ПРОЦЕНТНІ СТАВКИ

Стандартним часовим інтервалом в фінансових операціях є 1 рік. При короткострокових операціях термін інвестування, як ми вже переконалися, зручно вимірювати в днях. Тому тривалість року приймають рівною або 360 = 12 х 30 дням, або фактичному числу днів в році. У першому випадку відсотки називають звичайними, у другому - точними.

При підрахунку числа днів терміну інвестування т можливі два варіанти. Перший варіант: найбільш часто підраховують точне число днів за допомогою спеціальної таблиці, в якій наведено порядкові номери кожного дня в році. При цьому день видачі і повернення позички вважають за один день. У другому варіанті підраховують точну кількість місяців в терміні і додають число днів, що залишилися. При цьому тривалість кожного повного місяця вважають рівною 30 дням. Другий варіант дає зазвичай менше значення т. Таким чином, всього є чотири схеми розрахунку відсотків.

• 1. Точні відсотки з точним числом днів позички. У цій схемі при нарахуванні відсотків за 6 місяців термін позики вважається рівним 182 дням. Ця, найбільш точна схема широко застосовується в банках Великобританії.
• 2. Звичайні відсотки з точним числом днів позички. Ця схема дає дещо більший результат при обчисленні майбутньої суми, ніж попередня, і використовується в банках Франції.
• 3. Звичайні відсотки з наближеним числом днів позики. Це менш точна схема, вона застосовується в банках Німеччини.

Четверта схема - точні відсотки і наближене число днів позики - не застосовується.

Нарощення капіталу може здійснюватися або у вигляді простих відсотків, або у вигляді складних відсотків.

Схема простих відсотків припускає незмінність бази, з якої відбувається нарахування.

Нехай вихідний інвестується капітал дорівнює Р, а встановлена норма прибутковості - г (в частках одиниці). Якщо інвестований капітал щорічно збільшується на величину Р х г, тоді говорять, що інвестування здійснено на умовах простого відсотка. Таким чином, розмір інвестованого капіталу через п періодів (Р ") буде дорівнює:

Вираз (1.6) часто називають формулою нарощення по про-

Р

простим відсоткам, а множник = 1 + п х г - коефіцієнтом нарощення простих відсотків.

При застосуванні простого відсотка доходи в міру їх нарахування доцільно знімати для споживання, використання в інших інвестиційних проектах або в поточній діяльності. Тому прості відсотки застосовують в наступних випадках:

• • при видачі короткострокових позик на термін менше року;
• • коли відсотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуються кредитору позичальником в кінці кожного конверсійного періоду (за відгуками друзів період - це часовий інтервал, в кінці якого нараховується відсоток за цей інтервал);
• • при ощадних вкладах із щомісячною виплатою відсотків і т. П.

При видачі короткострокових позик на термін менше року як показник п береться величина, що характеризує довжину періоду (дні, місяць, квартал, півріччя) в частках року. При цьому довжина різних часових інтервалів в розрахунках, як правило, округлюється: місяць-30 днів, квартал - 90 днів, півріччя - 180 днів, рік - 360 днів.

Приклад 7. Видано 3 млн руб. в кредит на 6 місяців під прості відсотки за ставкою 10% на місяць. Знайдемо розширене значення боргу в кінці кожного місяця.

Позначимо через Р _п розширене значення боргу в кінці кожного місяця. Так як Р = 3 млн руб. і г = 0,1, то в силу формули (1.6)

Отримані результати зведемо в таблицю 1.1.

Розширене значення боргу

Таблиця 1.1

З таблиці видно, що послідовність Р _і Р _ь ..., Р ₆ являє собою арифметичну прогресію з першим членом 3 млн руб. і знаменником 300 тис. руб.

Приклад 8. Позика в розмірі 5 млн руб. видана на 1 місяць під 130% річних. Тоді розмір платежу до погашення дорівнюватиме:

Схема складних відсотків передбачає їх капіталізацію, т. Е. База нарахування відсотків постійно зростає. Це означає, що інвестиція здійснена на умовах складного відсотка, якщо черговий річний дохід обчислюється не з вихідної величини інвестованого капіталу, а з загальної суми, що включає раніше нараховані і не затребувані інвестором відсотки. Приєднання нарахованих відсотків до базової сумі називається капіталізацією відсотків.

При нарахуванні складного відсотка розмір капіталу дорівнюватиме: до кінця першого року

до кінця другого року до кінця л-го року

Використання в розрахунках складного відсотка логічніше з боку інвестора, оскільки в цьому випадку капітал, що генерує доходи, постійно зростає.

Приклад 9. Визначити, якої величини через 5 років досягне борг, рівний 1 млн руб. при складній ставці 15,5% річних.

Маємо відповідно до формули (1.7)

Формула (1.7) є однією з базових у фінансових обчисленнях. Множник M (r , п) = (1 +/-) ", що забезпечує нарощення вартості, називають факторним множником. Значення факторного множника М (г, п) табульовані для різних значень г ії. З його допомогою формула (1.7) переписується у вигляді

З економічної точки зору факторний множник показує, чому дорівнює одна грошова одиниця через п періодів при заданій процентній ставці р

Нестійкість кредитно-грошового ринку змушує модернізувати «класичну» схему за допомогою застосування плаваючих ставок. Розрахунок на перспективу за такими ставками досить умовний. Разом з тим справедлива наступна важлива теорема (принцип стабільності ринку): «Якщо не враховувати податки та інші накладні витрати, то коеффш i мент нарощення на деякому інтервалі дорівнює добутку коефіцієнтів нарощення на кожному зі складових його подинтервалов». отже,

де

Г], г ₂ , .. г _до - послідовні в часі значення ставок;

щ, п ₂ , ..., щ - періоди, протягом яких «працюють» відповідні ставки.

Приклад 10. Укладено договір про позику на 5 років. Договірна процентна ставка становить 12% річних з маржею (доплата за накладні витрати, комісійні) в розмірі 0,5% в перші 2 роки і 0,75% - в решту 3 роки.

Використовуючи формулу (1.8), знайдемо, що коефіцієнт нарощення М в цьому випадку складе:

Для того щоб зіставити результати нарощення при простих і складних відсотках, досить порівняти відповідні коефіцієнти нарощення. Неважко переконатися в тому, що при однакових рівнях процентних ставок співвідношення коефіцієнтів істотно залежить від терміну інвестиції.

Дійсно, при терміні інвестиції менше року прості відсотки дають нарощення більше, ніж складні:

Для терміну більше року складні відсотки дають нарощення більше, ніж прості:

Для терміну, рівного році, коефіцієнти нарощення рівні один одному за умови, що ставка нарахування відсотків одна і та ж.

Зауважимо також, що зі збільшенням терміну (при п> 1) відмінності в наслідках застосування простих і складних відсотків посилюються. Графічна ілюстрація цього твердження наведено на рис. 1.1. У таблиці 1.2 наведено приклади значення ко

Мал. 1.1. Зростання простих і складних відсотків коефіцієнт нарощення для г - 8% річних і тимчасової бази в 1 рік.

Таблиця 1.2

При нарахуванні відсотків за нецілим число років більш ефективна змішана схема, що передбачає нарахування складних відсотків за ціле число років і простих відсотків за дробову частину року:

де

а + Р = л;

а - ціле число періодів; р - дрібна частина періоду.

Відмінності в наслідках застосування простих і складних відсотків найбільш наочно проявляються при визначенні часу, необхідного для збільшення суми в N раз. У цьому випадку коефіцієнт нарощення, очевидно, дорівнює N і, отже, для простих відсотків (1 + п х г) = N, звідки

для складних відсотків (1 + г) " = N, звідки

Приклад 11. Визначимо число років, необхідних для збільшення первісного капіталу в п'ять разів відповідно при нарахуванні складних і простих відсотків за ставкою 15% річних

Знайдемо тепер період інвестиції, необхідний для подвоєння початкової суми. В цьому випадку, підставивши в (1.9) і (1.10) N - 2, отримаємо такі формули подвоєння: подвоєння за простими відсоткам

подвоєння по складним відсоткам

Результати застосування формул подвоєння для ряду значень процентних ставок наведені в таблиці 1.3.

Терміни подвоєння для різних процентних ставок

Таблиця 1.3

Для невеликих значень процентної ставки г частка від ділення числа 72 на г показує число періодів, за яке вихідна сума подвоїться при нарощуванні її за цією ставкою з використанням формули складних відсотків ( «правило 72-х»).