ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ

Обчислимо тиск газу, вироблене їм на стінки посудини, в який газ укладений. Тиск газу виникає в результаті удару хаотичнорухомих молекул газу об стінку посудини або об поверхню тіла, з яким газ стикається. Для кількісного розрахунку уявімо собі газ, укладений в посудині у вигляді куба з довжиною ребра L (рис. 4).

Мал. 4

В силу повної хаотичності руху молекул між двома будь-якими протилежними гранями куба буде переміщатися 1/3 частина молекул від їх загального числа N в обсязі куба.

Розглядаючи удар молекули об стінку судини як абсолютно пружний, обчислимо силу, діючу на стінку при ударі однієї молекули.

Нехай при підльоті до стінки (грані куба) швидкість молекули дорівнює v ,, а після удараv, (рис. 5, а). Так як удар пружний, то модулі швидкостей рівні, а

9

напрямки їх протилежні: v, ~ - v,.

При взаємодії зі стінкою на молекулу діє сила а на стінку рівна їй по модулю сила /, (рис. 5, б).

Мал. 5

Чинний на молекулу імпульс сили можна виразити за формулою другого закону Ньютона:

де л / - тривалість удару молекули об стінку,

^т * - маса молекули, ^m ° ^{V |} - імпульс молекули до удару,

w ₀ v, '- імпульс молекули після удару.

Проектуючи вектори вираження (11) на напрямок вектора швидкості v, 'як на вісь X, отримаємо:

Тут враховується рівність модулів швидкості: v, = vj. Оскільки модулі сил /, і / ₂ рівні, то матимемо:

Сила / ₂ діє з боку молекули на стінку; тільки при ударі протягом небольшою проміжку часу а /. Після удару об стінку молекула полетить до протилежної стінки і знову підлетить до даної стінці, пройшовши шлях, рівний 2L за проміжок часу р Протягом цього часу між двома послідовними ударами молекула на стінку безпосередньо нс діє.

Однак можна обчислити середню силу, яка діє на стінку протягом всього проміжку часу р Позначимо цю середню силу (7) - Її

імпульс для проміжку часу г дорівнює (7) г, а модуль імпульсу сили f ₂

дорівнює / 2л /. Оскільки силова дія сил /, і (/) має бути однаковим, модулі імпульсів цих сил рівні між собою:

З урахуванням рівності (14) можна записати:

Значення г визначимо як час рівномірного руху зі швидкістю v, на шляху, що дорівнює 2L:

З урахуванням рівності (16) зі співвідношення (15) для значення (/) отримаємо:

Щоб підкреслити, що силове дія пов'язана з першою молекулою, модуль середньої сили позначений індексом «1».

Як вже говорилося, молекули газу при хаотичному русі мають різні значення швидкості: v ,, v2, ... vB. Тому їх силову дію, як і слід, теж різний.

Між двома паралельними стінками (гранями куба) рухається Nt молекул, складових 1/3 частина від загального числа всіх молекул N в кубі. Сумарне силову дію на стінку молекул Nj одно:

Тут кожна зі складових сил обчислюється за формулою (19), - повна усереднена сила,

Якщо суму квадратів швидкостей поділити на У ,, то отримаємо значення середнього квадрата швидкості (у ² ):

Це значення матимемо, якщо поділимо і помножимо одночасно праву частину рівності (20) на число .У ,:

Щоб отримати тиск газу при ударі молекул об стінку, необхідно обидві частини рівності (21) поділити на площу стінки, рівну в нашому випадку квадрату ребра куба: S = I ² .

або:

Врахуємо, що У, = 1/3, обсяг куба V дорівнює / Ставлення N / V характеризує число молекул, що містяться в одиниці об'єму. Ця величина називається концентрацією газу і позначається символом п:

Концентрація - це число молекул в одиниці об'єму газу.

З урахуванням цього вираз (23) набуває вигляду:

Вираз (24) є основним рівнянням молекулярнокінетіческой теорії. З нього випливає, що тиск газу пропорційно концентрації газу, масі молекули газу і значенням середнього квадрата швидкості хаотичного руху молекул газу.

Відзначимо, що основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії можна виразити через середню кінетичну енергію поступального руху молекул газу. Справді, поділивши і помноживши праву частину виразу (24) на 2, отримаємо:

Позначимо значення середньої кінетичної енергії хаотичного поступального руху молекул газу символом Е (епсилон):

Тоді для тиску р отримаємо:

Таким чином, тиск ідеального газу пропорційно концентрації газу і середньої кінетичної енергії хаотичного поступального руху молекул газу.