Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

УСУНЕННЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТІ

Нехай розглядається регресійна модель (4.2)

або

Будемо вважати, що модель (7.25) гетероскедастіч- н а, т. Е. Дисперсії збурень (помилок) а} і) не рівні між собою, і самі обурення s, і (к = 1, ..., п) НЕ кор - реліровани. Це означає, що ковариационная матриця вектора збурень? e = Q - діагональна :

Якщо дисперсії збурень а? (/ = 1, ..., і) відомі, то Гете роскедастічность легко усувається. Справді, будемо розглядати в якості / -го спостереження залежної Y і пояснюють змінних X f (j = 1, ..., /?) Нормовані по а, змінні, т. Е.

Тоді модель (7.25) набуде вигляду: де Pi = Р 0 / а ; , V / = s / а /.

Очевидно, дисперсія D (v,) = 1, т. Е. Модель (7.27) гомоскедас- тична. При цьому ковариационная матриця стає

одиничної, а сама модель (7.27) - класичної.

Застосовуючи до лінійної регресійної моделі (7.25) теорему Айткена (§ 7.2), найбільш ефективною оцінкою вектора р є оцінка (7.7):

Застосування формули (7.28) для відшукання параметра р, т. Е. Узагальнений метод найменших квадратів для моделі з Гете-роскедастічностью, коли ковариационная матриця збурень? e = Q є діагональна матриця (7.26), називається зваженим методом найменших квадратів.

Застосовуючи звичайний метод найменших квадратів (§ 4.2), невідомі параметри регресійної моделі знаходимо, мінімі-

п

Зіру залишкову суму квадратів S = е'е = ^ (j>, -у,) , викорис

/ = I

чаплі узагальнений метод (§ 7.2), - мінімізуючи S = e'Q ~ l e , і, нарешті, в окремому випадку, застосовуючи виважений метод наімснь-

«Г 1 2 "

ших квадратів, - мінімізуючи? = ^ - ( у ,? - У /) .

/ = 1 L

«Зважуючи» кожен залишок е, = y i -y i за допомогою коефіцієнта 1 / а /, ми добиваємося рівномірного вкладу залишків в загальну суму, що призводить в кінцевому рахунку до отримання найбільш ефективних оцінок параметрів моделі.

На практиці, однак, значення а, майже ніколи нс бувають відомі. В цьому випадку при знаходженні змінних у формулі (7.27) значення ст, слід замінити їх заможними оцінками а ,.

Якщо виходити з припущення (7.20), то заможними оцінками а? є пояснені (прогнозні) значення ef регресії (7.21).

Оцінка параметрів регресійної моделі зваженим методом найменших квадратів реалізована в більшості комп'ютерних пакетів. Покажемо її проведення при використанні пакету «Econometric Views».

Спочатку слід застосувати звичайний метод найменших квадратів до моделі (7.25), потім треба знайти регресію квадратів залишків на квадратичні функції регресорів, т. Е. Знайти рівняння регресії (7.21), де / - квадратична функція, аргументами якої є квадрати значень регресорів і їх попарні твори. Після чого слід обчислити прогнозні значення ef за отриманим рівнянням регресії і

отримати набір ваг ( «weight»): а, = yjif. Потім треба ввести нові змінні X % J = Xj /&,•(./ = 1, ..., /?), К / = Y t / ст, і знайти

л

рівняння К = XJb . Отримана при цьому оцінка Ь * і є оцінка зваженого методу найменших квадратів вихідного рівняння (7.25).

? Приклад 7.4. За даними прикладу 7.1 оцінити параметри регресійної моделі У по Х і Xi зваженим методом найменших квадратів.

Рішення. У прикладі 7.2 до моделі був застосований звичайний метод найменших квадратів. При цьому отримано ряд залишків е-,.

Оцінимо тепер регресію виду

Застосовуючи звичайний метод найменших квадратів, отримаємо рівняння [1] :

Для застосування зваженого методу найменших квадратів розглянемо величини а, = у [е? і введемо нові змінні

Оцінюючи регресію До по X і Х. 2 отримуємо рівняння:

що і дає нам оцінки зваженого методу найменших квадратів.

Якщо застосувати тест Уайта до останнього рівняння, отримаємо F = 0,76 < F 0 05; 2; i47 = 3,06, звідки випливає, що гетероскедастіч-

ність можна вважати усуненою. ?

На практиці процедура усунення гетероскедастичності може представляти технічні труднощі. Справа в тому, що реально в формулах (7.26) присутні не самі стандартні відхилення помилок регресії, а лише їх оцінки. А це означає, що модель (7.27) зовсім не обов'язково виявиться гомоскедастичність.

Причини цього очевидні. По-перше, далеко не завжди виявляється справедливим саме припущення (7.21) або (7.23). По-друге, функція / у формулі (7.21) або (7.23), взагалі кажучи, не обов'язково статечна (і вже тим більше, не обов'язково квадратична), і в цьому випадку її підбір може виявитися далеко не настільки простим.

Іншим недоліком тестів Уайта і Глейзера є те, що факт не виявлення ними гетероскедастичності, взагалі кажучи, не означає її відсутності. Справді, приймаючи гіпотезу # о, ми приймаємо лише той факт, що відсутня певного виду залежність дисперсій помилок регресії від значень регресорів.

Так, якщо застосувати до даної раніше моделі залежності доходу Y від розряду X зважений метод найменших квадратів, використовуючи рівняння (7.23) з лінійною функцією f то отримаємо рівняння у = 196,47 + 50, і коефіцієнт детермінації R 2 = 0,94.

Якщо тепер використовувати тест Глейзера для перевірки відсутності гетероскедастичності «зваженого» рівняння, то відповідна гіпотеза підтвердиться.

Однак, якщо для цієї ж мети застосувати тест Голдфелда-

33 100

Квандта, то отримаємо: ^ е} = 26,49, = 49,03, F = 1,85.

/ = 1 / = 68

Порівнюючи з /о.05:32:32 = 1> 84, робимо висновок про те, що на 5% -му рівні значущості гіпотеза про відсутність гетероскедастичності все ж відкидається, хоча і розрахований значення / ^ статистики дуже близький до критичного.

Однак, навіть якщо за допомогою зваженого методу найменших квадратів не вдається усунути гетероскедастичності, ковариационная матриця оцінок параметрів регресії р

все ж може бути спроможна оцінена (нагадаємо, що саме неспроможність стандартної оцінки дисперсій і ковариаций р є найбільш неприємним наслідком гетероскедастичності, в результаті якого виявляються недостовірними результати тестування основних гіпотез). Відповідна оцінка має вигляд:

Стандартні відхилення, обчислені за цією формулою, називаються стандартними помилками в формі Уайта.

Так, для розглянутого прикладу залежності доходу Y від розряду X стандартна помилка в формі Уайта дорівнює 2,87, в той час як її значення, розраховане за допомогою звичайного методу найменших квадратів, так само 2,96.

  • [1] Тут і далі в дужках під коефіцієнтами регресії вказуються їх середовищ ня квадратические (стандартні) відхилення.
 
<<   ЗМІСТ   >>