Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ПЕРЕВІРКА (ТЕСТУВАННЯ) СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ

Статистичної гіпотезою називається будь-яке припущення про вид ши параметрі невідомого закону розподілу.

Перевіряється гіпотезу зазвичай називають нульовою і позначають Н 0 . Поряд з нульовою гіпотезою Я 0 розглядають альтернативну, або конкуруючу, гіпотезу що є логічним запереченням Н 0 . Нульова і альтернативна гіпотези представляють собою дві можливості вибору, здійснюваного в задачах перевірки статистичних гіпотез.

Суть перевірки (тестування) статистичної гіпотези полягає в тому, що використовується спеціально складена вибіркова характеристика (статистика) 9 "(х 1 ( х 2 , ..., х п ), отримана за вибіркою Х ь Х 2 ..... Х п точне або наближене розподіл якої відомо. Потім з цього вибіркового розподілу визначається критичне значення 9 К |) - таке, що якщо гіпотеза Н 0 вірна, то ймовірність Р (& " > 9 К |) ) мала; так що відповідно до принципу практичної впевненості в умовах даного дослідження подія 9 "> 9 крможна (з певним ризиком) вважати практично неможливим. Тому, якщо в даному конкретному випадку виявляється відхилення 9 "> 9 кр , то гіпотеза Н 0 відкидається, в той час як поява значення 9" <9 К |) вважається сумісним з гіпотезою Н 0 , яка тоді приймається (точніше, не відкидається) . Правило, за яким гіпотеза Н 0 відкидається ши приймається, називається статистичним критерієм або статистичними тестом.

Таким чином, безліч можливих значень статистики критерію (критичної статистики) 9 "розбивається на два непересічних підмножини: критичну область (область відхилення гіпотези) W іобласті допустимих значень (область прийняття гіпотези) V. Якщо фактично бачимо значення статистики критерію 0" потрапляє в критичну область W, то гіпотезу Н 0 відкидають. При цьому можливі чотири випадки:

гіпотеза АЛЕ

приймається

відкидається

Верна

Правильне рішення

Помилка 1-го роду

невірна

Помилка 2-го роду

Правильне рішення

Імовірність а припуститися помилки 1-го роду, т. Е. Відкинути гіпотезу Н 0 коли вона вірна, називається рівнем значущості критерію.

Імовірність припуститися помилки 2-го роду, т. Е. Прийняти гіпотезу Н 0 , коли вона невірна, зазвичай позначають р.

Імовірність (1 - Р) не припуститися помилки 2-міста, тобто відкинути гіпотезу Hq, коли вона невірна, називається потужністю ( або функцією потужності ) критерію.

Ймовірності помилок 1-го і 2-го роду (а і Р) однозначно визначаються вибором критичної області. Очевидно, бажано зробити як завгодно малими аїр. Однак це суперечливі вимоги: при фіксованому обсязі вибірки можна зробити як завгодно малою лише одну з величин - а чи р, що пов'язане з неминучим збільшенням іншого. Лише при збільшенні обсягу вибірки можливе одночасне зменшення ймовірностей аїр.

Критичну область W слід вибирати так, щоб ймовірність попадання в неї статистики критерію 0 " була мінімальною і рівною а, якщо вірна нульова гіпотеза Н ф і максимальної в протилежному випадку :

Іншими словами, критична область повинна бути такою, щоб при заданому рівні значущості потужність критерію 1 - Р була максимальною. Завдання побудови такої критичної області (або, як кажуть, побудови найбільш потужного критерію) для простих гіпотез вирішується за допомогою теореми Неймана- Пірсона, викладається в більш повних курсах математичної статистики.

Залежно від виду конкуруючої гіпотези Я * вибирають правостороннім, лівосторонній або двосторонню критичну область. Межі критичної області при заданому рівні значущості а визначаються відповідно з співвідношень:

• для правобічної критичної області

• для лівосторонньої критичної області

• для двосторонньої критичної області

Слід зазначити, що в комп'ютерних економетричних пакетах зазвичай не знаходяться кордону критичної області 0 кр , необхідні для порівняння їх з фактично спостерігаються значеннями вибіркових характеристик 6 набл і прийняття рішення про справедливість гіпотези Я 0 . А розраховуються точні значення рівня значущості (p-valio ), виходячи зі співвідношення Р | в "> 0 на6л ) = р. Якщо ймовірність р дуже мала, то гіпотезу Я 0 відкидають, в іншому випадку Щ приймають.

Принцип перевірки (тестування ) статистичної гіпотези не дає логічного докази її вірності ши невірності. Ухвалення гіпотези Н 0 слід розцінювати не як раз і назавжди встановлений, абсолютно вірний міститься в ній факт, а лише як досить правдоподібне, що не суперечить досвіду твердження.

У табл. 2.1 представлені часто зустрічаються критерії перевірки гіпотез про числові характеристики нормально розподіленої генеральної сукупності.

Таблиця 2.1

кульова

гіпотеза

Статистика

критерію

Альтерна

тивная

гіпотеза

критерій

відхилення

гіпотези

х "= а = а 0

* -Яо s / yjn- 1

«=« 1> «о] а = а, <а п а = а 1 # а п

І > < 1-2п.п-1

Закінчення табл. 2.4

нульова

гіпотеза

Статистика

критерію

Альтерна

тивная

гіпотеза

критерій

відхилення

гіпотези

СТ 2 = СТ2

і

про | g

з 2 = а 2 ! > ст ^ сг 2 = о? <05 а 2 = в? фа 1

у2>

Л A (j; nI

х 2 > ХГ - «;" - 1

2 > ХП / 2: «- 1 i 0 0 або | Х 2 <Х | -в / 2; і-1

Ilf

II

н

f = _iz »_

n l4 + "2 s y [ '1 + 1 )

v «, +« 2-2 U, "2J

* про>.% | 4 а х о * Уо

І> ^ 1-2я.п-1 І> ^ 1-а, я-1

f _n, (n 2 -l) s? n 2 (n, -l) s 2

° 2 г > а 1 а 2 з 2

а 2 - ^ а 2

^ ^ ^ 1-л: і | -1; п 2 -1 ^ <^ 1-о / 2; л, -1; м 2 -1

<або

[ ^ ^ ^ А / 2; л | -1; і2 "1

? Приклад 2.10. На підставі зробленого прогнозу середня дебіторська заборгованість однотипних підприємств регіону повинна скласти a 0 - 120 ден. од. Вибіркова перевірка 10 підприємств дала середню заборгованість х = 135 ден. од., а стандартне відхилення заборгованості s = 20 ден. од. На рівні значущості 0,05 з'ясувати, чи можна прийняти даний прогноз.

Рішення. Проверяемая гіпотеза # 0 : .v 0 = а 0 = 120. В якості альтернативної візьмемо гіпотезу Н {. х {) = а, = 135.

Статистика критерію відповідно до табл. 2.1 дорівнює, х-а 0 135-120 ООС т ,

t = - . - = - , = 2,2.). Критичне значення статистики

5 / уп - 20 / ^ 10-1

^ 1-2 о.о5; ю 1 = / '0,9 : 9 = 1,83. Так як (2,25> 1,83), то гіпотеза Н 0

відкидається, тобто на 5% -му рівні значущості зроблений прогноз повинен бути відкинутий. ?

? Приклад 2.11. На двох верстатах обробляються деталі. Відібрано дві проби: з деталей, зроблених на першому верстаті, п 1 - 15 пгг., І на другому верстаті - Щ ~ 18 пгг. За даними цих вибірок розраховані вибіркові дисперсії s ' 2 = 8,5 (для першого верстата) і s 2 = 6,3 (для другого верстата). Вважаючи, що розміри деталей підпорядковуються нормальному закону розподілу, на рівні значущості а = 0,05 з'ясувати, чи можна вважати, що верстати мають різну точністю.

Рішення. Маємо нульову гіпотезу Н 0 : про 2 = про 2 , тобто дисперсії розміру деталей, оброблюваних на кожному верстаті, рівні. Візьмемо в якості конкуруючої гіпотезу Н 0 : <у 2 > про 2 (дисперсія більше для першого верстата). Статистика критерію (див. Табл. 2.1):

За табл IV додатків критичне значення F <F 0 05; 14: 17 = 2,33. Так як F < / v>, 05 ; i4; i7, то гіпотеза Я 0 не відкидається, тобто наявні дані не дозволяють вважати, що верстати мають різну точністю. ?

 
<<   ЗМІСТ   >>