ПРИСКОРЕННЯ

При русі частинки її швидкість і може змінюватися як за величиною, так і за напрямком. Вектор прискорення а - характеризує швидкість зміни швидкості.

Нехай при довільному змінному русі швидкість частинки змінилася за час At від значення і, до і ₂ , тоді середній вектор прискорення в інтервалі At є вектор:

Аналогічно тому, як це робилося для швидкості б, отримаємо вираз, що визначає прискорення частинки в даний момент часу (або в даній точці шляху):

- d ² r

або, використовуючи (1.3.8), отримаємо: а- - j.

Прискорення а - це вектор, який дорівнює першої похідної від вектора швидкості і за часом або другої похідної від радіуса-вектора г за часом.

Вектор а прискорення частинки можна розкласти на три складові, спрямовані вздовж осей координат.

"Du _v d ² x du dry du_ d ² z

Тут: a _x = - ^ = - a = - ^y - = -a. .

d t dr d / dr 'd / В dr

Модуль прискорення а матеріальної точки (частки)

ПРИСКОРЕННЯ ПРИ КРИВОЛІНІЙНОМУ РУСІ

При криволінійному русі прискорення має характеризувати не тільки чисельну зміну швидкості, але і зміна її напрямки. Розкладемо вектор а па дві взаємно перпендикулярні складові певним чином. Заради простоти розглянемо плоский рух частинки вздовж ділянки АЛ (довжиною As) її траєкторії (рис. 1.10).

Введемо одиничний вектор т (початок якого збігається з точкою А), спрямований по дотичній до траєкторії руху частки в положенні А, м. Тобто також, як і вектор швидкості і (рис. 1.10). Тоді можна записати і = ит. Звідси, використовуючи (1.3.11), запишемо

Отримали два доданків прискорення, одне з яких

Вектор а _т - его тангенціальне (або дотичне) прискорення, що збігається по напрямку з вектором б.

З виразу (1.3.15) випливає, що тангенціальне прискорення характеризує швидкість зміни чисельного значення швидкості матеріальної точки.

Проекція вектора а _г на напрямок швидкості руху частинки

При рівномірному русі я _т = 0. Якщо> 0, то рух називають прискореним, якщо ж а _т <0 - уповільненим. При значенні а _х = const рух називають равнопеременное.

_ df

Розглянемо другу складову і - прискорення в вираженні

dit

dx

(1.3.14). Швидкість зміни напрямку дотичної до траєкторії -

d /

залежить від ступеня викривленості траєкторії (рис. 1.10). Відновимо перпендикуляри до дотичним (х і х ') в точках траєкторії А і А' на рис. 1.10.

Мал. 1.10

Ці перпендикуляри перетнуться в деякій точці Про ', причому відстані г і г " в загальному випадку неоднакові. На малюнку кут Дф між векторами тих', що характеризує зміну напрямку вектора х, збігається за величиною з центральним кутом, який спирається на дугу довжиною As. Визначимо зміну вектора х, поєднавши початку векторів тіт'в точці А:

Спрямовуючи часовий інтервал Д ^ -> 0 (т. Е. Точка А ' необмежено наближається до точки А), ми переходимо до нескінченно малим величинам: dx, ds, ckp.

При цьому вектори тих 'будуть паралельні, а вектор dx _L х і, отже, спрямований по радіусу кривизни до її центру. На малюнку показаний одиничний вектор нормалі п, який перпендикулярний дотичній х в даній точці А і спрямований від точки А до центра кривизни, який лежить на продовженні цієї (головної) нормалі; отже, dx ТТ п.

Тому друга складова прискорення в вираженні (1.3.14) є нормальне прискорення а _п , що характеризує швидкість зміни напрямку і (або х ) і спрямоване по радіусу кривизни до центру кривизни траєкторії в даній точці А (при русі по колу його називають також доцентровим прискоренням) .

Можна записати, що

так як х змінюється тільки по напрямку, a dx ТТ п.

При зближенні точки А ' з точкою А перетин перпендикулярів О' можна вважати центром кривизни, а відстані г ' і г " будуть прагне до одного і того ж межі г, рівному радіусу кривизни. Кут повороту dtp, який спирається на дугу d.? - малу дугу кола радіуса г, дорівнює куту dtp, який визначає поворот dx.

Відомо, що кривизна в точці А аналітично визначається виразом:

1 + 1 dtp

тоді - ---- і, отже,

г і dt

Підставивши (1.3.17) і (1.3.18) в (1.3.16), отримаємо вираз, що визначає нормальне прискорення

Проекція а _п на напрям п: а _п = -> 0.

г

При русі по колу радіуса R проекція нормального прискорення на напрям п або модуль нормального прискорення

Отже, повне прискорення (рис. 1.11) а = а _т + а _п - я _т • ~ Т + а _п ? п; Вектори а _г і а _п взаємно перпендикулярні, так що модуль повного прискорення матеріальної точки

Мал. 1.11

Деякі окремі випадки руху:

• а) а _г = 0, а _п - const - рівномірний рух по колу;
• б) a _r = const, а "= 0 - равнопеременное прямолінійний рух;
• в) а _т = const, а _п Ф 0 - криволінійний рух зі змінною за величиною швидкістю.