Повна версія

Головна arrow Природознавство arrow МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ БІОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ. МОДЕЛІ В БІОФІЗИЦІ ТА ЕКОЛОГІЇ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

ХВИЛІ ЖИТТЯ

Прагнення до зростання і розмноження веде до поширення в просторі, заняття нового ареалу, експансії живих організмів. Життя поширюється так само як полум'я але степу під час стінного пожежі. Ця метафора відображає той факт, що пожежа (в одновимірному випадку - поширення полум'я по бікфордові шнуру) описується за допомогою тієї ж базової моделі, що і поширення виду. Знаменита в теорії горіння модель ВКП (Петровського - Колмогорова - Піскунова) вперше була запропонована ними в 1937 р саме в біологічній постановці як модель поширення домінуючого виду в просторі. Всі три автори цієї роботи є найбільшими російськими математиками. Академік Іван Георгійович Петровський (1901-1973) - автор фундаментальних праць з теорії диференціальних рівнянь, алгебри, геометрії, математичної фізики, протягом більше 20 років був ректором Московського Державного університету ім. М. В. Ломоносова (1951-1973). Андрій Миколайович Колмогоров (1903-19ВВ) - глава російської математичної школи з теорії ймовірностей і теорії функцій, автор фундаментальних праць з математичної логіки, топології, теорії диференціальних рівнянь, теорії інформації, організатор шкільного та університетського математичної освіти, написав кілька робіт, в основу яких покладені біологічні постановки.

Розглянемо постановку задачі про поширення виду в активній - багатою енергією (їжею) середовищі. Нехай в будь-якій точці прямої г> 0 розмноження виду описується функцією f (x ) - = х (1 - х). У початковий момент часу вся область зліва від 1гуля зайнята видом х, концентрація якого близька до одиниці. Праворуч від нуля - порожня територія. У момент часу t = 0 вид починає поширюватися (дифундувати) вправо з константою дифузії D. Процес описується рівнянням:

При t > 0 в такій системі починає поширюватися хвиля концентрацій в область г > 0, яка є результатом двох процесів: випадкового переміщення особин (дифузії частинок) і розмноження, описуваного функцією f (x). З плином часу фронт хвилі переміщується вправо, причому його форма наближається до певної граничної формі. Швидкість переміщення хвилі визначається коефіцієнтом дифузії і формою функції f (x), і для функції f (x), що дорівнює нулю при х = 0 і х = 1 і позитивною в проміжних точках, виражається простою формулою: Л = 2y / Df '(0 ).

Вивчення просторового переміщення в моделі хижак-жертва (9) показує, що в такій системі в разі необмеженого простору будуть поширюватися хвилі «втечі і погоні» (Chow, Tam, 1976) а в обмеженому просторі встановляться стаціонарні просторово неоднорідні структури (дисипативні структури), або автоволни, в залежності від параметрів системи.

 
<<   ЗМІСТ   >>