КІНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА

Відповідно до прийнятої моделі твердого тіла, завдання про поступальний рух його зводиться до розглянутої нами задачі кінематики матеріальної точки (наприклад, центру ваги тіла). В даному розділі розглянемо найпростіші види обертального руху твердого тіла і зв'язок лінійних і кутових кінематичних характеристик.

Обертальний рух навколо нерухомої осі

Рух матеріальних точок завжди можна описувати за допомогою лінійних кінематичних характеристик (г, і, а ), хоча і кутові характеристики теж можна ввести.

Але для опису руху твердого тіла необхідно користуватися аналогічними кутовими кінематичними характеристиками (ф, й, е).

Нехай абсолютно тверде тіло обертається навколо нерухомої осі ОО ' (рис. 2.1, 2.2); при цьому всі його точки описують кола різних радіусів R, центри яких лежать на осі ОО ' . Отже, для точок з різними значеннями R лінійні кінематичні характеристики (5, ДГ, о) будуть різними. Але кут повороту Дер щодо осі ОО ' для всіх точок однаковий і характеризує зміну положення всього тіла за час Д ?. Одиницею виміру плоского кута в Сі є радіан (рад).

Розглянемо кутові кінематичні характеристики на прикладі руху по колу (радіусу R з центром в точці О ' ) однієї з частинок твердого тіла (матеріальна точка М). Такий рух - це елемент обертання твердого тіла.

Мал. 2.1

Мал. 2.2

Задамо положення точки М відносно точки О, що лежить на осі обертання, радіусом-вектором р За нескінченно малий інтервал часу d t точка М зробить елементарне переміщення dr; при цьому радіус R повернеться на елементарний кут d (p (зауважимо, що на такий же кут повернуться аналогічні радіуси всіх точок тіла).

Щоб за допомогою кута d (p визначити не тільки зміна положення, але і напрямок руху частинки тіла, вводиться псевдовектори dtp, чисельно рівний d (p і спрямований уздовж осі обертання ОО ' так, щоб з кінця цього вектора ми бачили обертання, що відбувається проти годинникової стрілки (напрям d9 збігається з напрямком поступального руху свердлика, рукоятка якого обертається разом з тілом, т. е. підпорядковується «правилом свердлика»). Можливість введення такого псевдовектори обумовлена тим, що нескінченно малі кути повороту (як і еле тарні малі кути Дф <§: л) задовольняють правилу додавання векторів (правилом паралелограма), що є основною властивістю векторів, т. е. при послідовному повороті на деякі елементарні кути, результуючий кут

Кутова швидкість й характеризує напрямок і швидкість обертання тіла навколо осі.

Кутовий швидкістю тіла називають вектор зі, чисельно рівний першої похідної від кута повороту ф за часом і спрямований уздовж осі обертання за правилом свердлика, т. Е. Також як вектор елементарного повороту,

Середня кутова швидкість визначається як

де Дф - кут повороту тіла за час At.

При ш = const має місце рівномірне обертання тіла навколо нерухомої осі. Рівномірне обертання можна характеризувати періодом обертання Т це інтервал часу протягом якого тіло робить повний оборот (періоду Т відповідає кут повороту Дф = 2л).

Частота v визначає число оборотів, що здійснюються тілом в одиницю часу. Можна записати: