Повна версія

Головна arrow Фінанси arrow ОСНОВИ ФІНАНСОВИХ ОБЧИСЛЕНЬ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

НЕОБХІДНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Підприємницьку діяльність доводиться здійснювати в умовах невизначеності ситуації і мінливості економічного середовища. Виникає неясність і невпевненість в отриманні очікуваного кінцевого результату. Панівне уявлення про раціональну поведінку економічної одиниці як нормі економічної поведінки її в суспільстві (індивідуум прагне до максимального задоволення своїх потреб при даному бюджеті, фірма максимізує прибуток і ін.) В реальному житті не завжди реалізується. Випадки нераціонального поведінки з розгляду не можна виключати. Щоб оцінити можливість тих чи інших втрат, обумовлених розвитком подій по непередбаченому варіанту, слід заздалегідь обчислити їх або виміряти як ймовірні прогнозні величини. Тому показники і процеси підприємництва слід розглядати в загальному випадку як випадкові величини і випадкові процеси, що вимагають статистичної інтерпретації. Основними елементами такого підходу є поняття випадкової величини та розподілу її ймовірностей.

Визначення 1. Випадковою величиною називається дійсна змінна, яка в залежності від результату досвіду, т. Е. В залежності від випадку, приймає різні значення.

Будемо позначати випадкові величини великими буквами, а їх можливі значення - відповідними малими літерами. Нехай X - деяка випадкова величина. Імовірність того, що випадкова величина X прийняла значення х ь будемо позначати як Р (Х = х <).

Випадкова величина називається дискретною, якщо в результаті випробування вона може прийняти значення з кінцевого або рахункового безлічі можливих числових значень.

Закон розподілу дискретної випадкової величини задається в вигляді:

Тут верхній рядок - це сукупність можливих числових значень, які може приймати випадкова величина; нижня рядок - ймовірність настання цих числових значень.

Побудова розподілу ймовірностей покликане бути вихідної стадією оцінки ризику. Але стосовно до підприємництва це найчастіше надзвичайно складне завдання. Тому практично доводиться обмежуватися спрощеними підходами, оцінюючи ризик за одним або кількома показниками, які представляють узагальнені характеристики, найбільш важливі для судження про прийнятність ризику. Найважливішими з них є математичне сподівання і дисперсія досліджуваної випадкової величини.

Математичним очікуванням випадкової величини X називається число виду

де

Xj - всі можливі різні конкретні результати випробування;

Pi - ймовірність їх настання.

Сенс характеристики математичного очікування полягає в наступному: це точка на числовій осі, щодо якої групуються результати конкретних випробувань над дискретної випадкової величиною.

Властивості математичного очікування:

  • 1. МС - С;
  • 2. МСГ = СМХ.
  • 3. М (Х + а) = MX + а; а = const.

Нехай випадкова величина Y є функцією f (x) від випадкової величини X. Тоді за визначенням:

Початковим моментом А: -го порядку випадкової величини X називається математичне сподівання випадкової величини Х до :

Центрована випадкова величина - це величина, що дорівнює Х '= Х-МХ.

Центральним моментом до -го порядку називається початковий момент к-го порядку випадкової величини Х

Дисперсією випадкової величини X називається центральний момент другого порядку випадкової величини Х

Дисперсія є мірою концентрації результатів конкретних випробувань над випадковою величиною X.

Властивості дисперсії:

  • 1. Чим менше дисперсія, тим тісніше групуються результати конкретних випробувань щодо математичного очікування.
  • 2. Якщо дисперсія дорівнює 0, то X = const.
  • 3. D (X + CJ = DX.
  • 4. DCX = C 2 DX.

Визначення 2. Функцією розподілу F (x) випадкової величини X називається функція

Значення функції розподілу в точці х 0 , таким чином, так само ймовірності того, що випадкова величина приймає значення, менше хо- Випадкова величина вважається заданою, якщо задана її функція розподілу.

На практиці часто для неперервної випадкової величини X використовують диференціальну функцію розподілу або функцію щільності ймовірності, яку визначають як наступний межа:

Побудуємо функцію розподілу для дискретної випадкової величини. Для зручності домовимося, що випадкові величини розташовуються в порядку зростання. Оскільки за визначенням для будь-якого дійсного X функція F (x) чисельно дорівнює ймовірності настання події, що складається в тому, що в результаті випробувань X прийняла значення строго менше х, то графік розподілу буде виглядати так, як показано на рис. 2.1.

При побудові розподілу ймовірностей ризику для переходу відданих про які мали місце або прогнозованих втрати можуть використовуватися статистичний або експертний методи.

Функція розподілу дискретної випадкової величини

Мал. 2.1. Функція розподілу дискретної випадкової величини

Статистичний метод передбачає вивчення статистики втрат, що мали місце в аналогічних ситуаціях підприємницької діяльності та встановлення частоти появи певного рівня втрат. Якщо статистичний масив досить представницький, то частоту виникнення даного рівня втрат можна в першому наближенні прирівняти до ймовірності їх виникнення і на цій основі побудувати розподіл ймовірностей, якому відповідає і певна крива ризику. При цьому слід пам'ятати, що, визначаючи частоту виникнення деякого рівня втрат шляхом ділення числа відповідних випадків на їх загальне число, слід включати до загальної кількості випадків і ті підприємницькі угоди, в яких втрат не було. Інакше показники ймовірностей втрат і загрози ризику виявляться завищеними.

Експертна спосіб стосовно до підприємницького ризику може бути реалізований шляхом обробки думок досвідчених підприємців або фахівців. Доцільно, щоб експерти давали свої оцінки ймовірності виникнення для кожного певного рівня втрат. За результатами обробки експертного опитування будують криву розподілу ймовірностей ризику.

Явище статистичної стійкості результатів спостережень за випадковою величиною має месго лише при великому (в межі - нескінченно великому) числі вимірювань. Цей факт становить зміст закону великих чисел. Однак в переважній кількості економічних ситуацій при оцінці ризику доводиться мати справу лише з обмеженим, зазвичай невеликим, числом спостережень.

В силу випадковості, величини, певні по малому числу спостережень, взагалі кажучи, можуть не збігатися з тими ж величинами, обчисленими по великому числу спостережень, виконаних в тих же умовах. Тому, щоб виявити різницю між характеристикою випадкової величини, знайденої по досить великому (в межі - нескінченно великим) і малому числу спостережень, в статистиці вводять поняття абстрактної генеральної сукупності, що складається з усіх мислимих в даних умовах спостережень і вибірки, що представляє собою сукупність обмеженого числа спостережень. Відповідно до цього розрізняють вибіркові характеристики випадкової величини, знайдені по обмеженому числу спостережень (вибірці) і залежні від цього числа, і відповідні їм характеристики в генеральній сукупності, які не залежать від числа спостережень. При цьому вибіркові характеристики розглядаються як оцінки відповідних характеристик у генеральній сукупності.

Істотно, що вибіркові характеристики випадкової величини, на відміну від генеральних, самі є випадковими величинами.

Для спільності будемо розглядати математичне сподівання функції у (х) випадкової величини X з функцією щільності ймовірності ц> (х).

Визначення 3. Математичним очікуванням функції у (х) будемо називати такий вираз:

Математичне сподівання висловлює усереднення деякої функції у (х) за допомогою закону розподілу аргументу, що задається функцією щільності ймовірності <р (х). Тому його називають також середнім значенням функції для генеральної сукупності або просто генеральним середнім значенням функції. Це є деяке число.

Для у (х) = х маємо математичне сподівання випадкової величини:

Математичне сподівання М {Х } випадкової величини X за визначенням є середнє значення для генеральної сукупності, або генеральне середнє р. Відповідна вибіркова характеристика випадкової величини X є середнє значення спостережуваних значень х ь х 2 , ..., х " випадкової величини, т. Е.

яке називається також середнім арифметичним.

При оцінці фінансових ризиків застосовують майже виключно середнє арифметичне (наприклад, по операціях на фондовому ринку). Якщо даних досить багато, то таке середнє є, як правило, досить добре наближення для генерального середнього. Однак середнє арифметичне НЕ сгоіт обчислювати для розподілів з декількома максимумами. У цьому випадку визначають серединне значення, зване також медианой. Щоб знайти його, результати вимірювань впорядковують за зростанням. Якщо число вимірювань непарній, то медіана дорівнює серединному члену ряду. При парному числі спостережень медіана дорівнює середньому арифметичному двох серединних членів упорядкованого ряду спостережень. Серединне значення - на противагу середньому арифметичному - невідчутно до різко виділяється із загального ряду результатами. Тому його краще використовувати для характеристики невеликих сукупностей даних, коли прояв таких різко виділяються значень типово.

Окремі результати вимірювань або спостережень з експериментального розподілу (вибірки) більш-менш тісно групуються навколо середнього значення. Характеристикою розкиду даних у вибірці щодо середнього найчастіше вважають стандартне відхилення. Стандартне відхилення - це результат обчислення вибіркової дисперсії.

Визначення 4. Дисперсія а 2 (х) випадкової величини X для генеральної сукупності (генеральна дисперсія) визначається як генеральне середнє квадратів її можливих відхилень від генерального середнього р, т. Е. Як математичне сподівання функції у = (х- р) 2 :

де ф (х) - функція щільності ймовірності випадкової величини. Позитивне значення кореня квадратного з дисперсії, т. Е. А (х ), називається генеральним середньоквадратичним або стандартним відхиленням (помилкою).

Вибіркову дисперсію п спостерігалися значень випадкової величини X в математичній статистиці прийнято визначати виразом

де х - середнє арифметичне за результатами вимірювань.

Заміна р на х обумовлена тим, що число вимірювань, як правило, обмежена, а саме генеральне середнє р залишається невідомим. Використання множника / (п - 1) замість 1 / п при визначенні вибіркової дисперсії викликано тим, що тільки в цьому випадку виконується

53

т. е. випадкова величина s 2 (х) буде мати математичне очікування, рівне дисперсії випадкової величини X.

Таким чином, і вибіркове середнє, і вибіркова дисперсія обчислюються за результатами вимірювань і залежать від їх числа. Цю залежність прийнято характеризувати числом ступенів свободи.

Число ступенів свободи вибіркової характеристики є повне число незалежних спостережень за вирахуванням числа зв'язків, які накладаються на результати спостережень при обчисленні розглянутої характеристики. Оскільки вибіркова дисперсія s 2 (х) обчислюється через вибіркове середнє, яке і є зв'язок результатів п вимірювань випадкової величини X, то число ступенів свободи для s 2 (х) дорівнює п - 1.

 
<<   ЗМІСТ   >>