисельні рішення багатовимірних задач газової динаміки /

C. К. Годунов, А.В. Забродін, М.Я. Іванов, О.М. Край до і ін. М .: Наука, 1976.

  • 143. Чисельний розрахунок хвильових процесів в тріщинуватих середовищах на гексаедральних сітках сеточно-характеристичним методом / В.І. Голубєв, І.Б. Петров, І.І. Хохлов, К.І. Шульц // Журн. вирахував. математики і мат. фізики. 2015. Т. 55. №3. С. 512-522.
  • 144. Чудов Л.А. 11екоторие застосування різницевих методів в механіці рідин і газу: дис. ... док. фіз.-мат. наук. М .: Інститут проблем механіки АП СРСР, 1967.
  • 145. Чушкін П.І. Затуплені тіла простої форми в надзвуковому потоці газу // Прикладна математика і механіка. 1960. Т. XXIV. Вип. 5.
  • 146. Чушкін П.І. Метод характеристик для просторових надзвукових течій. М .: ВЦ АН СРСР, 1968.
  • 147. Шевельов ЮД. Просторові задачі обчислювальної аерогідродинаміки. М .: Павука, 1986.
  • 148. Шокін Ю.І., Яненко II.II. Метод диференціального наближення. Застосування до газової динаміці. Новосибірськ: Наука, 1985.
  • 149. Яненко II.II. Про один метод рахунку багатовимірного рівняння теплопровідності // Докл. АН СРСР. 1959. Т. 125. С. 1207- 1210.
  • 150. Яненко М.М., Шокін Ю.І. Про групової класифікації різницевих схем для рівнянь газової динаміки // Тр. МІАН СРСР. 1973. № 122. С. 85-97.
  • 151. 2D Computational Model of Blood Circulation in Organs Couped ith the Net Model of Large Vessels / DI Isaikin, AV Evdokimov, AS Kholodov, SS Simakov // Proceedings of the 2005 Summer Bioengineering Conference. 2005. P. 59-60.
  • 152. Boris IP , Book DL Flux- Corrected Transport. I. SHASTA a Fluid Transport Algorithm that Works // Journal of Computational Physics. 1973. Vol. 11. № 1. P. 38-69. ^
  • 153. Butler DS The Numerical Solution of Hyperbolic Systems of Partial Differential Equations in Three Independent Variables // Proceeding of the Royal Society. 1960. Vol. 255. № 1281. P. 232- 241.
  • 154. Cobum N., Dolph CL The Method of Characteristics in the Three Dimensional Stationary Supersonic Flow of a Compressible Gas // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. 1949. Vol. 1. №. 2. P. 107-119.
  • 155. Computational Model of Blood Flow Optimization in Lower Extremities during Intensive Exercise / AS Kholodov, SS Simakov, YN Soe, TM Gamilov // Proc. Int. Conf. "Instabilities and Control of Excitable Networks: From Macro- to Nano-Systems". 2012. P. 77-82.
  • 156. Courant R., Ftiedrichs K., Lewy H. Uber Die Partiellen Differenzen- gleichungen Der Mathematischen Physik // Math. Annalen. 1928. Vol. 100, H Vi S. 32-74.
  • 157. Courant R., Isacson E., Rees M. On the Solutions of Nonlinear Hyperbolic Differential Equations by Finite Differences // Commun. Pure and Appl. Math. 1952. Vol. 5. № 5. P. 243-254.
  • 158. Courant R., Lax P. On Nonlinear Partial Differential Equations with Two Independent Variables // Commun. Pure and Appl. Math. 1949. Vol. 2. № 2-3. P. 255-273.
  • 159. Dobroserdova T, Olshanskii M, Simakov S. Multiscale Coupling of Compliant and Rigid Walls Blood Flow Models // International Journal for Numerical Methods in Fluids. Numerical Analysis and Scientific Computing Preprint Seria. Preprint № 46. 2016.
  • 160. Douglas J., Rachford II.II. On the Numerical Solutions of Heat Conduction Problems in Two and Three Space Variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 82. № 2. P. 421-439.
  • 161. Ferry A. The Method of Characteristics in General Theory of High Speed Aerodynamics. / Ed. WR Sear. Princeton, 1954. Vol. 6. P. 583-669.
  • 162. Friedrichs KO Symmetric Hyperbolic Linear Differential Equations // Comm. Pure Appl. Math. 1954. № 2. P. 345-392.
  • 163. Hamming RW Numerical Methods for Scientists and Engineers. NY: McGraw-Hill, 1962. (PyC. Nep .: Хемміпе PB Чисельні методи для науковців і інженерів. М .: Павука, 1972.)
  • 164. Ilarten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation laws // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 49. № 3. P. 357-393.
  • 165. Harten A., Osher S. Uniformly High-order Accurate Nonoscilla- tory Schemes. 1 // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1987. Vol. 24. № 2. P. 279-309.
  • 166. IvanenkoS.A. Chapters. Harmonic Mappings // Handbook of Grid Generation / Ed. by JF Thomson, BK Soni, NP Weatherill. Boca Raton: London: New York: Washington: CRC Press, 1999..
  • 167. KellerП.В., WendwffB. On the Formulation and Analysis of Numerical Methods for Time Dependent Transport Equations // Commun. Pure and Appl. Math. 1957. Vol. 10. № 4. P. 567-582.
  • 168. Kholodov /1.5., Batischeva AA, Batischev OV Unstructured

Adaptive Grid and Grid-free Methods for the Edge Plasma Fluid Simulations // Journal Plasma Physics. 1999. Vol. 61. №5. P.701-722.

  • 169. Kholodov AS, Ishchenko RV, Yansyz IN About the Approximation for Highly Oscillating Big Data find Certain Computational Models for Medicine // IV Міждисциплінарний конгрес по захворюваннях голови і шиї. Друга міжнародна конференція «Інноваційні методи та технології для медичних програм». М., 2016. С. 56.
  • 170. Kholodov А.5. A Monotone High- order Accuracy Schemes for Hyperbolic CFD Problems // APS 53 nl Meeting of the Division of Fluid Dynamics. Washington, 2000..
  • 171. Lax PD Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves // Conf. Board Math. Sci. Regional Conference Series in Applied Mathematics. 1972. Vol.
  • 11.
  • 172. Lax PD Week solutions Nonlinear Hyperbolic Equations and their Numerical Computations // Journal Commun. Pure and Appl. Math. 1954. Vol. 7. № 1. P. 159- 193.
  • 173. Lax PD, Wendroff B. System of Conservation Laws // Journal Commun. Pure and Appl. Math. 1960. Vol. 13. № 2. P. 217-237.
  • 174. Leer B. van Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. II. Monotonicity and Conservation Combined in a Second-Order Scheme // Journal Comput. Physics. 1974. Vol. 14. № 4. P. 361-370.
  • 175. MacCormak RAV. The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact

Cratering // 4 th Aerodynamic Testing Conference. 1969. P. 69-354.

  • 176. MassauJ. Memoire sur ^ integration graphique des equations aux derivees partielles, F. Mayer-van Loo. Ghent, 1899.
  • 177. Mathematical Model of Binding of Albumin-Bilirubin Complex to the Surface of Carbon Pyropolymer / AV Nikolaev, YA Rozhilo, TK Starozhilova, VV Sarnatskaya, LA Yushko, SV Mikhailovskii, AI Lobanov, AS Kholodov // Bull. ExP. Biol. Med. 2005. Vol. 140. № 3. P. 365- 369.
  • 178. Matsuno K. Higher-order Upwind Method for Massau J. Hyperbolic Grid Generation // Computers and Fluids. 1999. Vol. 28. № 7. P. 825-851.
  • 179. Monaghan JJ, Gingold RA Shock Simulation by Particle Method SPH // Journal Comput. Phys. 1983. Vol. 52. № 2. P. 374-389.
  • 180. Moretty G. Three-Dimensional Supersonic Flow Computations // AIAA Journal. 1963. Vol. 1. № 9. P. 2192-2193.
  • 181. Motorin Л.А. , Stupitsky EL, Kholodov AS Approximate Method for Estimating Plasma Ionization Characteristics Based on Numerical Simulation of the Dynamics of a Plasma Bunch with a High Specific Energy in the Upper Ionosphere // Geomagnetism and Aeronomv. 2016. Vol. 56. №4. P. 475-481.
  • 182. Motorin AA, Stupitsky EL, Kholodov AS Numerical Simulation of the Interaction Ви: Between Two High-Energy Plasma Bunches in the Ionosphere // Geomagnetism and Aeronomv. 2016. Vol. 56. № 4. P. 464-474.
  • 183. Neuman J. von, Richtmyer RD A Method for Numerical Calculation of Hydrodynamic Shocks // Journal Appl. Phys. 1950. Vol. 21. № 3. P. 232-237. (Сокр. PyC. Пер .: Нейман Дж., Ріхтмайер P. Метод чисельного розрахунку гідр про дин а м і чес до і х стрибків // Механіка. 1951. № 1 (5). С. 27-30.)
  • 184. Numerical Simulation of Shock Wave Interactions With Channel Bends and Gas Nonuniformities / AA Fursenko, DM Sharov, EV Timofeev, Р.Л. Voinovich. Computers and Fluids. 1992. Vol. 21. № 3. P.377-396.
  • 185. Osher S. Numerical Solution of Singular Perturbation Problems and Hyperbolic Systems of Conservation Laws // North Holland Matematical Studies. 1981. Vol. 47. P. 179-205.
  • 186. Peaceman DW, Rachford HH The Numerical Solution of Parabolic Equations // Journal Soc. Industr. Appl. Math. 1955. Vol. 3. № 1. P. 28-42.
  • 187. Richtmyer RD, Morton KW Difference Methods for Initial-Value Problems. Interscience, NY, 1967. (рос. Пер .: Ріхтмайер P, Мортон К. Різницеві методи розв'язування крайових задач. М .: Мир, 1972.)
  • 188. Riemann В. Uber Die Fortpflan- zung Ebener Luftwellen Von Endlicher Schwingungswcite // Abhandl. Von Der Koniglichen Gesellshaft Der Wissenshaften Zu Gottingen. 1860. Klasse 8. P. 43-45. (Рос. Пер .: Ріман Б. Про поширення плоских хвиль кінцевої амплітуди // Твори. М .: Гостехиздат, 1949. С. 376-395.)
  • 189. Roe PL Approximate Riemann Problem Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes // Journal Comput. Phys. 1981. Vol. 43. № 2. P. 357-372.
  • 190. Semenov A. Yu. Marshing Generation of Orthogonal Contour-fitted Coordinates // 2 ml Japan-Soviet Union SymP. On Comput. Fluid Dyn., Tsukuba, Aug. 27-31, 1990. Vol. 2. P. 153-161.
  • 191. Strang G. Accurance Partial Difference Methods. I. Linear Cauchy Problems // Arch. Ration. Mech. And Anal. 1963. Vol. 12. № 5. P. 392-402.
  • 192. Virtual Fractional Flow Reserve Assessment in Patient - Specific Coronary Networks by ID Hemodynamic Model / TM Gamilov, KP Yu, RA Pryamonosov,

SS Siniakov // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2015. Vol. 30. № 5. P. 269-276.

  • 193. Wanning RF, Beam RM Upwind Second-Order Difference Schemes and Applications in Unsteady Aerodynamic Flow // Proc. AIAA 2 nd Comput. Fluid Dyn. Conf., Hartford, Connecticut. 1975. P.17.
  • 194. Warming RF, Kutler P., l.omax H. Second and Third-Order Noncen- tered Difference Shemes for Nonlinear Hyperbolic Equations // AIAA Journal. 1973. Vol. 11. № 2. P. 189-196.
 
<<   ЗМІСТ   >>