Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

СИСТЕМА ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Система т лінійних рівнянь з п змінними має вид:

або в короткій записи за допомогою знаків підсумовування:

У матричної формі система (13.21) має вигляд: де

Якщо число рівнянь дорівнює числу змінних, тобто т = п, і квадратна матриця А - невироджена (U | * 0), то система (13.21) має єдине рішення '.

Це ж рішення, т. Е. Змінні Х |, х 2 , ..., xj, ..., х " при т = я, можуть бути знайдені по формулах Крамера

де Д - визначник матриці А, т. е. Д = | Л |;

Aj - визначник матриці А р одержуваної з матриці А заміною у-го стовпця стовпцем вільних членів, т. Е. Д = | Л, |.

? Приклад 13.6. Вирішити методом зворотної матриці систему рівнянь

Рішення. нехай

Рівняння в матричної формі набуде вигляду ЛГ = В. Знайдемо обернену матрицю:

За формулою (13.22)

т. е. * i = 3, * 2 = 2, * з = -!.?

Система лінійних однорідних рівнянь , т. Е. Система АХ = 0 з нульовими вільними членами, має нульове рішення тоді і тільки тоді , коли матриця А - вироджена , т. Е. А - 0.

ВЕКТОРИ

п-мірним вектором називається впорядкована сукупність п дійсних чисел, записуваних у вигляді * = (* ь * 2, ..., * "), де *, - / -я компонента вектора *.

рівність векторів

Вектори * і у рівні, т. Е. * = У, якщо *, = / = 1, ..., п.

Операції над векторами

I. Множення вектора на число :

2. Додавання двох векторів :

Векторним (лінійним) простором називається безліч векторів (елементів) з дійсними компонентами, в якому визначені операції додавання векторів і множення вектора на число , що задовольняють наступним властивостям:

  • 1. х + у = у + х.
  • 2. (x + y) + z = x + (y + z).
  • 3. <х (рх) = (ар) х.
  • 4. a (x + y) = ax + ay.
  • 5. (a + p) x = ax + px.
  • 6. Існує нульовий вектор 0 = (0 0 ... 0) такий, що х + 0 = х для будь-якого вектора х.
  • 7. Для будь-якого вектора х існує протилежний вектор (-х) такий, що х + (- х) = 0.
  • 8. 1 * х = х для будь-якого вектора х.

Поняття лінійної комбінації , лінійної залежності і незалежності векторів е, е т аналогічні відповідним

поняттям для рядків матриці е, ^ 2, ..., е т (§ 13.5).

Лінійне простір R n називається н-мірним, якщо в ньому існує п лінійно незалежних векторів , а будь-які з (л + 1) векторів вже є залежними. Інакше, розмірність простору - це максимальне число містяться в ньому лінійно незалежних векторів , т. Е. Dim (/? ' ? ) = П.

Сукупність п лінійно незалежних векторів п-мірного простору R n називається базисом.

Кожен вектор х лінійного простору R можна представити єдиним способом у вигляді лінійної комбінації векторів базису :

де X |, Х2, ..., х п - координати вектора х щодо базису е,

е п '

Скалярним добутком двох векторів х = (xj, Х2, ..., х п ) і у = у Уп) називається число

Евклідовому простором називається векторне (лінійне) простір , в якому задано скалярний добуток векторів , що задовольняє наступним властивостям:

  • 1. (*, У) = (У , х). 3. (сх, х, .у) = а (х, у).
  • 2. (х, y + z) = (x, у) + (х, z). 4. (х, х)? 0, якщо х * 0; (Х, х) = 0,

якщо х = О.

Довжиною (нормою) вектора х в евклідовому просторі називається корінь квадратний з його скалярного квадрата :

Два вектора називаються ортогональними , якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Вектори е 9 ^ 2, ..., е п п-мірного евклідового простору утворюють ортонормірованпий базис , або ортонормированном систему векторів, якщо ці вектори попарно ортогональні і довжина кожного з них дорівнює 1, т. Е. Якщо (е " ej) = 0 при / * j і | е, | = 1, / = 1, ..., п.

 
<<   ЗМІСТ   >>