Повна версія

Головна arrow Фінанси arrow ОСНОВИ ФІНАНСОВИХ ОБЧИСЛЕНЬ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

СТАТИСТИЧНІ ГІПОТЕЗИ І КРИТЕРІЇ ЇХ ОЦЕПКИ В ЗАДАЧАХ ОЦІНКИ РИЗИКІВ

Припущення про те, що розглянута випадкова величина підпорядковується певним законом розподілу, будемо називати статистичної гіпотезою. Оцінка відповідності цікавить експериментатора статистичної гіпотези наявними даними проводиться шляхом застосування певного правила, що залежить від характеру висунутої гіпотези і званого статистичним критерієм. Статистичний критерій являє собою стандартний прийом оцінки відповідності висунутої гіпотези емпіричним даним. Слід зазначити, що визнання задовільності згоди аналізованої гіпотези з експериментом, яке встановлюється за допомогою відповідного критерію, аж ніяк не еквівалентно доведенню се справедливості. Таке визнання означає лише, що отримані в ході спостережень за деякою випадковою величиною дані не суперечать перевіряється гіпотези. Відповідно до цього прийняття гіпотези можна розглядати як вказівку на те, що гіпотеза може служити робочої принаймні до тих пір, поки в розпорядженні аналітика не опиняться нові дані, які можуть внести корективи в інтерпретацію результатів спостережень.

Нехай в нашому розпорядженні є величина х 0 - одне з можливих значень деякої випадкової величини X. Висунемо гіпотезу, яку позначимо Я 0 , про те, що випадкова величина X розподілена за законом, що характеризується заданою функцією щільності ймовірності <p 0 (х). Гіпотезу Я (| назвемо нуль-гіпотезою. Введемо також якусь альтернативну гіпотезу Н, зміст якої полягає в тому, що розглянута випадкова величина X підпорядковується закону розподілу, описуваного функцією щільності ймовірності cpi (x), і будемо вважати, що гіпотеза //, є істинної, якщо нуль-гіпотеза Я 0 невірна. (З огляду на те, що вид функції q> | (ес) зазвичай невідомий, то найчастіше її наявність на увазі лише неявно.) Потрібно на підставі величини

* Про вирішити, який з гіпотез - Я0 або Я | - слід віддати перевагу.

Критерій оцінки статистичної гіпотези (т. Е. Правило для її прийняття або відхилення) найпростіше отримати, якщо припустити, що перевіряється гіпотеза Я0 вірна, т. Е. Розглянута випадкова величина дійсно розподілено згідно із законом, що задається функцією 0 (лг), і розглянути область, в якій опинилося спостережуване значення х0. Нехай х0 потрапило в область, розташовану поблизу правого (рис. 2.2) або лівого хвоста функції Фо (х), і, отже, ймовірність попадання випадкової величини в цю область, обчислена за допомогою функції 0 невірна. Практика застосування теорії перевірки статистичних гіпотез показує, що в цій ситуації доцільно вибрати альтернативу, т. Е. Визнати помилковість гіпотези Я0.

Критична область функції розподілу випадкової величини Навпаки, якщо спостерігалося значення х0 виявилося в інтервалі, достатньо віддаленому від обох хвостів функції фо

Мал. 2.2. Критична область функції розподілу випадкової величини Навпаки, якщо спостерігалося значення х0 виявилося в інтервалі, достатньо віддаленому від обох хвостів функції фо (х), то доцільно вважати, що гіпотеза Я0 може бути прийнята. Інтервал значень випадкової величини (відрізок осі абсцис), розташований поблизу хвоста функції

критичну область свідчить про неприйнятність аналізованої гіпотези. Ймовірність влучення випадкової величини в критичну область (яка може складатися тільки з однієї частини, розташованої біля правого або лівого хвоста функції Фо (х), або з обох частин одночасно) отримала найменування рівня значущості. Для правостороннього критерію (рис. 2.2) ця ймовірність є площа заштрихованої області, т. Е.

Якщо ймовірністю р (т. Е. Рівнем значущості) ми задаємося заздалегідь, то за рівнянням (2.23) (або аналогічного для лівостороннього та двостороннього критеріїв) встановлюють значення хр, що визначає правило прийняття або відхилення гіпотези Н 0 .

Таким чином, шуканий статистичний критерій оцінки гіпотези Н 0 полягає в порівнянні х 0 з чисельної величиною хр. Якщо (в припущенні правостороннього критерію)

для обраного рівня значущості р, то х 0 потрапляє в критичну область постулованій функції розподілу і нуль-гіпотеза Але повинна бути відкинута. Якщо ж

то х 0 лежить поза критичної області та гіпотеза Але може бути прийнята.

Отже, завдання побудови критерію оцінки гіпотези Н 0 на основі відомого значення х 0 випадкової величини X і постулованій функції фо (х) може бути вирішена, якщо задатися величиною рівня значущості Р критерію, що визначає розміри критичної області функції ф 0 (х). Неважко переконатися, що рівень значущості за визначенням збігається з ймовірністю відкинути перевіряється гіпотезу Я 0 , коли вона в дійсності вірна. Тому вибір, наприклад, 1% -ного рівня значимості означає,

що тільки в одному випадку застосування критерію зі ста вірна насправді гіпотеза буде відкинута. Звідси, на перший погляд, здається, що необхідно завжди прагнути ставити максимально низьке значення рівня значущості. Однак це не так. Зменшення значення рівня значущості веде до одночасного зменшення ймовірності відкинути гіпотезу Hq, коли вона є помилковою. Таким чином, прагнення надмірно убезпечити себе від бракування правильної насправді гіпотези може спричинити за собою небажане зниження чутливості використовуваного критерію по відношенню до помилкової гіпотези.

Компроміс між вірогідністю відкинути вірну і невірну насправді гіпотези забезпечується, якщо при виборі рівня значущості керуватися певними рекомендаціями, виробленими практикою застосування статистичних гіпотез.

Ухвалення гіпотези. Якщо перевіряється гіпотеза приймається з 5% -ним або більш високим значенням рівня значущості, то гіпотезу, безумовно, слід визнати узгоджується з отриманими експериментальними даними.

Якщо перевіряється гіпотеза може бути прийнята з рівнем значущості, меншим 5% -ного, але великим 1% -ного, то можна або піти на ризик прийняття гіпотези, або взяти гіпотезу під сумнів. У такій ситуації слід визнати доцільним провести повторний експеримент для отримання даних, на підставі яких можна було б зробити більш певні висновки.

Застосування критерію з більш низьким, ніж 1% -ним, значенням рівня значущості для прийняття гіпотези слід уникати.

Відкидання гіпотези. Якщо гіпотеза відкидається з 1% -ним або більш низьким значенням рівня значущості, то гіпотезу, безумовно, слід визнати не узгоджується з отриманими експериментальними даними.

Якщо перевіряється гіпотеза може бути відкинута застосуванням більш високого рівня значущості, лежачого між 1% -ним і 5% -ним значеннями, то гіпотезу або також слід відкинути, або тільки поставити під сумнів і, повторивши експеримент, знову оцінити висунуту гіпотезу.

Застосування 5% -ного або більш високого значення рівня значимості не дає підстав для відкидання гіпотези.

Гіпотеза, що формулюється для статистичної перевірки, може ставитися до параметрів передбачуваного розподілу генеральної сукупності (наприклад, до середнього р або дисперсії про 2 нормального розподілу). Критерій для перевірки такої гіпотези про параметри називається параметричним критерієм. Однак не завжди можна сказати заздалегідь, яка саме функція розподілу має місце. Тому були розроблені методи перевірки, що дозволяють порівняти розподілу, не знаючи їх параметрів або форми. Такі критерії, засновані на порівнянні функцій розподілу (а не параметрів), називаються пепараметріческі- ми критеріями. Вони мають певні переваги в порівнянні з параметричними завдяки меншим вимогам до їх застосування, більшого діапазону можливостей і часто більшою простоті реалізації. Звичайно, потрібно рахуватися і з більш низькою точністю цих критеріїв в порівнянні з параметричними.

Результати статистичних методів перевірки часто бувають незручні для аналітиків. У багатьох випадках вони дають незначущі 0 <0,95) або спірні (0,95 < Р 0 < 0,99) відмінності, хоча на основі суб'єктивного досвіду вже встановлено «справжнє» відмінність. У подібних випадках часто допомагають додаткові виміри (повторні спостереження). Чим більше отримано результатів, тим менші відмінності будуть достовірно фіксуватися. Ні в якому разі не можна спокушатися заміною точних даних сумнівними, т. Е. На підставі суб'єктивної оцінки.

Розподіл Стьюдента і оцінка ризику по суттєвості відмінностей в вибіркових даних

У попередньому викладі ми вже відзначали, що нормальність закону розподілу показника, за яким оцінюється ризик, найчастіше постулюється, т. Е. Приймається відповідною істини без докази. Грунтуючись на цьому, інтервал, в якому змінюється показник, вважають рівним 2о (т. Е. Кажуть, що «... з імовірністю 0,95 випадкова величина укладена в інтервалі ...»). Саме величина 2о визначає ймовірність, рівну 0,95. Однак насправді генеральна дисперсія а 2 (х) залишається невідомою. Тому невідома і міра допустимої помилки прогнозу навіть при вірності допущення про нормальність розподілу обраного показника ризику, т. Е. Відносна величина U = ---. Для великих п можна вважати sx) = о 2 (х) і при- про (х)

сування викладеного математичного апарату буде закономірний-

"Х-п

вим. В іншому ж випадку величина t = - може значно

s (x)

відхилятися від значення U, а, значить, інтервал, в якому міститься випадкова величина X, з тією ж імовірністю 0,95 буде різко відрізнятися від обчислюваного.

Розподіл випадкової величини, аналогічної U , в якому замість генерального середньоквадратичного відхилення варто відповідне вибіркове відхилення, т. Е.

вперше було введено Стьюдента (псевдонім англійського хіміка Госсета) і носить назву розподілу Стьюдента.

Функція щільності ймовірності величини / визначається числом / ступенів свободи вибіркової дисперсії s 2 ( х).

При значеннях /> 20 функція розподілу Стьюдента задовільно апроксимується функцією нормального розподілу. Тому вже з числа спостережень більше 20 зазвичай для обчислення величин довірчих інтервалів і помилок використовують нормальний закон. При невеликому числі вимірювань (а, значить, і числі ступенів свободи) розподіл Стьюдента істотно відрізняється від нормального. У цьому випадку інтервал, в якому з якоїсь ймовірністю укладена досліджувана величина, розраховують не за таблицями Гаусса, а за таблицями / -розподіленого (додаток 2).

Якщо ймовірність а для випадкової величини / потрапити в будь-якої інтервал задана, то кордону шуканого інтервалу будуть характеризуватися величинами -t- a (f) і /] а (/), що залежать від числа ступенів свободи / і обумовленими зі умови

Приклад. Знайти величину інтервалу, для якого ймовірність потрапляння випадкової величини I, що має одну ступінь свободи, дорівнює 0,95.

Маємо а = 0,95, 1 - а = 0,05, / = 1. За допомогою додатка 2 знаходимо г 0 05 (1) = 12,706. Звідси шуканий інтервал є (-12,706; + 12,706).

На практиці ризик фінансової операції завжди оцінюють не по абстрактної сукупності всіх можливих угод, а за конкретними і вже мали місце в подібних умовах аналогам.

Припустимо, що з метою оцінки ризику фінансової операції з придбання цінних паперів зафіксовані дані про продажі двох видів паперів протягом невеликого періоду (по п угод з кожним видом). Получени_следующіе результати: середні рівні вартості продажів Х і Х 2 і виправлені середні квадратичні відхилення s і s 2 . Як встановити, чи є розбіжність l- ^ i - Х 2 випадковим або воно обумовлено тим, що одна з паперів більш краща на фондовому ринку, а, отже, і менш ризикована?

Слід мати на увазі, що відповідь на це питання не може бути строго певним, він або буде вірним з певною ймовірністю q, або помилковий з ймовірністю р = 1 - q, званої, як ми вже відзначали, рівнем значущості.

Складемо випадкову величину

де п - обсяг вибірки. Доведено, що дана випадкова величина підпорядковується / -розподіленого Стиодента.

Випадкова величина Т залежить від числа ступенів свободи / = 2 (л - 1) і рівня значущості р. По заданому р і числу ступенів / визначається t теоретичне в таблицях розподілу Стиодента (додаток 2).

За формулою для Т знаходять I практичне, що відповідає досліджуваної ситуації:

Якщо? Пр </ теор , то з ймовірністю помилки, рівної р, вважають, що розбіжність між середніми незначимо, і відмінність у ризику придбання паперів істотним визнати не можна. Якщо / пр > 7 Т ( . Ор , то розбіжність між середніми вибірковими істотно, і з довірчою ймовірністю у = 1 можна стверджувати, що угода по одному папері буде менш вигідною, ніж по інший.

Якщо обсяг вибіркових сукупностей неоднаковий, то використовують більш складні формули, які можна знайти в докладних курсах математичної статистики.

Найчастіше, однак, фінансовий менеджер змушений оцінювати ризик фінансових операцій не за усталеними одиночним показниками, а по тенденціям, які мають місце на ринку (за динамічними рядами).

Динамічним рядом називають послідовність спостережень одного показника, впорядковану відповідно до зростання або спадання іншого показника. Якщо впорядкування здійснюється за часом, то такий динамічний ряд називається тимчасовим поруч. Елементи ряду прийнято називати рівнями. При існуванні тенденції в часі ряду кажуть, що він має тренд,

т. е. зміна, що б загальне напрям розвитку.

Нехай дано два динамічних ряду:

і

отриманих незалежно один від одного. Каждийу'-й член ряду (xj і

у. ) Належить одному і тому ж періоду часу і відображає собою якийсь параметр фінансової операції (наприклад, прибутковість). Потрібно з'ясувати, чи є різниця між динамічними рядами, щоб оцінити ризикованість бізнесу в відповідних сферах.

Якщо обидва ряди однакові, то різниці dj = yj - Xj будуть безладно розсіюватися навколо нульового значення. Отже, для прийняття рішення необхідно перевірити гіпотезу про рівність нулю середньої різниці, точніше, чи належить середня

- x ± d /

різницю d = 2_, / генеральної сукупності з параметром y = i / т

p rf = 0. Виходить наступна схема розрахунку ( «розширений /-критерій»):

Значимість відхилення середньої різниці d від очікуваного значення, рівного нулю, перевіряється відповідно до рівняннями розподілу Стьюдента по Квантиль

і дисперсії

с / = т - 1 ступенями свободи.

Порівняння проводять звичайним способом за процентними точкам / -розподіленого. При /> / (Po, f), де Ро - довірча ймовірність 0,95, можна констатувати різницю між рядами спостережень, а, отже, і в тенденціях.

Приклад. Для прийняття рішення про інвестування в одну з галузей визначали ставку маржинального доходу в першій (х) і другий (у) галузях. Необхідно встановити, чи істотна різниця між галузями в тенденціях прибутковості.

Вихідні дані і проміжні розрахунки зведені в таблицю.

X

Y

d = у - х

100,1

96,6

-3,5

115,1

115,6

+ 0,5

130,0

125,5

-4,5

93,6

94,0

+ 0,4

108,3

103,3

-5,0

137,2

134,4

-2,8

104,4

100,2

-4,2

97,3

97,3

± 0

Розрахунок дисперсії різниці дає величину s d = 2,32 при / = 7 ступенях свободи.

Так як t (P 0 = 0,95; f) </ ЕМП < t (P 0 = 0,99; Д між тенденціями прибутковості в галузях існує статистично значуща різниця і інвестувати доцільніше в галузь х.

X ^ розподіл

Нехай є п незалежних випадкових величин Х, Х 2 , ... Х п , кожна з яких підпорядковується нормальному закону розподілу з параметрами рис. Для кожної випадкової величини складемо вираз

Тоді сума квадратів випадкових величин f} ~ має закон розподілу, званий Х 2 -розподіленого с / = п ступенями свободи.

З того, що величина X 2 утворюється як сума квадратів, видно, що вона пов'язана з дисперсією деякої випадкової величини. Таблиця Х 2 -розподіленого представлена в додатку 3. Основне призначення Х-критерію - порівняння теоретичних і емпіричних розподілів.

Нехай є ряд з п спостережень за деякими показником ризику. Необхідно встановити, чи можна описати ці п значень за допомогою прийнятого теоретичного розподілу (моделі оцінки ризику). Для перевірки висувають нульову гіпотезу про те, що між емпіричним розподілом і теоретичною моделлю немає жодної різниці. З п значень у вибірці спостережень (і> 50) обчислюють середнє р і стандартне відхилення ст, а потім

розбивають п значень на т ~ - / п класів. Для кожного отриманого класу визначають абсолютну частоту (т. Е. Число) А що потрапили в нього значень і зіставляють її з частотою А "теоретично очікуваної відповідно до моделі. Для різних теоретичних розподілів частоти протабулювати при о = 1. Тому перш за все для порівняння стандартизують спостереження в класах по формулі U = - р) / о. Для таких нормованих значень в таблиці розподілу Гаусса знаходять відповідні їм значення функції. Беручи до уваги число вимірювань і, ширину класу d і стандартне відхилення про, обчислюють теоретично очікувані абсолютні частоти h , попадання в окремі класи. З емпіричних і теоретичних частот становлять вираз

Якщо теоретичні значення h, для окремих класів досить великі ( h, > 5), то знайдене вираз буде слідувати Х 2 -розподіленого с / = т - до ступенями свободи. При цьому до представляє число параметрів, необхідних для опису вибірки. Для нормального (Гауссова) розподілу до = 3 (середнє х, стандартне відхилення s і обсяг вибірки л), для розподілу Пуассона до = 2 (середнє х і обсяг вибірки л) .Требуемое для окремих класів значення h,> 5 можна отримати, поєднуючи кілька сусідніх класів. Якщо при перевірці виходить, що X 2 > X 2 (ЛУ), то перевіряється гіпотеза відкидається; між емпіричним і теоретичним розподілом існує значуща відмінність. Різниця незначимо, якщо X 2 <X 2 (P, J) -

 
<<   ЗМІСТ   >>