Повна версія

Головна arrow Економіка arrow ЕКОНОМЕТРИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

У цьому розділі наводиться короткий огляд основних понять і результатів теорії ймовірностей і математичної статистики, які використовуються в курсі економетрики. Мета цієї глави - нагадати читачеві деякі відомості, але ніяк не замінити вивчення курсу теорії ймовірностей і математичної статистики, наприклад, в обсязі підручника [19].

Випадкові величини і їх числові характеристики

Ймовірністю Р (А) події А називається чисельна міра ступеня об'єктивної можливості появи цієї події.

Згідно з класичним визначенням ймовірність події А дорівнює відношенню числа випадків т, що сприяють йому, до загальної кількості випадків п , тобто Р (А) = т / п . При певних умовах в якості оцінки ймовірності події Р (А) може бути використана статистична ймовірність Р * (А ), т. Е. Відносна частота ( частость ) W (A) появи події А в п вироблених випробуваннях.

Одним з найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини.

Під випадковою величиною розуміється змінна, яка в результаті випробування в залежності від випадку приймає одне з можливого безлічі своїх значень (яке саме - заздалегідь не відомо).

Більш строго випадкова величина X визначається як функція , задана на безлічі елементарних фіналів (або в просторі елементарних подій ), тобто

де з - елементарний результат (або елементарна подія, що належить простору Q , т. е. cog Q).

Для дискретної випадкової величини безліч Е можливих значень випадкової величини, тобто функції / (спів), звичайно або лічильно [1] , для безперервної - нескінченно і незліченно.

Приклад и випадкових величин:

X - число народжених дітей протягом доби в м Москві;

У- число вироблених пострілів до першого попадання;

Z - дальність польоту артилерійського снаряда.

Тут X, Y - дискретні випадкові величини, a Z - безперервна випадкова величина.

Найбільш повним, вичерпним описом випадкової величини є її закон розподілу.

Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, аналітично (у вигляді формули) і графічно.

наприклад,

або

Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини.

Для будь-якої випадкової величини

Якщо по осі абсцис відкладати значення випадкової величини, по осі ординат - відповідні їх ймовірності, то одержувана (з'єднанням точок) ламана називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей.

? Приклад 2.1. У лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 ден. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Всього продасться 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, які купили один квиток.

Рішення. Можливі значення випадкової величини X - чистого виграшу на один квиток - рівні 0 - 7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200 - 7 = 193, 250 - 7 = 243, 5000 - 1 = = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш - відеомагнітофон, телевізор або автомобіль відповідно). З огляду на, що з 1000 квитків число невиігравшіх становить 990, а зазначених виграшів 5, 4 і 1 відповідно; використовуючи класичне визначення ймовірності, отримаємо:

Р (Х = -1) = 990/1000 = 0,990; Р (Х = 193) = 5/1000 = 0,005;

Р (Х = 243) = 4/1000 = 0,004; Р (* = 4993) = 1/ 1000 = 0,001 , тобто ряд розподілу

Дві випадкові величини називаються незалежними , якщо закон розподілу однієї з них нс змінюється від того, які можливі значення прийняла інша величина.

Закон (ряд) розподілу дискретної випадкової величини дає вичерпну інформацію про неї, так як дозволяє обчислити ймовірності будь-яких подій, пов'язаних з випадковою величиною. Однак такий закон (ряд) розподілу буває важко доступним для огляду, не завжди зручним (і навіть необхідним) для аналізу.

Тому для опису випадкових величин часто використовуються їх числові характеристики - числа, в стислій формі виражають найбільш істотні риси розподілу випадкової величини. Найбільш важливими з них є математичне сподівання, дисперсія, середньоквадратичне відхилення та ін. Звертаємо увагу на те, що в силу визначення, числові характеристики випадкових величин є числами невипадковим і , визначеними.

Математичним очікуванням , або середнім значенням , Л / (Л) дискретної випадкової величини X називається сума добутків всіх її значень на відповідні їм ймовірності :

  • (Для математичного очікування використовуються також позначення: Е (Х), Х.)
  • ? Приклад 2.2. Обчислити М (Х ) для випадкової величини X - чистого виграшу за даними прикладу 2.1.

Р і ш е н і е. За формулою (2.2)

М (Х) = {-!)? 0,990 + 193- 0,005 + 243 • 0,004 + 4993 • 0,001 = 0,

тобто середній виграш дорівнює нулю. Отриманий результат означає, що вся виручка від продажу квитка лотереї йде на виграші. ?

При я- »сс математичне очікування представляє суму ряду

ос

, Якщо він абсолютно сходиться.

/ = 1

Властивості математичного очікування:

  • 1) М (С ) = С, де С - постійна величина;
  • 2) М (КХ) = км (Х);
  • 3) М (Х ± У) = М (Х) ± М (У)
  • 4) М (ХУ) = М (Х)М (У), де X, У - незалежні випадкові величини;
  • 5) М (Х ± О = М (Х) ± С;
  • 6) М (Х - а) = 0, де а = М {Х ).

Дисперсією D (X) випадкової в & шчіни X називається математичне сподівання квадрата її відхилення від математичного очікування:

або

(Для дисперсії випадкової величини X використовується також позначення Var (A).)

Дисперсія характеризує откюненіе (розкид , розсіювання , варіацію) значень випадкової величини щодо середнього значення.

Якщо випадкова величина X - дискретна з кінцевим числом значень, то

Дисперсія D (X) має розмірність квадрата випадкової величини, що не завжди зручно. Тому в якості показника

розсіювання використовують також величину л / Щ).

Середнім квадратичним відхиленням (стандартним відхиленням або стандартом) а х випадкової величини X називається арифметичне значення кореня квадратного з її дисперсії :

? Приклад 2.3. Обчислити дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X за даними прикладу 2.2.

Рішення. У прикладі 2.2 було обчислено М (Х) = 0.

За формулами (2.4) і (2.5)

Властивості дисперсії випадкової величини:

  • 1) D (C ) = 0, де С - постійна величина;
  • 2) D (kX) = k 2 D (X );
  • 3) D (X ) = MiX 2 ) - a 2 , де a = M (X );
  • 4) D (X + Y) = D (X - Y) = D (X) + ДК), де X w Y- незалежні випадкові величини.
  • ? Приклад 2.4. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Z = SX - 5 Y + 7, якщо дані М (Х) = 3, M (Y) = 2, ДЛ) = 1,5 і D (Y) = 1 і відомо, що X і Y - незалежні випадкові величини.

Рішення. Використовуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, обчислимо:

  • [1] Нагадаємо, що безліч називається рахунковим, якщо його елементи можна перенумерувати натуральними числами.
 
<<   ЗМІСТ   >>