Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ БІОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ. МОДЕЛІ В БІОФІЗИЦІ ТА ЕКОЛОГІЇ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ДИСКРЕТНІ МОДЕЛІ ПОПУЛЯЦІЙ З НЕПЕРЕКРИВАЮЩІХСЯ ПОКОЛІННЯМИ

Навіть в таких популяціях, де особини розмножуються кілька років поспіль (ссавці і птиці, багаторічні рослини), наявність сезонів розмноження вносить деяке запізнювання в процеси регуляції чисельності. Якщо ж дорослі особини, що розмножуються в даному році, рідко або ніколи не доживають до того, щоб розмножитися в майбутньому році, як, наприклад, у однорічних рослин, дрібних гризунів, багатьох комах, це істотно впливає на динаміку їх чисельності. У цьому випадку рівняння (7) слід замінити рівнянням

де N n - чисельність популяції в році п.

Моделі популяцій з неперекривающіхся поколіннями, а) Вид одноекстремальной функції залежності чисельності популяції в даний момент часу від чисельності в попередній момент часу

Мал. 5. Моделі популяцій з неперекривающіхся поколіннями, а) Вид одноекстремальной функції залежності чисельності популяції в даний момент часу від чисельності в попередній момент часу. Nt + i = F (N t ) б) Визначення значень чисельності популяції в послідовні моменти часу (див. Текст) для дискретного аналога логістичного рівняння (12)

Спостереження над динамікою чисельності показують, що в таких системах при малих кількостях N зростає від однієї генерації до іншої, а при високих - падає. Це властивість - різко зростати при малих N і падати при великих, проявляється в економіці як закон «бумів і спадів». У таких випадках функція F - одноекстремальная, вид її зображений на рис. 5а.

Функція такого типу може бути описана за допомогою різних формул. Найбільш широко поширена версія дискретного логістичного рівняння, запропонована Мораном для чисельності комах (1950) і Рикером для рибних популяцій (1954):

Тут, як і в логістичному рівнянні (3), г - константа власної швидкості росту, К - ємність екологічної ніші популяції. Хід рішення рівняння (12) можна наочно продемонструвати графічно за допомогою діаграми і сходи Ламерея. Точка перетину бісектриси першого координатного кута - N t і функції F (N t ) визначає рівноважний стан системи, аналогічне стаціонарного стану діфференціалиюго рівняння. На рис. 56 показаний спосіб знаходження значень N t в послідовні моменти часу. Нехай в початковий момент часу JV = Л про F (No) = N 1 задає значення чисельності в наступний момент часу t = 1. Величина N, в свою чергу, визначає значення F (N) = No. І так далі. На рис. 56 зображений випадок, коли траєкторія сходиться до рівноважного стану, здійснюючи затухаючі коливання.

Типи динаміки чисельності в моделі популяції з неперекри- вающий поколіннями при різних значеннях власної швидкості росту

Мал. 6. Типи динаміки чисельності в моделі популяції з неперекри- вающий поколіннями при різних значеннях власної швидкості росту: а - монотонний зростання; б - затухаючі коливання; в - двоточковий цикл; г - чотирьохточковий цикл; д, е - квазістохастіческое поведінку

Залежно від крутизни графіка функції F (N) (криві а, Ь, с, d на рис. 5) в системі можуть виникати найрізноманітніші режими. З ростом г поведінку ускладнюється. Монотонне прагнення до рівноваги (рис. 6а) змінюється колебателя (рис. 66). При подальшому збільшенні г (збільшення крутизни кривої F (N 1)) виникають цикли - аналоги граничних циклів для систем диференціальних рівнянь (рис. 6 в, г). Якщо г ще більше зростає - спостерігається квазістохастіческое поведінку - хаос (рис. 6 д, е). Моделі такого типу є найпростішими детермінованими об'єктами, що демонструють квазістохастіческое поведінку.

Квазістохастічсскім поведінкою можуть володіти і змінні в безперервних нелінійних автономних системах трьох і більше диференціальних рівнянь. Зображення детермінованого хаосу в популяції з трьох видів: хишник-дві жертви - представлено на рис. 12. Таким чином, стохастичность може бути властивістю, властивим самим детермінованим природним системам (Детермінований хаос), і не залежить від того, який математичний апарат, безперервний або дискретний, використовується.

 
<<   ЗМІСТ   >>