Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ДОВІРЧИЙ ІНТЕРВАЛ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ ЗАЛЕЖНОЇ ЗМІННОЇ.

Побудована довірча область для МХ (У) (див. Рис. 3.6) визначає місце розташування модельної лінії регресії (тобто умовного математичного очікування), але не окремих можливих значень залежної змінної, які відхиляються від середньої. Тому при визначенні довірчого інтервалу для індивідуальних значень yl залежною змінною необхідно враховувати ще одне джерело варіації - розсіювання навколо лінії регресії, тобто в оцінку сумарної дисперсії sj слід

включити величину s 2 . В результаті оцінка дисперсії індивідуальних значень у $ при х = х $ дорівнює

а відповідний довірчий інтервал для прогнозів індивідуальних значень буде визначатися за формулою:

ДОВІРЧИЙ ІНТЕРВАЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРІВ РЕГРЕСІЙНОЇ МОДЕЛІ.

Поряд з інтервальним оцінюванням функції регресії іноді становить інтерес побудова довірчих інтервалів для параметрів регресійної моделі, зокрема для параметрів регресійної моделі, зокрема для Pi і ст 2 .

Можна показати, що при виконанні передумови 5 (с. 61)

6, Р,

регресійного аналізу статистика t = - має стандартно.

ний нормальний закон розподілу, а якщо в вираженні (3.32) для Ц замінити а 2 її оцінкою s 2 , то статистика

має / -розподіл Стьюдента з до = п - 2 ступенями свободи. Тому (див. § 2.7) інтервальна оцінка параметра pi на рівні значущості а має вигляд:

При побудові довірчого інтервалу для параметра

а- виходять з того, що статистика - має х -розподіл з

а 2

к = п - 2 ступенями свободи. Тому интервальная оцінка для а 2 на рівні значущості а має вигляд (див. (2.43)):

(Довірчий інтервал вибирається таким чином, щоб

? Приклад 3.3.

За даними табл. 3.1: 1) оцінити змінну середню видобуток вугілля на одного робочого для шахт з потужністю пласта 8 м;

  • 2) знайти 95% -ві довірчі інтервали для індивідуального і середнього значень змінної видобутку вугілля на 1 робочого для таких же шахт;
  • 3) знайти з надійністю 0,95 інтервальні оцінки коефіцієнта регресії pj і дисперсії а 2 .

Рішення. Рівняння регресії Y по X було отримано в прикладі 3.1: у = -2,75 + 1,01 6 х , тобто при збільшенні потужності пласта X на 1 м видобуток вугілля на одного робітника Y збільшується в середньому на 1,016 т (в уел. од.).

1. Оцінимо умовне математичне сподівання M X - = $ (Y). Вибіркової оцінкою A / V = g ( Y) є групова середня у х = г , яку знайдемо з рівняння регресії:

Для побудови довірчого інтервалу для A / x - = s ( У) необхідно знати дисперсію його оцінки, тобто s} x _ % . Складемо допоміжну таблицю (табл. 3.2) з урахуванням того, що х = 9,4 (м), а значення визначаються за отриманим рівнянням регресії.

Таблиця 3.2

X,

8

11

12

9

8

8

9

9

8

12

I

4-Д

1,96

2,56

6,76

0,16

1,96

1,96

0,16

0,16

1,96

6,76

24,4 (

& = -2,75 +

5,38

8,43

9,44

6,39

5,38

5,38

6,39

6,39

5,38

9,44

-

+ 1,016х /

II

Ч;

0.14

2.48

0.31

0.37

0.14

0.39

0.15

1.94

0,39

2,08

8,39

8 39

Тепер маємо по (3.26): s 2 = jq_2 = 1,049, по (3.32):

і = Vo, 189 = 0,435 (т).

За табл. II додатків / о, 95; 8 = 2 »31. Тепер по (3.34) шуканий довірчий інтервал

або

Отже, середня змінна видобуток вугілля на одного робочого для шахт з потужністю пласта 8 м з надійністю 0,95 знаходиться в межах від 4,38 до 6,38 т.

2. Щоб побудувати довірчий інтервал для індивідуального значення у " о = 8 , знайдемо дисперсію його оцінки по (3.35):

і s y ^ t = Л / П238 = 1,113 (т).

Далі шуканий довірчий інтервал отримаємо по (3.36):

або

Таким чином, індивідуальна змінна видобуток вугілля на одного робочого для шахт з потужністю пласта 8 м з надійністю 0,95 знаходиться в межах від 2,81 до 7,95 т.

3. Знайдемо 95% -ний довірчий інтервал для параметра р]. За формулою (3.38)

або 0,537 <р, <1,495, т. е. з надійністю 0,95 при зміні потужності пласта X на 1 м добовий виробіток Y буде змінюватися на величину, укладену в інтервалі від 0,537 до 1,495 (т).

Знайдемо 95% -ний довірчий інтервал для параметра а 2 .

З огляду на, що а = 1-0,95 = 0,05, знайдемо по таблиці 111 додатків

За формулою (3.39)

або 0,598 <а 2 <4,81, і 0,773 <а <2,19.

Таким чином, з надійністю 0,95 дисперсія збурень укладена в межах від 0,598 до 4,81, а їх стандартне відхилення - від 0,773 до 2,19 (т). ?

 
<<   ЗМІСТ   >>