Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ВИЗНАЧНИК І СЛІД КВАДРАТНОЇ МАТРИЦІ

Визначником (або детерм і на тому) квадратної матриці я-го порядку (або визначником п-го порядку) А "х п = А п = (ау) називається число, що позначається А" (або А "det / 1) і визначається за такими правилами :

при п = 1

Якщо А тх " = ,;), то А '" хт = (а ,,). Наприклад, якщо

Властивості операції транспонування:

при п = 2

при п = 3

  • ? Приклад 13.2. Обчислити визначники:
    • а)

Рішення: а) За формулою (13.9)

б) За формулою (13.10)

(При обчисленні визначника 3-го порядку Аз використовували правило трикутників , згідно з яким відповідні твори трьох елементів матриці беруться зі знаками «+» і «-»:

Визначник квадратної матриці п-го порядку (або визначник п-го порядку) при будь-якому п визначається більш складно. Він може бути обчислений за допомогою розкладання за елементами рядка або стовпця (теореми Лапласа ):

де ay - елементи будь-якого рядка (стовпця),

ЛЦ - алгебраїчне доповнення елемента af

Му - мінор елемента а ^ - визначник матриці (п- 1) -го порядку, отриманої з матриці А викреслюванням / -го рядка і j- го стовпчика.

? Приклад 13.3. Обчислити визначник Д 3 матриці з прикладу 13.2, розклавши його по елементах рядка (стовпчика). Рішення.

Розкладаючи по елементам, наприклад, 1-ої рядка, отримаємо за формулою (13.11) з урахуванням (13.12):

Властивості визначників:

  • 1. і = | 4
  • 2. При перестановці будь-яких рядків матриці змінюється тільки знак визначника матриці.
  • 3. | Л | = 0, якщо елементи двох рядків (або стовпчиків) пропорційні (в окремому випадку - рівні).
  • 4. За знак визначника матриці можна виносити загальний множник елементів будь-якого рядка (стовпця).
  • 5. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (або стовпця) додати елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число.
  • 6. | у4 # | = | & 4 | = | Л | - |. # | , Де А, В - квадратні матриці.
  • 7. | АЛ | = №А , де X - число, п - порядок матриці А.
  • 8. | diag (а ,, а 22 ... а "") = а і а 22 ... а "".
  • 9. |? "| = 1.

Слідом квадратної матриці А п-то порядку (позначається tr (А) (від англійського слова «trace»)) називається сума її діагональних елементів :

Властивості сліду матриць:

Зокрема, якщо А - (я xl) вектор-стовпець, В = А, то

де, нагадаємо, АА і А А - відповідно квадратні матриці я-го і 1-го порядків.

 
<<   ЗМІСТ   >>