Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ТЕОРЕМА ГАУССА-МАРКОВА.

Якщо регресійна модель (3.22) задовольняє передумов 1-4 (с. 61), то оцінки Ь 0 (3.11), Ь (3.13) мають найменшу дисперсію в класі всіх лінійних незміщених оцінок (Best Linear Unbiased Estimator, або BLUE)?

Таким чином, оцінки і Ь в певному сенсі є найбільш ефективними лінійними оцінками параметрів Ро І р !.

До сих пір ми використовували оцінки параметрів, отримані методом найменших квадратів. Розглянемо ще один

важливий метод отримання оцінок, широко використовуваний в економетрики, - метод максимальної правдоподібності.

МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЇ ПРАВДОПОДІБНОСТІ.

Для його застосування повинен бути відомий вид закону розподілу ймовірностей наявних вибіркових даних.

Вважаючи виконання передумови 5 (с. 72) регресійного аналізу, т. Е. Н о р м а л ь н у ю класичну регресійну модель (3.22), будемо розглядати значення у, як незалежні нормально розподілені випадкові величини з математичним очікуванням М [у ,) = Р "+ Р, *" є функцією від і постійної дисперсією а 2 .

Отже, щільність нормально розподіленої випадкової величини у,

Функція правдоподібності , що виражає щільність ймовірності спільного появи результатів вибірки , має вигляд

Згідно з методом максимальної правдоподібності в якості оцінок параметрів р 0 , pj та ст 2 приймаються такі значення р 0 , р, і а 2 , які максимізують функцію правдоподібності L.

Очевидно, що при заданих значеннях х, XIХ п пояснює змінної X і постійної дисперсії а 2 функція правдоподібності L досягає максимуму, коли показник ступеня при е буде мінімальним за абсолютною величиною, т. Е. За умови мінімуму функції

що збігається з умовою (3.4) знаходження оцінок /> 0 і Ь методом найменших квадратів. Отже, оцінки /> 0 (3.11) і Ь

(3.13) параметрів ро, pi збігаються з оцінками методу максимальної правдоподібності (3 0 і р,

Для знаходження оцінки ст 2 максимальної правдоподібності параметра а 2 , максимізує функцію L , якісних міркувань вже недостатньо, і необхідно вдатися до методів диференціального обчислення. Прирівнявши приватну похідну - = 0 (відповідні викладки пропонуємо про- та 1

вести читачеві самостійно), отримаємо

де параметри ро і pj замінені їх оцінками Ьо і Ь. Порівнюючи з отриманої раніше несмещенной оцінкою s 1 (3.26), бачимо, що оцінка а 2 (3.27) методу максимальної правдоподібності параметра а 2 є зміщеною.

У відповідності з властивостями оцінок максимальної правдоподібності оцінки ( Ьо , Ь) і су 2 (а значить, і s 2 ) є заможними оцінками. Можна показати, що при виконанні передумови 5 про нормальний закон розподілу обурення е, (/ = 1, ..., п) ці оцінки є незалежними.

 
<<   ЗМІСТ   >>