Повна версія

Головна arrow Страхова справа arrow СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТА ПРОГРАМНО-ЦІЛЬОВИЙ МЕНЕДЖМЕНТ РИЗИКІВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ РІШЕНЬ ДЛЯ РИЗИК-МЕНЕДЖМЕНТУ ЗА ДОПОМОГОЮ ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗАДАЧ

На відміну від двох попередніх параграфів розглядаються тут завдання вже будуть пов'язані з найкращими альтернативами, що часто вимагає попередньої математичної постановки і рішення задач з пошуку екстремальних (найменших і найбільших) значень обраного критерію Z = f (X) = / (х v x 2 , ..., x m ). Однак до того як приступити до безпосереднього розгляду правил формулювання і вирішення подібних завдань, наведемо ряд мінімально необхідних відомостей з функціонального аналізу.

Під функцією у = / (Х) тут слід мати на увазі вираз, що встановлює однозначне відповідність між аргументами (в загальному випадку - це вектор X = (х 1; х 2 , ..., х т )) і скалярним значенням його лівій частині. При цьому функція виду у = Ах, яка задовольнить условіямy (Xj + х 2 ) = у (х,) + y (x 2 ); y (fcx) = ку (х), називається лінійної, а у = / (Ах хх) + Вх (де до - константа, а а і В - постійні величини або квадратні матриці) - квадратичної. Крім того, кожна функція має області: а) визначення U - все значення аргументів, для яких можливо її обчислення; б) значень Z - все ті скалярні величини, які вона приймає для аргументів х ; (г = 1, 2, 3, ..., т) з області визначення U, що має розмірність R ' ". При цьому для опуклої функції будь-який відрізок між двома її точками в просторі R " 1 також належить цій галузі.

Похідною / '(X) від функції називається набір співвідношень між кожною точкою з області її визначення U і дотичним вектором в цій же точці: /' (X) = (df / dx v df / dx 2 , ..., df / dx m ), а її перший і другий диференціали можуть бути представлені відповідно наступними двома математичними виразами: df = f '(X) dX і d 2 f = f "(X) dX 2 .

При дослідженні функцій на екстремум оперують так званими особливими точками х 0 , виділяючи серед них: 1) критичні, у яких Д (х 0 ) дорівнює нулю або не існує, хоча / (х 0 ) визначена; 2) граничні, тобто належать кордоні області визначення U. А ось серед умов прийняття функцією ДХ) екстремального значення (локального або глобального) прийнято виділяти необхідну (х 0 завжди повинна бути критичною) і достатню (х 0 є внутрішньою точкою і другий диференціал d 2 / (x) в ній повинен бути певним). При цьому якщо d 2 f Xo позитивно визначено, то х 0 відповідає мінімуму функції: Дх 0 ) <Дх 0 + Дх); коли ж d 2 fx 0 негативно визначено, то її максимуму: Дх 0 )> Дх 0 + Дх), для будь-яких Дх. Для пошуку екстремуму в вироджених випадках, тобто коли х 0 лежить на кордоні області U або d 2 f Х () = 0, потрібні додаткові дослідження.

Важливе місце в прийнятті оптимальних рішень в інтересах ризик-менеджменту за допомогою екстремальних задач належить їх коректної постановки, що передбачає застосування наступних основних понять і характеристик:

  • а) критерій оптімізацііу = f (x v x 2 , ..., х) -> min (max) означає прагнення будь-якої складної характеристики ОТУ і ОПО в цілому до екстремального (мінімального або максимального) значення;
  • б) цільова функція / Дх р х 2 , ..., х т ) пов'язує цей критерій зі змінними X цих об'єктів з області визначення U; при цьому частина таких змінних повинна бути оптимизируемого параметрами, тобто тими, варіювання яких може забезпечити екстремум функції в області її значень Z;
  • в) обмеження g u (x p х 2 , ..., х т ) вже є тими функціями деяких змінних X, які встановлюють можливий діапазон реальної зміни їх значень в області визначення таким чином, чтох ™ " 1 <х, max , х ™ п22 ' ах , ..., х ™ т < х т < х п ^ ах .

Загальна ж послідовність відшукання оптимальних рішень за допомогою екстремальних задач включає циклічно повторюються кроки:

  • 1) збір та обробка інформації про параметри і показники, які характеризують реальну ситуацію (властивості конкретного ОПО і його ближнього оточення), - визначення векторів станів даного об'єкту;
  • 2) порівняння дійсних характеристик досліджуваного ОПО з їх необхідними значеннями - виявлення неузгодженості між векторами його поточного і бажаного станів;
  • 3) оцінка необхідності втручання в ситуацію, що склалася - зіставлення величини неузгодженості між реальними і прийнятними параметрами обраного об'єкта;
  • 4) виявлення факторів і властивостей ОПО, що вимагають прийняття рішення, і пошук способу його здійснення - визначення оптимізуються параметрів і обмежень;
  • 5) формування цільової функції і альтернативних впливів на несприятливі фактори з метою їх парирування - розробка концепції рішення для ризик-менеджменту;
  • 6) змістовна і математична постановка екстремальної задачі - подальша конкретизація і формалізація умов прийняття відповідного оптимального рішення;
  • 7) підготовка вихідних даних по всім враховуються параметрами досліджуваного ОПО з урахуванням обмежень - уточнення області визначення аргументів цільової функції;
  • 8) вибір методу і розробка або підбір комп'ютерного алгоритму вирішення поставленого екстремальної задачі - визначення правил обґрунтування оптимального рішення;
  • 9) рішення даної оптимізаційної задачі - знаходження екстремального значення її цільової функції і відповідних йому, тобто оптимальних, параметрів ризик-менеджменту;
  • 10) здійснення оптимальних впливів - впровадження організаційно-технічних заходів щодо усунення неузгодженості в ОПО і викликали його чинників.

Що стосується класифікації відомих методів обґрунтування і прийняття рішень в інтересах вдосконалення ризик-менеджменту за допомогою екстремальних задач, то одна з найбільш поширених представлена на рис. 2.2.

На наведеній тут схемою виділені два великих класи: умовна і безумовна оптимізація, що відрізняються відповідно наявністю і відсутністю обмежень на оптимізуються параметри. Додатковими ознаками розподілу цих завдань служать кількість критеріїв оптимізації і змінних (один, кілька), а також зв'язок (лінійна, нелінійна) аргументів на цільової функції. Крім

Класифікація методів і завдань оптимізації рішень

Мал. 2.2. Класифікація методів і завдань оптимізації рішень

того, нижня частина малюнка ділить міститься там інструментарій залежно:

  • а) від методу математичного програмування - лінійне, цілочисельне, квадратичне, чисельне;
  • б) від критерію оптимізації - вектор, скаляр;
  • в) від особливостей пошуку оптимального рішення - правил вибору початкових значень його параметрів, напрямки і кроку їх зміни, припинення пошуку екстремуму.

Найбільш розробленим і широко застосовуваним способом відшукання оптимального рішення нині є лінійне програмування , у якого цільова функція f m QQ і обмеження g m (X) мають вигляд = Ах. Їх графічне відображення (рис. 2.3, а) приймає форму багатокутника на площині (х р х 2 ), тобто при т = 2, і багатогранника в тривимірному просторі (т = 3). При цьому виявляється, що екстремум завжди відповідає кутовий (граничної) точці Х 0 , що належить області визначення U. Більше того, екстремальне значення / (Х 0 ) може бути єдиним або множинним, що означає його приналежність одному з кутів або всієї грані з області Z .

Сфера застосування лінійного програмування в ризик-менеджменті може стосуватися прийняття рішень, які мінімізують, наприклад, вартість інспектування розосереджених ОПО, що може бути досягнуто вибором найкоротших маршрутів. Математична постановка подібної екстремальної задачі матиме вигляд

min (Gc) =?; х е U, U = {х е R m х> 0, Ах = Б},

Графічна ілюстрація пошуку екстремуму

Мал. 2.3. Графічна ілюстрація пошуку екстремуму:

а - лінійне програмування; б - нелінійне програмування

а основними способами її вирішення - графічний, симплекс-метод (упорядкований розрахунок значень цільової функції в кутових точках і їх послідовне порівняння), метод гілок і меж, які включені в пакети прикладних програм типу MathCad і MatLab.

Відомі й інші методи вирішення подібних завдань: а) целочисленное програмування, коли оптимізується параметр приймає лише такі дискретні значення, що округлення дробу до цілого дає неоптимальний значення f v (X Q ); б) динамічне програмування, яке засноване на заміні пошуку екстремуму цільової функції багатьох змінних покроковим багаторазовим пошуком функцій кожного з них і яке може бути застосовано при нелінійної зв'язку аргументів з критерієм оптимізації Z (X) або обмеженнями g u цю-

Досить перспективним вважається нелінійне програмування, яке до цього часу добре розроблено лише для опуклих функцій. Серед них виділяються квадратичні, у яких локальний екстремум еквівалентний глобальному. Належні цих функцій області визначення U (в формі сегмента кола) і значень Z (у вигляді частини яєчної шкаралупи) показані на рис. 2.3, б. Наведемо методи вирішення завдань даного класу:

  • а) градієнтний метод пошуку екстремуму відрізняється різними способами вибору початкової точки Х п , однак рух до оптимуму завжди реалізується в послідовності X n + l = Х п + kf {X n ), де X - деяка мала величина, яка може бути як постійною, так і змінної. Вибір її великих значень забезпечує найшвидший підйом або спуск до екстремуму, а менших - виключає його пропуск в міру наближення. Ламані лінії на рис. 2.3, б відображають реалізацію пошуку екстремуму за цим методом;
  • б) метод можливих (допустимих) напрямів здійснюється шляхом розрахунку цільової функції при русі вздовж активних огра-

ніченний, при цьому оптимальний крок А, може визначатися рішенням допоміжної задачі лінійного програмування;

  • в) метод Ньютона придатний (на відміну від двох попередніх методів) лише для сильно опуклих функцій і реалізує квазістаціо- Нарнії крок, який визначається з трьох перших членам цільової функції, представленої у вигляді ряду Тейлора;
  • г) метод лінеаризації використовує інструментарій лінійного програмування після відповідних перетворень цільової функції і функції обмежень;
  • д) метод штрафних функцій заснований на заміні цільової функції іншим виразом (її складанням з будь-якої надбавкою) і подальшим перебуванням замість її умовного екстремуму безумовного, який потім вважається приблизно рівним шуканого.

Характеризуючи особливості прийняття рішень в умовах векторної (багатокритеріальної) оптимізації, звернемо увагу лише на три основні методи, які найбільш придатні і для вирішення екстремальних задач в інтересах менеджменту ризику.

  • 1. Лексикографічний метод заснований на впорядкування враховуються критеріїв в порядку убування значущості, з перевагою екстремуму вищих з них над таким самим значенням всіх інших. Має недоліки, що обмежують застосування методу, - складність і суб'єктивність ранжирування критеріїв, непридатність в разі їх рівнозначності.
  • 2. Метод послідовних поступок вимагає подібного ранжирування і пошуку оптимуму найважливішого з критеріїв. Потім його величина знижується на певну поступку, і знаходять екстремальне значення наступного, і так до тих пір, поки не виявлено оптимальне значення всієї сукупності критеріїв. Недоліки подібні попереднім плюс суб'єктивізм у виборі поступок і сумніви в екстремальності знайдених критеріїв, крім першого.
  • 3. Метод згортання критеріїв зазвичай пов'язаний з підсумовуванням критеріїв після надання кожному з них індивідуального вагового коефіцієнта. Страждає свавіллям у виборі ваг, а іноді призводить до помітної неекстремальному ™ окремих критеріїв, незважаючи на оптимальне значення всієї їх адитивної згортки.

Відомі також інші, менш поширені способи обгрунтування рішень з одночасним використанням декількох критеріїв і ітеративних процедур пошуку їх сукупного екстремуму. Найбільш важливим серед них вважається цільове програмування, що є, мабуть, найбільш своєрідним методом вирішення завдань векторної оптимізації. Адже замість пошуку екстремуму многокритериальной цільової функції одним з перерахованих вище способів він орієнтований на відшукання мінімального неузгодженості між векторами реально досяжного і оптимального положень даного об'єкту в фазовому просторі, утворених всіма враховуються при цьому критеріями.

 
<<   ЗМІСТ   >>