Повна версія

Головна arrow Інформатика arrow ІНТЕЛЕКТУАЛЬНІ СИСТЕМИ: НЕЧІТКІ СИСТЕМИ І МЕРЕЖІ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ЛІНГВІСТИЧНА ЗМІННА. НЕЧІТКІ ВЕЛИЧИНИ, ЧИСЛА І ІНТЕРВАЛИ

Нечітка змінна [12] визначається як кортеж (а, X, А }, де а - ім'я нечіткою змінною, X- універсум, який є областю визначення нечіткої змінної, А = | лг, ju A (x) J - нечітка множина, що визначає можливі значення нечіткої змінної.

Наприклад, нечітка змінна «температура хворого» визначається областю можливих значень і функцією приналежності.

Лінгвістична змінна відрізняється від числової змінної тим, що се значеннями не є числа, а слова або словосполучення природної мови, що більш природно для людини, ніж числа.

Лінгвістична змінна визначається як кортеж (а, Г, X, G, М ), де а - ім'я лінгвістичної змінної; Т - базове терм-множина лінгвістичної змінної, або безліч її значень (термів), кожне яких є найменування окремої нечіткої змінної; X - область визначення (універсум) нечітких змінних, що входять в терм-множина; G - синтаксичне правило, породжує з базового терм-множини Т безліч нових значень лінгвістичної змінної, що мають сенс для конкретної ситуації; М - семантичне правило, яке ставить у відповідність кожному значенню лінгвістичної змінної, що отримується за допомогою правила G, деякий нечітке безліч.

Наприклад, для лінгвістичної змінної з ім'ям «температура тіла людини» терм-множина має вигляд:

Область визначення X - це діапазон зміни температури тіла людини. G - правила формування нових термів за допомогою логічних зв'язок «І», «АБО» і модифікаторів типу «НЕ», «дуже», «злегка». Наприклад, «дуже висока температура». Модифікатор «НЕ» задається за допомогою операції доповнення (інверсії), модифікатор «дуже» задається за допомогою операції концентрування, модифікатор «злегка» - операцією розтягування (див. Розділ 1.5). Правила М задають на X нечіткі змінні - терми з множин Т і правил G. Правила зводяться до формування функцій приналежності з урахуванням логічних зв'язок і модифікаторів. Лінгвістичні змінні крім словесних значень можуть приймати і чисельні значення.

Нечіткої величиною називається довільне нечітка множина А = [х, // Дх)}, заданий на множині дійсних чисел R. Якщо в якості універсуму взяти підмножина невід'ємних дійсних чисел R + , то отримаємо визначення неотрицательной нечіткої величини А + .

Нечітким інтервалом називається нечітка величина з опуклою функцією приналежності. Нагадаємо, що функція J {x), певна на деякому інтервалі, опукла, якщо для будь-яких двох значень аргументах ,, х 2 і будь-якого числа а е [0,1] виконується нерівність / (ax, + (l -a) x 2 ) 2)

Якщо ця нерівність є строгим для всіх язі [0,1], функція називається строго опуклою; якщо виконується зворотне нерівність, функція називається увігнутою, або опуклою вгору. Графік опуклою диференціюється однієї змінної лежить не нижче дотичній, проведеної до цього графіку в будь-якій точці проміжку опуклості.

Нечітким числом називається така нечітка величина, функція приналежності якої є опуклою і унімодальної. Нагадаємо, що функціяДх) називається унімодальної, якщо на заданому відрізку вона має єдиний максимум (мінімум) У (х *), причому зліва від х * функція монотонно зростає (убуває в разі мінімуму), а праворуч - монотонно убуває (зростає). Графік функції приналежності нечіткого числа має єдиний максимум, зазвичай рівний одиниці. Графік функції приналежності нечіткого інтервалу набуває максимального значення на деякому інтервалі.

Так як нечіткі числа і інтервали є нечіткі множини, то для них справедливі всі властивості і операції, визначені для нечітких множин. Додатково виділяють поняття нечіткий нуль - нечітке число з модальним значенням (модою), рівним нулю, і позитивне (або негативне) нечітке число, що має строго позитивний (або строгонегативний) носій.

При виконанні операцій над нечіткими числами і інтервалами використовується принцип узагальнення Заде [6, 16, 24]. Нехай y = f (x l , x 2 , ..., x ") - чітка функція п змінних, заданих нечіткими числами X, Х 2 , ..., Х /} . Тоді значенням функції ) ; = F {x ,, * 2 »•••»? *>,) Називається нечітке число У з функцією приналежності

де функція sup означає верхню межу, a supp - носій нечіткої множини.

Обчислення за наведеною формулою досить громіздкі і для нечітких чисел, заданих на дискретних носіях можуть бути реалізовані в такий спосіб [16, 24]:

Крок 1. Зафіксувати значення функції у = у *.

Крок 2. Знайти всі безлічі аргументів | x, V, x * 2j , ..., х * 9 j = 1 9 Р 9 задовольняють умовам

Крок 3. Значення функції приналежності елемента у * непевному числу у обчислити за формулою

Крок 4. Якщо розглянуті всі елементи у *, то перейти до кроку 5, інакше вибрати нове значення у * і перейти до кроку 2.

Крок 5. Кінець.

Якщо функції приналежності нечітких аргументів х ., I = 1, / 7 є безперервними функціями, то нечіткі аргументи діскретізіруется [24], а безперервну функцію приналежності числа у отримують в результаті апроксимації дискретної функції fly ). Застосування принципу узагальнення Заде пов'язано з великими обчислювальними труднощами. Відомі [16, 24] інші принципи узагальнення, що володіють меншою обчислювальною складністю.

Арифметичні операції для нечітких чисел і інтервалів можуть бути визначені за допомогою принципу узагальнення Заде. Нехай ieR і 5eR - довільні нечіткі числа або інтервали з функціями приналежності д, (х) і вербу), R - безліч дійсних чисел. Причому безлічі А і В можуть бути нескінченними.

Для операції отримання протилежного нечіткого числа (інтервалу) -Л = С = jz, // r (z) | функція приналежності визначається за формулою

Для операції отримання зворотного нечіткого числа (інтервалу) / Г 1 = C = {z, // ( . (Z) j функція приналежності визначається за формулою

Двомісні арифметичні операції (додавання, віднімання, множення і ділення) визначені на декартовом творі R х R.

Функція приналежності операції додавання нечітких чисел (інтервалів) А + В = С = {z, fi c (z) j визначається за формулою

Функція приналежності операції віднімання нечітких чисел (інтервалів) А - В = С = jz, ц з (z) j визначається за формулою

Функція приналежності операції множення нечітких чисел (інтервалів) А • В = С = {z, ц з (z) | визначається за формулою

Функція приналежності операції ділення нечітких чисел (інтервалів) А / В = С = lz, // r (z)} визначається за формулою

У формулах - праворуч від знака рівності функція супремум (supp), як випливає з береться за кожним з множин значень елементів універсуму, які в свою чергу є результатом відповідної звичайної арифметичної операції над чисельними значеннями елементів області визначення операції. Для кінцевих множин А і В замість операції супремум можна використовувати операцію максимум.

Виконання арифметичних операцій на основі принципу узагальнення Заде дуже занадто багато. Практично найбільшого поширення набули операції над нечіткими числами і інтервалами, представленими у вигляді так званих (Ь-Я) -функ- ций [12, 14, 17, 26]. Подання нечітких чисел і інтервалів в формі (Ь-К) -функцій можливо для нормальних чисел і інтервалів. Практично використовуються числа і інтервали зазвичай є нормальними, тому це обмеження не є суттєвим.

(Ь-11) -функції - довільні функції, задані на множині дійсних чисел R і здійснюють відображення R -> [0,1], що не зростаючі на інтервалі [0, -і ») і задовольняють додатковим умовам

L (0) = /? (0) умова нормування.

Прикладами (Ь-Я) -функцій є трикутні і трапецієподібні функції приналежності, а також функції / (х) = е '

(рис. 16 ), / (х) = пт, де р> про 1 + | лг |

Графік функції f (jc) = е 'при р - 2

Рис . 16 - Графік функції f (jc) = е 'при р - 2

Нечітким числом (Ь-Я)-типу називається нечітка величина А - {*, р А (х)}, функція приналежності якої може бути представлена у вигляді композиції деякої L-функції (від англ, left - лівий) і деякої R-функцією (від англ, right - правий):

де а - модальне значення (мода) нечіткого числа, а > 0 і /? > Про -лівий і правий коефіцієнти нечіткості.

Таким чином, нечітке число (LR) -rana при фіксованих функціях L і R визначається трійкою параметрів ( а , а , /?). Операції з нечіткими числами (LR) -THna зводяться до операцій з цієї трійкою параметрів. Нечіткі числа (LR) -THna часто позначають як A lr = ( а , а , /?}.

Нечітким інтервалом (LR) -Tima називається нечітка величина А = {х, / л л (х)}, функція приналежності якої може бути представлена у формі композиції деякої L-функції і деякої R-функції:

де а і b - нижню і верхню модальні значення (а <Ь), що визначають ядро нечіткої множини; а> 0 і /? > Про - лівий і правий коефіцієнти нечіткості.

Нечіткий інтервал (Ь-Я)-типу при фіксованих функціях L і R визначається четвіркою параметрів ( а , Ь, а у р). Операції з нечіткими числами (LR) -THna зводяться до операцій з цією четвіркою параметрів. Нечіткі інтервали (Ь-Я)-типу часто позначають як A LR = (а, b , а , /?).

Результат арифметичних операцій над нечіткими числами і інтервалами (LR) -Tnna точно або наближено дорівнює непевному числу або інтервалу (LR) -THna з тими ж функціями L-типу і R-типу, а параметри функцій обчислюються на основі параметрів вихідних чисел і інтервалів. Нехай A LR = (a v b v a v Д) і B LR = (я 2 > ^ 2> а 2 > Рг) - довільні нечіткі числа (LR) -rana, C LR = (а, b, a, / ?) - нечітке число, яке є результатом операції. Наведемо без доведення формули для розрахунку параметрів результатів арифметичних операцій над нечіткими числами (LR) -THna [14] (табл. 2). Деякі формули, наведені в [12], відрізняються.

Таблиця 2 - Параметри результатів арифметичних операцій над нечіткими числами (L-RJ-типу

Порівнюючи результати арифметичних операцій, виконаних з використанням принципу узагальнення і LR-представле- ня [14], видно, що результати мають однакові модальні значення і величини розкиду і схожі, але не збігаються функції приналежності. При виконанні операцій над нечіткими числами завжди виходять нечіткі числа. Тому різниця двох однакових нечітких чисел А - А дорівнює непевному нулю.

На практиці широко використовуються трикутні нечіткі числа (LR) -THiia і трапецієподібні нечіткі інтервали (LR) -THna. Порівнюючи трикутну функцію належності з функцією приналежності нечіткого числа (LR) -THna, отримуємо трійку, що описує трикутне число (LR) -THna (p, ba, cb ^, де а, Ь і з - параметри трикутної функції приналежності. Порівнюючи трапецієподібну функцію приналежності з функцією приналежності нечіткого інтервалу (LR) -THna, отримуємо четвірку, що описує нечіткий інтервал (LR) -THna (b, c, ba, d-с), де a, b, c, d - параметри трапецієподібної функції приналежності. Операції з трикутні нечіткі числа (LR) -THna і трапецієподібні нечіткі інтервали (LR) -rana виробляються в Відповідність з правилами операцій з нечіткими числами (LR) -THna, але обчислення істотно спрощуються.

 
<<   ЗМІСТ   >>