Повна версія

Головна arrow Страхова справа arrow СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ ТА ПРОГРАМНО-ЦІЛЬОВИЙ МЕНЕДЖМЕНТ РИЗИКІВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ОСОБЛИВОСТІ СТАТИСТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ РИЗИКУ

Проілюструємо працездатність і конструктивність тільки що викладеній процедури прийняття раціональних рішень стосовно тих ситуацій, які відносяться до категорії неповністю визначених і характеризуються різною природою або походженням відповідних факторів. Причому зробимо це послідовно і практично для всіх показаних на рис. 2.1 видів невизначеності, починаючи з природного, а точніше, стохастичною невизначеності.

З огляду ж на домінуючий вплив стохастичною невизначеності на процеси виникнення переважної більшості тих відмов і техногенних пригод, які супроводжують функціонування складних технічних об'єктів, продемонструємо порядок прийняття раціональних рішень на прикладі двох завдань математичної статистики. Перша з них стосуватиметься оцінювання значень числових характеристик деяких заздалегідь відомих статистичних розподілів, а друга - перевірки статистичних гіпотез про рівність їх двох числових характеристик, отриманих за різними вибірковими даними.

Для прийняття рішень в рамках першого завдання скористаємося розглянутим вище (див. Параграф 2.7) методом максимальної правдоподібності і продемонструємо його конструктивність на трьох застосовуваних в безпеці і надійне ™ законах розподілу - біноміальний, пуассоновском і нормальному. Нагадаємо, що сутність даного методу полягає у визначенні таких оцінок ймовірності Р або математичного очікування т х і дисперсії а х , які найкраще відповідають наявним вибірковим даними (х р ..., х ( , ... , х п ), що дозволяє застосувати подібні оцінки в якості єдиної числової характеристики двох перших (дискретних, однопараметрических) розподілів або параметрів щільності Дх ( ., © х ) ймовірності нормального (безперервного двопараметричного) розподілу.

У разі біноміального розподілу, наприклад, відмов однотипних технічних пристроїв прийняття рішення про значення ймовірності Р появи таких відмов має здійснюватися на основі їх зареєстрованого числа т. Наприклад, при проведенні п випробувань подібних технічних пристроїв в незмінних умовах, кожне з яких закінчується появою або не появу відмови , відповідна функція L (x m , © х ) правдоподібності, де 0 х є статистичною оцінкою Р, виявляється тотожне рівній ймовірності фіксації там рівно т ВТК азів, що дозволяє записати наступне співвідношення:

де «!» - знак факторіала відповідної дискретної величини, чисельно дорівнює добутку послідовності цілих чисел від цієї величини до одиниці.

Опускаючи в останньому виразі постійний множник п! / [(П-- m)! M!], Що не впливає на положення шуканого максимуму функції

(2.1), а потім логарифмуючи її спрощену таким чином версію і беручи від неї приватну похідну по Р, отримуємо:

Прирівнювання останнього виразу до нуля дає рівняння (п - т) / Р = т / ( 1 - Р), яке має одне рішення, що звертає функцію правдоподібності в максимум і рівне наступного значенням шуканої оцінки: Р = 1 - т / п, що має стандартний відхилення

Для пуассоновского розподілу (припустимо - числа техногенних подій) функція правдоподібності, також рівна максимальної ймовірності спостерігати рівно т вже трапилися подібних випадкових подій, задається виразом

де а - параметр, який дорівнює середньому числу цих випадкових подій, а оцінка максимальної правдоподібності ймовірності їх появи визначається так, як це було зроблено в попередньому випадку.

Якщо конкретніше, то логарифмирование останньої формули дає такий вираз: lnL (m, a) = mlna - a - In (m). Диференціювання цього виразу по а й прирівнювання до нуля отриманої при цьому похідною призводять до рівняння: т / а -1 = 0. Його рішення дає шукану тут оцінку а = т, яка при малих значеннях має розподіл хі-квадрат зі стандартним відхиленням, що визначаються зі співвідношення o (a) = Va = Va.

При нормальному розподілі (наприклад - кількості відмов ізносовие типу), вже слід оперувати щільністю f (x n , 0 Y ) ймовірності їх настання, яка визначається двома оцінюваними тут числовими характеристиками: т х і а х . Тому можна скласти як функцію максимального правдоподібності цих параметрів, так і вираз для її натурального логарифма, мають такий вигляд:

Послідовне диференціювання останнього рівняння по т х і а 2 і прирівнювання отриманих при цьому виразів до нуля призводять до системи

рішення якої дозволяє прийняти рішення про найбільш правдоподібному значенні оцінок математичного очікування та дисперсії нормального розподілу подібних відмов:

Так як остання оцінка є зміщеною, то усунути цей дефект можна двома способами: 1) заміною в її вираженні оцінки т х числа відмов на його справжнє значення т х , що допускається при кількості випробовуваних технічних пристроїв п> 30, або 2) зменшенням на одиницю знаменника першого співмножники цієї ж формули:

Що стосується знайденої оцінки т х , то вона має нормальний розподіл з математичним очікуванням т х і дисперсією про 2 = про 2 / п (де про 2 - її справжнє значення). Якщо замість дисперсії береться її оцінка а 2 , тоді потрібно використовувати розподіл Стьюдента, якому вже буде підпорядкована випадкова величина х - т х ) п / 6 х . Зауважимо також, що при фіксованому значенні а 2 логарифм виразу (2.3) буде мати максимальне значення при дотриманні наступного, більш простого умови:

Цей факт слід розглядати як окремий випадок методу максимальної правдоподібності, який отримав в математичній статистиці найменування метод найменших квадратів і широко використовується при згладжуванні експериментальних графіків з метою їх апроксимації відповідними регресійної залежності.

Наприклад, якщо вид одного з таких графіків відповідає прямій лінії у = ах, то визначити значення тангенса кута а її нахилу можна за такою залежністю:

яка є рішенням рівняння, отриманого логарифмування виразу (2.5) і прирівнянням до нуля його похідної.

В цілому ж, як випливає з тільки що наведених результатів, отриманих за допомогою методу максимальної правдоподібності, можна стверджувати, що вони підтвердили можливість прийняття раціональних рішень про найбільш ймовірних значеннях параметрів випадкового розподілу. Необхідність в цьому виникає в тих випадках, коли є достовірні емпіричні дані про результати і умови тривалого функціонування однотипних технічних пристроїв або человекомашінная систем. Що ж стосується рішень другого заявленого вище типу, то про це - в наступному параграфі.

 
<<   ЗМІСТ   >>