Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

СИМЕТРИЧНІ, ПОЗИТИВНО ПЕВНІ, ОРТОГОНАЛЬНІ І ІДЕМПОТЕНТНА МАТРИЦІ

Квадратна матриця А називається симетричної ( симетричною ), якщо А = А , т. Е. Ау = а ^ у / = 1, ..., п j = 1, ..., п.

Симетрична матриця А /? - го порядку називається позитивно ( неотрицательно ) певної, якщо для будь-якого ненульового вектора х = (jq, * 2, ..., * п) 'виконується нерівність

Наприклад, матриця А А неотрицательно визначена, так як для будь-якого вектора хх '(А'Л) х = (х'А) Ах = {Ах)' Ах = у'у > 0, бо у у представляє скалярний квадрат вектора у = Ах.

Поняття позитивно (неотрицательно) певної симетричної матриці А тісно пов'язане з поняттям позитивно певної ( полуопределенной ) квадратичної форми.

Для позитивно (неотрицательно) певних матриць використовується запис А > Про (А> 0).

Співвідношення А> В (А> В) означає, що матриця А-В позитивно (неотрицательно) визначена.

Властивості позитивно (неотрицательно) певних матриць.

  • 1. Якщо А> В , то ац> Ьц, / = 1, ..., п , т. Е. Діагональні елементи матриці А більш відповідних діагональних елементів матриці В.
  • 2. Якщо А > В , С> 0, то А + С > В.
  • 3. Якщо А> В, де А і В - невироджені матриці, то В ~ [ > А ~ 1 .
  • 4. Якщо А> 0 (А> 0), то всі власні значення матриці А позитивні (невід'ємні), т. Е. X, - > 0 (X, - > 0), / = 1, ..., п.

Властивості симетричної позитивно певної матриці А п-го порядку.

  • 1. Якщо п> / с, rang п , т ) = / і, то В'АВ- позитивно певна матриця.
  • 2. Матриця А ~ 1 , обернена до А , також симетрична і позитивно певна.
  • 3. Визначник | л | > 0, а значить, і все головні мінори матриці А (одержувані для підматриць, утворених з матриці А викреслюванням рядків і стовпців з однаковими номерами) позитивні.
  • 4. Слід матриці А дорівнює сумі її власних значень:

Квадратна матриця С називається ортогональної , якщо

Властивості ортогональної матриці С:

  • 1. З С-Е.
  • 2. Визначник С = 1 або | З | = -1.
  • 3. У ортогональної матриці як рядки, так і стовпці утворюють ортонормированном систему векторів (§ 13.6).
  • 4. За допомогою ортогональної матриці С симетрична матриця А може бути приведена до діагонального вигляду

де A = diag (A b A 2 v,

Ai, A 2 , .-, А л - власні значення матриці А.

5. Симетрична матриця А може бути представлена через ортогональную і діагональну матрицю у вигляді

де Л = diag (А Ь А

Х1Д2 »-Лл - власні значення матриці> 4. Симетрична [1] матриця А називається Ідемпотентний, якщо вона збігається зі своїм квадратом , т. Е.

Властивості ідемпотентна матриць:

  • 1. А до = А, де до - натуральне число.
  • 2. Власні значення Ідемпотентний матриці А рівні або нулю, або одиниці: Х = 0 або А = 1.
  • 3. Всі ідемпотентна матриці неотрицательно визначені.
  • 4. Ранг Ідемпотентний матриці дорівнює її сліду, т. Е. Кількістю ненульових власних значень.

  • [1] Взагалі кажучи, вимога симетричності матриці А не строго обязательнодля визначення Ідемпотентний матриці, але саме симетричні ідемпотентна матриці зустрічаються в економетрики.
 
<<   ЗМІСТ   >>