Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

НЕСТАЦІОНАРНІ ЧАСОВІ РЯДИ

До сих пір ми розглядали регресивні моделі типу К = ЛР + ?, в яких ряд залишків розглядався як стаціонарний, а нестационарность самих рядів x t і y t обумовлювалася наявністю невипадковою компоненти (тренда). Після виділення тренда все ряди виявлялися стаціонарними, причому стационарность вважалася заздалегідь відомою, апріорної. На практиці, однак, така ситуація рідко має місце. Тим часом, включення в модель нестаціонарних рядів може привести до абсолютно невірних результатів. Зокрема, стандартний аналіз за допомогою методу найменших квадратів моделі

може показати наявність суттєвої значущості коефіцієнта (3 навіть в тому випадку, якщо величини x t і y t є незалежними. Таке явище носить назву помилкової регресії і має місце саме в тому випадку, коли в моделі використовуються нестаціонарні часові ряди.

Таким чином, при моделюванні будь-якої залежності між величинами х, і y t природно виникає питання: чи можна вважати відповідні часові ряди стаціонарними?

У цьому параграфі ми розглянемо деякі питання, пов'язані з нестаціонарними часовими рядами. При цьому ми не будемо ставити завдання докладного викладу теорії нестаціонарних рядів, так як це вимагало б використання математичного апарату, істотно виходить за рамки нашого розгляду. Тому ми обмежимося лише тим, що торкнемося основні проблеми, що виникають при економетричному моделюванні нестаціонарних часових рядів.

Отже, нехай є тимчасовий ряд у ь при цьому ми вважаємо, що в ньому відсутня невипадкова складова. Для простоти також будемо вважати, що середнє його значення дорівнює нулю (очевидно, ряд залишків регресійній моделі задовольняє цим умовам).

Якщо ряд є стаціонарним, то в кожен наступний момент часу його значення «прагне повернутися до нульового середнього». Іншими словами, якщо ми будемо пояснювати значення y t попереднім значенням yj- 1, то пояснена частина? буде знаходитися ближче до нуля, ніж значення у ^.

Математично строго цю умову можна сформулювати наступним чином: розглянемо регресійну модель

Істинне значення параметра р має задовольняти умові | р | <1. У разі, якщо р = 1, ми маємо ситуацію, коли наступне значення однаково легко може як наближатися до нульового середнього, так і віддалятися від нього. Відповідний випадковий процес називається «випадковим блуканням ». Очевидно, дисперсія в цьому випадку зростає. Справді, з рівності (8.63) маємо:

т. е. дисперсія D (y t ) необмежено зростає, а значить, ряд y t не є стаціонарним.

Зрозуміло, в разі | р |> 1 ряд тим більше не буде стаціонарним, значення його стрімко наростають. Відповідний процес іноді називається вибуховим. Однак в реальних економічних задачах він ніколи не виникає.

Практика показує, що найчастіше в економетричних дослідженнях нестационарность розглянутого часового ряду носить саме характер випадкового блукання. Таким чином, питання про нестаціонарне ™ ряду y t , як правило, зводиться до наступного: чи вірно, що в регресії у, = py, _i +%, справжнє значення параметра р дорівнює одиниці? Відповідна завдання називається проблемою одиничного кореня.

Отже, нехай є часовий ряд y t . Розглянемо модель авторегресії

Будемо припускати, що помилки регресії незалежні і однаково розподілені, т. Е. Утворюють білий шум. Переходячи до різницевих величинам, перепишемо співвідношення (8.64) у вигляді:

де Д у, = у, -у ,. 1, Х = р-1.

Тоді проблема одиничного кореня зводиться до наступного: чи вірно, що в моделі (8.65) істинне значення параметра X дорівнює нулю?

На перший погляд здається, що питання може бути вирішене тестуванням гіпотези А. = 0 за допомогою статистики Стьюдента (§ 3.6). Однак ситуація виявляється складніше. У тому випадку, якщо ряд у, насправді нестаціонарний, т. Е. Якщо насправді А = 0, стандартна / -Статистика виду t = X / a K не має розподілу Стиодента

Розподіл / -Статистика в цьому випадку описано Дікі і Фуллером. Ними ж отримані критичні значення для відкидання гіпотези про нестаціонарності ряду. Вони суттєво відрізняються від критичних значень розподілу Стьюдента. В результаті виявляється, що використання звичайного / -Тест призводить до того, що гіпотеза про нестаціонарності тимчасового ряду відкидається занадто часто, в тому числі і тоді, коли ряд дійсно є нестаціонарним.

Таким чином, проблему одиничного кореня слід вирішувати за допомогою тесту Дікі-Фуллера, який реалізований в більшості сучасних регресійних пакетів. У «Econometric Views» присутній так званий поповнений тест Дікі- Фуллера (Augmented Dickey-Fuller test - ADF). Він є узагальненням звичайного тесту Дікі-Фуллера: в праву частину виразу (8.65) додаються складові виду Ау, _ і ..., Ду, _ я , т. Е. Тестується гіпотеза X = 0 для моделі

Це відповідає тому, що замість рівняння (8.64) ми розглядаємо рівняння

т. е. намагаємося ідентифікувати ряд як Авторегрессіонний порядку р +. Додавання збільшень Ду, _, проводиться для того, щоб з якомога більшою вірогідністю позбутися автокорреляции помилок. (Нагадаємо, що розподіл Дікі- Фуллера / -Статистика має місце лише в тому випадку, якщо помилки є білим шумом!) Однак додавання збільшень в праву частину знижує потужність тесту Дікі-Фуллера.

Що робити в тому випадку, якщо ряд y t виявився нестаціонарним? Часто при цьому виявляється, що стаціонарним є ряд збільшень Л у ,.

Якщо ряд А у ( є стаціонарним, то вихідний нестаціонарний ряд у, називається інтегрованим (або однорідним). У більш загальному випадку нестаціонарний ряд y t називається інтегрованим (однорідним) к-го порядку , якщо після / с-кратного переходу до приращениям

де d x y, = Ay ,, виходить стаціонарний ряд d k y t .

Якщо при цьому стаціонарний ряд d k y t коректно ідентифікується як ARMA (p , q ), то нестаціонарний ряд у, позначається ARIMA (p , q , к). Модель ARIMA (p, q , к) означає модель авторегресії - проинтегрировал ковзної середньої (AutoRegressive Integrated Moving Average model) порядків / ?, q, k і відома як модель Бокса-Дженкінса. Ця модель може досить успішно описувати поведінку нестаціонарних часових рядів (в тому числі що містять сезонну і (або) циклічну компоненти), що дозволяє ефективно використовувати її в задачах коротко- та середньострокового автопрогноза. Процедура підбору моделі ARIMA реалізована в багатьох економетричних пакетах.

Іншим прийомом усунення нестаціонарності є ко-інтеграція декількох нестаціонарних рядів в деяку стаціонарну лінійну комбінацію. Опишемо цю процедуру на простому прикладі двох нестаціонарних рядів.

Нестаціонарні ряди х, і у, називаються коінтегріруемимі , якщо існують числа Х ] і Х 2 такі, що ряд Х ] х, + Х 2 у, є стаціонарним. Так як множення на ненульовий множник, очевидно, не впливає на стаціонарність, для коінтегрі- руемих рядів існує стаціонарний ряд виду у, - fix ,.

Виявляється, якщо ряди x t і y t насправді є коінтегріруемимі, то заможна оцінка параметра р виходить як оцінка звичайного методу найменших квадратів, застосованого до моделі

Здавалося б, що раз так, то питання про наявність коінтеграції може бути вирішене таким чином. Методом найменших квадратів оцінюється рівняння (8.66) і до ряду у, - рх, застосовується тест Дікі-Фуллера.

Однак виявляється, що тест Дікі-Фуллера в цьому випадку непридатний! При його використанні гіпотеза про нсстаціонарно- сті комбінації буде відхилятися занадто часто. Насправді критичні значення для / -Статистика в цьому випадку інші. Вони були оцінені методом симуляції (методом Монте-Карло, см. Гл. 13). Порівняння спостережуваного значення / -Статистика з цими уточненими оцінками критичних значень становить суть коінтеграційних тесту (Cointegration Test), який також, як правило, реалізується в економетричних пакетах.

Детальніше питання, пов'язані з нестаціонарними часовими рядами, викладені в [1], [21).

 
<<   ЗМІСТ   >>